河北省邯郸市大名县第一中学2020学年高二数学下学期第4周周测试题 文(清北组)

河北省邯郸市大名县第一中学2020学年高二数学下学期第4周周测试题 文（清北组）一、单选题（每题5分，共60分)1．已知集合，则A ．{1，3}B ．{3}C ．{1}D ．2．给出下列三个结论：（1）若命题p 为假命题，命题q ⌝为假命题，则命题“q p ∨”为假命题；（2）命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题为“若0xy ≠，则0x ≠或0y ≠”；（3）命题“,20x x ∀∈>R ”的否定是“ ,20x x ∃∈≤R ”.则以上结论正确的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．03．已知复数是z 的共轭复数，则＝( )A ．B ．C ．1D ．24．已知3sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12-B ．12C ．32D ．32-5．如图，函数的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．在ABC ∆中，D 为AB 边上一点，2AD DB =u u u r u u u r ，13CD CA CB λ=+u u u r u u r u u r ，则λ=（ ） A ．13- B. 23C.231-D.27．已知数列满足，那么使成立的n 的最大值为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．78．已知正项等比数列{}()n a n N +∈满足5432a a a =+，若存在两项,m n a a 1,8m n a a a =，则19m n+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．某多面体的三视图如下图所示，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A．5 B．2 C．25 D．2210．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持五金出关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，…，”.源于问题所蕴含的数学思想，设计如图所示程序框图，运行此程序，输出的值为A．4 B．5 C．6 D．711．设则（ ）A ．B ．C ．D ．12．设函数()f x 与()g x 的定义域为R ，且()f x 单调递增， ()()()F x f x g x =+， ()()()G x f x g x =-，若对任意()1212,x x R x x ∈≠， ()()()()221212f x f x g x g x ⎡⎤⎡⎤->-⎣⎦⎣⎦恒成立，则（ ）A ．()(),F x G x 都是减函数B ．()(),F x G x 都是增函数C ．()F x 是增函数， ()G x 是减函数D ．()F x 是减函数， ()G x 是增函数二、填空题（每题5分，共20分) 13．已知，满足约束条件，则的最大值为_______．14．已知x 与y 之间的一组数据： X 0 1 3 4Y1 3 5 7则y 与x 的线性回归方程为y =bx +a 必过点_________________.15．已知数列{}n a 的的前n 项和为n S ，且1211121+=+⋅⋅⋅++n n S S S n ，则数列{}n a 的通项公式=n a ______. 16．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>过其左焦点F 1作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，若双曲线右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为___________.三、解答题17．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，若．（1）求的大小；（2）求的最大值．18（12分）．市某机构为了调查该市市民对我国申办年足球世界杯的态度，随机选取了位市民进行调查，调查结果统计如下： 支持 不支持 合计男性市民女性市民合计（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；（2）利用（1）完成的表格数据回答下列问题：（i ）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关；（ii ）已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有位退休老人，其中位是教师，现从这位退休老人中随机抽取人，求至多有位老师的概率. 附：，其中.19（12分）．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC , ,AB BC D ⊥为AC 的中点,12AA AB ==.(1)求证：1//AB 平面1BC D ；(2)若3BC =，求三棱锥1D BC C -的体积.20．（12分）已知椭圆过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，直线分别交直线于两点，线段的中点为. 记直线的斜率为，求证：为定值. 21．（12分）已知函数()32f x x x b =-++， ()ln g x a x =.（1）若()f x 在1,12x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭上的最大值为38，求实数b 的值； （2）若对任意[]1,x e ∈，都有()()22g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围.22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,{ 2x m t y t ==（t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，且直线l 经过曲线C 的左焦点F ． （1）求直线l 的普通方程；（2）设曲线C 的内接矩形的周长为L ，求L 的最大值．参考答案1．B【解析】 【分析】根据定义域，由函数单调性，求出集合A ，解方程求出集合B ，根据交集的意义求出交集. 【详解】因为函数单调递增，所以时，函数取最小值，所以集合，解集合B 中方程可得集合，所以.故选B.【点睛】 本题主要考查集合的计算，求函数型集合时要注意观察集合表示的时值域还是定义域，通过单调性等性质求解，还要注意定义域的限制.2．D【解析】试题分析：∵命题q ⌝为假命题，∴命题q 是真命题，∴命题“q p ∨”为真命题，所以第一个结论错误；命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题为“若0xy ≠，则0x ≠且0y ≠”，所以第二个结论错误；命题“,20x x ∀∈>R ”的否定是“00,20x x R ∃∈≤”，所以第三个结论错误；所以综上得：结论都错误.考点：1.命题的真假；2.否命题；3.命题的否定.3．A【解析】由题意可得：，则：，.本题选择A选项.点睛：在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．4．C【解析】由题意得，根据三角函数的诱导公式，可得33sin sin sin4442πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C.5．C【解析】当时，，则，此时函数单调递增；当时，，则，此时函数也单调递增。

故B，D不符合因为当时单调递减，所以此时函数上的点的切线斜率不断变小；当时单调递增，所以此时函数上的点的切线斜率也不断变小，由此判断选C6．B【解析】试题分析：由已知得，13BD BA=u u u r u u u r，故13CD CB BD CB BA =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1()3CB CA CB =+-u u u r u u u r u u u r 1233CA CB =+u u u r u u u r ,故23λ=．考点：1、平面向量基本定理；2、向量加法的三角形法则. 7．B 【解析】 【分析】由数列满足，得到数列是首项和公差都为1的等差数列，得到数列的通项公式，进而得到，即可求解.【详解】因为数列是首项和公差均为1的等差数列，，所以，则，所以使成立的的最大值为【点睛】本题主要考查了等差数列的定义和数列的通项公式的应用，其中解答中根据题意得到数列是首项和公差都为1的等差数列，求得数列的通项公式，列出不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8．B【解析】 因为正项等比数列满足5432a a a =+，所以4321112a q a q a q =+，即220q q --=，解得2q =，因为存在两项,m n a a 18m n a a a ⋅=，所以2221164m n a q a +-=，整理，得26m n +-=，所以8m n +=，所以()19119191911010216286688n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅++=⋅++≥+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当9n mm n=时，即6,2n m ==等号成立，故选B. 9．D【解析】三视图还原，如下图该几何体为棱长是2的正方体，截去两个相同的三棱锥。

所以最长棱为22AF BE ==。

选D. 10．C【解析】分析：根据循环结构的图中，执行程序得，结合程序结束条件即可得解. 详解：执行程序框图可知，.当时，，此时不成立，结束循环.输出.故选C.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．11．C【解析】【分析】本题由已知中，由指数函数的单调性和对数函数的单调性，我们可以判断出与的大小关系，进而得到答案。

【详解】因为，所以即，因为所以因为即所以，故选C 。

【点睛】本题考查的是指数以及对数的相关性质，考查计算能力，当我们在判断对数或者指数的大小的时候，可以借助对数函数以及指数函数的相关性质，也可以通过判断数值与某一些特殊值的大小关系来间接比较大小。

12．B【解析】不妨设12x x >，由于()()()()221212f x f x g x g x ⎡⎤⎡⎤->-⎣⎦⎣⎦，所以()()()()1212f x f x g x g x ->-且()()()()1212f x f x g x g x ->-+，则()()()()][()()121122F x F x f x g x f x g x ⎡⎤-=+-+⎣⎦()()][()()12120f x f x g x g x ⎡⎤=-+->⎣⎦，所以()F x 是增函数，同理()G x 也是增函数． 故选B ． 13．7 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【详解】由约束条件作出可行域如图中阴影部分，联立，解得A （1，5），化目标函数z ＝2x +y 为y ＝﹣2x +z ，由图可知，当直线y ＝﹣2x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大等于2×1+5＝7．∴的最大值为7.故答案为7． 【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14．(2,4)【解析】.因为线性回归方程为必过点.故必过(2,4).15．n 【解析】试题分析：当1=n 时，111=S ，1,111==a S ，当2≥n 时，2)1(,)1(2)1(2121+=+=--+=n n S n n n n n n S n n ， n nn n n S S a n n n =--+=-=-2)1(2)1(1. 考点：已知n S 求通项公式n a ．【名师点睛】很多数列试题是以11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩ 为出发点设计的，求解时要考虑两个方面，一个是根据S n －S n －1＝a n 把数列中的和转化为数列通项之间的关系；一个是根据a n ＝S n －S n －1把数列中的通项转化为和的关系，先求S n 再求a n . 16．2e >【解析】由题知22|AB|=b a若使双曲线右顶点在以AB 为直径的圆内，则应有： 2AA B ∠为钝角 2142AA F ππ∴<∠<12112tan 1AF AA F F A ∴∠=> 1121AF F A ∴>22b a ac ∴>+ 220e e ∴--> 21e e ∴><-或，又1e >Q 2e ∴>.【解法2】（几何法）只须121AF A F >，即2b a c a>+，故220e e ∴-->. 又1e >Q 2e ∴>.17．（1）；（2）1【解析】试题分析：（1）利用余弦定理，将即可求出，继而得；（2）利用三角形内角和定理将所求表达式表示为关于的三角函数式，结合三角函数的性质求解最大值.试题解析：（1）由题意，余弦定理：，∵，所以.（2）因为，，则．那么：∵，∴，当时，取得最大值为1，即的最大值1.18．（1）见解析；（2）（i）能，（ii）.【解析】【分析】（1）根据2×2列联表性质填即可；（2）求出，与临界值比较，即可得出结论；（3）根据排列组合的性质，随机抽取3人，即可求出至多有1位老师的概率．【详解】（1）支持不支持合计男性市民女性市民合计（2）（i ）因为的观测值 ，所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关.（ii ）记人分别为，，，，，其中，表示教师，从人中任意取人的情况有种，其中至多有位教师的情况有种，故所求的概率.【点睛】本题主要考查概率统计的相关知识，独立性检验知识的运用，考查概率的计算，属于中档题 19．(1)详见解析；（2）1. 【解析】试题分析：（1）通过证明线线平行，线面平行的判定定理，在面D BC 1中找到平行于1AB 的线，连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD ，证1//AB OD 即证；（2）通过等体积转化BCD C C BC D V V --=11=131CC S BCD ⋅∆试题解析：证明:（1）连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD . 1分∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点. ∵D 为AC 的中点，∴OD 为△1AB C 的中位线, ∴ 1//OD AB . 4分∵OD ⊂平面1BC D ,1⊄AB 平面1BC D , ∴1//AB 平面1BC D . 6分解:（2）∵三棱柱111-ABC A B C ，∴侧棱11//AA CC ， 又∵1AA ⊥底面ABC ，∴侧棱1CC ABC ⊥面，故1CC 为三棱锥1C BCD -的高，112A A CC ==， 8分23)21(2121=⋅==∆∆AB BC S S ABC BCD 10分 12323131111=⋅⋅=⋅==∆--BCD BCD C BCC D S CC V V 12分 考点：1.线面平行的判定定理；2.几何题的体积.20．（1）；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）利用椭圆的几何性质，建立的方程组即得；（2）设出点的坐标与的直线方程，并与椭圆方程联立，应用韦达定理，建立与坐标的联系；确定的坐标，将斜率用坐标表示，得到 的关系即得证.试题解析：（1）由题设：，解之得：，所以椭圆的方程为，（2）设直线的方程为，代入椭圆方程得：，设，则由韦达定理得：，，直线的方程分别为：，，令得：，，所以，.考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、直线的斜率． 【思路点睛】解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步，根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程；第二步，联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程；第三步，求解判别式；第四步，写出根与系数的关系；第五步，根据题设条件求解问题中结论．21．（1）0b =.（2）1a ≤-【解析】试题分析：(1) 求出函数()f x 的导函数，解出函数的单调区间，通过研究函数的极值和边界值得到函数的最大值，求出实数b 的值；(2)把()()22g x x a x ≥-++ 整理，分离出参数a,得到22x x a x lnx -≤-，把右边构造一个函数()t x ，求出()t x 的最小值，问题可解.试题解析：（1）由()32f x x x b =-++，得()232f x x x '=-+ ()32x x =--， 令()0f x '=，得0x =或23x =. 函数()f x '， ()f x 在1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上的变化情况如下表：1328f b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭Q ， 24327f b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 1223f f ⎛⎫⎛⎫∴-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即最大值为133288f b ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭， 0b =. （2）由()()22g x x a x ≥-++，得()22x lnx a x x -≤-.[]1,x e ∈Q ， 1lnx x ≤≤，且等号不能同时取得， lnx x ∴<，即0x lnx ->.22x x a x lnx -∴≤-恒成立，即22minx x a x lnx ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭. 令()22x x t x x lnx -=-， []1,x e ∈，则()()()()2122x x lnx t x x lnx -+--'=. 当[]1,x e ∈时， 10x -≥， 1lnx ≤， 220x lnx +->，从而()0t x '≥. ()t x ∴在区间[]1,e 上为增函数， ()()11min t x t ∴==-， 1a ≤-.22．（1）0x y -+=（2）椭圆C的内接矩形的周长取得最大值．【解析】试题分析：(1)由直线l的参数方程为,{ x m y =+=（t 为参数）消去参数t ，得到直线l 的普通方程；（2）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为()2cos θθ（02πθ<<），则周长为()24cos L θθ=+，利用辅助角公式“化一”求最值即可. 试题解析：（1）因为曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，即222sin 4ρρθ+=， 将222x y ρ=+， sin y ρθ=代入上式并化简得22142x y +=， 所以曲线C 的直角坐标方程为22142x y +=，于是2222c a b =-=，()F ， 直线l 的普通方程为x y m -=，将()F代入直线方程得m =， 所以直线l的普通方程为0x y -+=．（2）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为()2cos θθ（02πθ<<），所以椭圆C 的内接矩形的周长为()()24cos L θθθϕ=+=+（其中tanϕ=，此时椭圆C的内接矩形的周长取得最大值。