甘肃省临夏市临夏中学2019_2020学年高二数学上学期第一次月考试题理(含解析)

甘肃省临夏市临夏中学2019-2020学年高二数学上学期第一次月考
试题 理（含解析）
一、单选题（共40分,每小题4分）
1.ABC ∆中,若1,3,60a c B ===︒,则ABC ∆的面积为
A.
4
B.
4
C.
2
【答案】B 【解析】
由三角形面积公式知11sin 322S ac B ==⨯=
,故选B.
2.若数列的前4项分别是
1111
,,,2345
--,则此数列的一个通项公式为（ ） A. 1(1)n n
--
B. (1)n n -
C. 1
(1)1
n n +-+
D. (1)1
n n -+
【答案】C 【解析】 【分析】
观察数列,可知分子为1,分母的数值成等差数列,正负相间,进而可求出数列的通项公式. 【详解】由数列的前4项分别是1111,,,2345
--, 可知：第n 项的符号为1
(1)
n +-,其绝对值为
1
1
n +． 因此此数列的一个通项公式为1
(1)1
n n a n +-=+
故选：C ．
【点睛】本题考查观察法求数列的通项公式,解题的关键是培养对数字的敏锐性,属于基础题.
3.设a b c 、、分别是△ABC 的三边长,且457a b c ===，，,则△ABC 是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 无法确
定 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可得C 为最大角,由余弦定理可得cos C
的
值,可判三角形形状.
【详解】解:由三角形大边对大角可得C 为最大角,
由余弦定理可得2222224571
cos 022455
a b c C ab +-+-===-<⨯⨯,
C ∴为钝角,ABC △为钝角三角形.
所以C 选项是正确的.
【点睛】本题考查余弦定理,涉及三角形的三边关系,属基础题.
4.在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知2cos cos b c B b C =+,则a
b
=（ ） A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B 【解析】 【分析】
先由正弦定理得到2sin sin B A =,再由正弦定理得到2b a =进而得到结果.
【详解】在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知2cos cos b c B b C =+,根据正弦定理得到()2sin sin cos sin cos sin sin B C B B C B C A =+=+= 进而得到2b a =,故 2.a
b
= 故答案为：B.
【点睛】在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉
出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,己知430S =,8100S =,则12(S = ) A. 110 B. 200
C. 210
D. 260
【答案】C 【解析】 【分析】
由等差数列的性质得4S ,84S S -,128S S -成等差数列,根据等差中项公式,列出方程,即可求解,得到答案。

【详解】由题意,等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,430S =,8100S =, 由等差数列的性质得4S ,84S S -,128S S -成等差数列, 即30,1003070-=,12100S -成等差数列, 所以()1230100270S +-=⨯,解得12210S =． 故选：C ．
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的应用,其中解答中根据等差数列的性质,得到
4S ,84S S -,128S S -成等差数列,利用等差中项公式,列出方程求解是解答的关键,着重考
查了推理与运算能力,属于基础题。

6.（2016全国1改编）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3424a a +=,则6S = A. 72 B. 48
C. 64
D. 54
【答案】A 【解析】
根据等差数列的性质可知341624a a a a +=+=,所以166()6
722
a a S +⨯=
=,故选A.
点睛：数列问题是高考中的重要问题,主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和,主要利
用解方程得思想处理通项公式问题,利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时,要注意提高运算的准确性,防止运算错误．
7.在ABC ∆中,已知30A ︒=,且312a ==,则c 的值为（ ） A. 4 B. 8
C. 4或8
D. 无解
【答案】C 【解析】 【分析】 用余弦定理求解．
【详解】∵312a ==,∴4,a b ==
∴2222cos a b c bc A =+-,即216482cos30c =+-⨯︒, 即212320c c -+=,解得4c =或8c =． 故选C ．
【点睛】本题考查余弦定理．解三角形中公式较多,可根据已知条件灵活选用公式,选用公式使解题过程越简单越好．
8.一艘船上午9:30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方向匀速航
行,上午10:00到达B 处,此时又测得灯塔S 在它的北偏东75︒处,且与它相距,此时船的速度为（ ） A. 24/nmile h B. 32/nmile h C. 18/nmile h D. 16/nmile h
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意及图形在ABS 中,利用正弦定理求出AB 的长,再利用物理知识解出速度即可.
【详解】解:因为在ABS 中,已知3045BAS ASB ︒︒
∠=∠=，,且边BS =
利用正弦定理可得:sin 45sin 30
AB BS ︒︒
=⇒
16
122AB =⇒=, 又因为从A 到S 匀速航行时间为半个小时,所以速度应为:16
32(/)
12
nmile h =.
故答案选B.
【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用,属于基础题.
9.在锐角三角形ABC ∆中, ,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,
()(
)(2a b c a c b ac +++-=+
,则cos sin A C +的取值范围为( )
A. 32⎛ ⎝
B. 3,22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
C. 32⎛
⎝
D.
2⎛ ⎝ 【答案】B 【解析】
分析：由已知求出B ,然后可把cos sin A C +化为一个角的一个三角函数,再由正弦函数的性质得取值范围.
详解：由()()(2a b c a c b ac +++-=+
得22()(2a c b ac +-=,
即2
2
2
a c
b +-=,
∴222cos 2a c b B ac +-==
,∴6B π=,从而56C A π=-, ∴5cos sin cos sin(
)6A C A A π+=+-55cos sin cos cos sin 66
A A A ππ
=+-
3
cos )23
A A A π=
=+, 又50,02
62A A π
ππ<<
<
-<,∴32
A ππ
<<,
∴
25336A πππ<+<,1sin()26A π<+<3
)32
A π<+<. 故选B.
点睛：求三角函数的取值范围及其他性质问题,一般都要把它变形为一个角的一个三角函数形式即()sin()f x A x ωϕ=+的形式,其中可能要用到二倍角公式、两角和与差的正弦余弦公式、诱导公式等等,掌握这些公式是解题的基础.
10.已知*1
21
(0)()()(
)(1)()n n a f f f f f n N n n
n
-=+++
++∈,又函数1
()()12
F x f x =+-是R 上的奇函数,则数列{}n a 的通项公式为（ ）
A. 1n a n =-
B. n a n =
C. 1n a n =+
D.
2n a n =+
【答案】C 【解析】 【分析】 由1()12F x f x ⎛⎫
=+
- ⎪⎝⎭在R 上为奇函数,知11222f x f x ⎛⎫⎛⎫
-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,令12t x =-,则
1
12
x t +=-,得到()(1)2f t f t +-=.由此能够求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】解:1()12F x f x ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭在R 上为奇函数
故()()F x F x -=-,代入得:112()22f x f x x R ⎛⎫
⎛⎫
-++=∈
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 当0x =时,112f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
. 令12t x =
-,则1
12
x t +=-,上式即为:()(1)2f t f t +-=.
当n
偶数时:
()
121(0)(1)n n a f f f f f n N n n n ⨯-⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫=++
+⋯++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11111122[(0)(1)]2212n n n f f f
f f f f n n ⎡⎤
⎛⎫
⎛⎫-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎡
⎤
-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++++⋯+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎣
⎦⎢
⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭
⎝⎭⎣
⎦
212
n
=⨯+1n =+.
当n 为奇数时:
()
121(0)(1)n n a f f f f f n N n n n ⨯-⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫=++
+⋯++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
111122[(0)(1)]n n n f f f
f f f n n n n ⎡⎤
-+⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎡
⎤
-⎛⎫⎛⎫=++++⋯++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦⎢
⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭
⎝⎭⎣
⎦
1
22
n +=⨯
1n =+. 综上所述,1n a n =+. 所以C 选项是正确的.
【点睛】本题首先考查函数的基本性质,借助函数性质处理数列问题,十分巧妙,对数学思维的要求比较高,要求学生理解()(1)2f t f t +-=.本题有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错.解题时要认真审题,仔细解答.
二、填空题（共16分,每小题4分）
11.在等差数列{a n }中,已知35715a a a ++=,则483a a +=_______________. 【答案】20 【解析】
∵数列{a n }是等差数列,且35715a a a ++=, ∴3a 5=15,a 5=5.
()484484646532222420a a a a a a a a a a +=++=+=+==.
答案为20.
点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式,属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型,数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S ,一般可以“知二求三”,通过列方程组所求问题可以迎刃而解,另外,解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系,利用整体代换思想解答.
12.在△ABC 中,a 2=b 2+c 2+bc,则角A= . 【答案】120
【解析】
试题分析：由题意可得
222b c a bc +-=-,根据余弦定理
2221
cos ,222
b c a bc A bc bc +--===-又因为()
0,180,120.A A∈∴=
考点：利用余弦定理解三角形.
13.已知数列{}n a 的前n 项和为2
23n S n n =-+,则数列{}n a 的通项公式为________.
【答案】2(1)
23(2)
n n a n n =⎧=⎨-≥⎩
【解析】 当
1
n =时,
21112132
a S ==-⨯+= ；当
2
n ≥时,()()221
23121323n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦
,故数列{}n a 的通项公式为()()2?
123? 2n n a n n ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩
14.在ABC △中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,a c =且满
cos cos )cos 0(C A A B +=若点O 是ABC △外一点,24OA OB ==,则四边形
OACB 的面积的最大值为_______________.
【答案】8+【解析】 【分析】
由诱导公式、两角和的余弦公式化简已知的式子,由内角的范围、商的关系、特殊角的三角函数值求出B,结合条件判断出ABC △为等边三角形,设AOB θ∠=求出θ的范围,利用三角形的面积公式与余弦定理,表示出OACB S ,利用辅助角公式化简,由θ的范围和正弦函数的性质求出平面四边形OACB 面积的最大值.
【详解】解:
cos (cos )cos 0C A A B +=,cos cos()C A B =-+
cos cos cos cos()cos cos sin sin A B A B A B A B A B ∴-=+=-
cos sin sin A B A B =
A 为三角形内角,sin 0A ≠, tan
B ∴= ∴由(0,)B π∈得,3
B π
=
又
a c =, ABC ∴为等边三角形
设AOB θ∠=,则0θπ<<
211||||sin ||22OACB AOB ABC
S S S
OA OB AB θ∴=+=
⋅+⨯
)
22142sin ||||2||||cos 24
OA OB OA OB θθ=⨯⨯⨯++-⋅
4sin (416224cos )4sin 4
θθθθ=+
+-⨯⨯⨯=-+
8sin 3πθ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭
0θπ<<Q , 23
3
3
π
π
πθ∴-
<-
<
∴当3
2
π
π
θ-
=
,即56πθ=
时,sin 3πθ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭取得最大值1,
∴平面四边形OACB 面积的最大值为8+
【点睛】本题主要考查了诱导公式、两角和的余弦公式、余弦定理、三角形面积公式以及正弦函数的性质,题目较为综合,涉及面较广,属于难题.
三、解答题（共44分） 15.在△ABC 中,a ＝3,b ＝2,B ＝2A ．
（1）求cos A 的值； （2）求c 的值．
【答案】（1；（2）． 【解析】
【详解】(1)因为a ＝3,b ＝,∠B＝2∠A ,
所以在△ABC 中,由正弦定理得
sin a A .
所以
2sin cos sin A A A ＝3
.故cos A
(2)由(1)知cos A ＝
3,所以sin A ＝3
. 又因为∠B＝2∠A ,所以cos B ＝2cos 2A －1＝
1
3
.
所以sin B . 在△ABC 中,sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋
cos Asin B
. 所以c ＝sin sin a C A
＝5. 【此处有视频,请去附件查看】
16.设数列{a n }满足当n ＞1时,a n ＝1114n n a a --+,且a 1＝15
. (1)求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列；
(2)a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是,求出是第几项；如果不是,请说明理由．
【答案】(1)见证明；(2) a 1a 2是数列{a n }中的项,是第11项．
【解析】
【分析】
(1)由题意得,数列{a n }是非0数列,递推关系式取倒数,即可判断1n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
是首项为5,公差为4的等差数列.
(2)求数列的通项公式,求出12a a ,令它等于通项,求出n 的值即可得出结论.
【详解】(1)证明：根据题意a 1＝
15
及递推关系a n ≠0.因为a n ＝1114n n a a --+.取倒数得111n n a a -=＋4, 即111n n a a --＝4(n ＞1),所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是首项为5,公差为4的等差数列． (2)解：由(1),得1n a ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1,141n a n =+. 又121111594541a a n =⨯==+,解得n ＝11. 所以a 1a 2是数列{a n }中的项,是第11项． 【点睛】本题考查等差数列的判断,数列通项公式的求法,考查计算能力. 熟练掌握等差数列
的定义和通项公式是解决此题的关键.
17.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知17a =-,315S =-．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求n S ,并求n S 的最小值．
【答案】（1）a n =2n –9,（2）S n =n 2–8n ,最小值为–16．
【解析】
分析：（1）根据等差数列前n 项和公式,求出公差,再代入等差数列通项公式得结果,（2）根据等差数列前n 项和公式得n S 的二次函数关系式,根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.
详解：（1）设{a n }的公差为d ,由题意得3a 1+3d =–15．
由a 1=–7得d =2．
所以{a n }的通项公式为a n =2n –9．
（2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2
–16．
所以当n =4时,S n 取得最小值,最小值为–16．
点睛：数列是特殊的函数,研究数列最值问题,可利用函数性质,但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.
18.设ABC ∆角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,32,cos 5a B ==
. （1）若4b =,求sin A 的值；
（2）若ABC ∆的面积4ABC S ∆=,求ABC ∆的周长.
【答案】（1）
25
；（2
）7【解析】
【分析】 （1）先根据同角三角函数关系求sin B ，再由正弦定理求sin A 的值；（2）先根据三角形面积公式得c ,再根据余弦定理求b ,最后求ABC ∆的周长.
【详解】解（1
）
34cos 0,sin .55
B B B π=<<∴==且 由正弦定理sin sin a b A B =,得sin 2sin 5
a B A
b ==. （2）1sin 42ABC S a
c B ∆== 1424,525c c ∴⨯⨯⨯=
∴=. 由余弦定理2
222cos ,b a c ac B =+-得
b ==ABC ∴∆的周长为7a b
c ++=+【点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.
19.n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0,22n n a a +=43n S +.
（Ⅰ）求{n a }的通项公式；
（Ⅱ）设11n n n b a a +=
,求数列{n b }的前n 项和. 【答案】（Ⅰ）21n +（Ⅱ）
11646n -+ 【解析】
【分析】
（I ）根据数列的递推关系,利用作差法即可求{a n }的通项公式：
（Ⅱ）求出b n 1
1n n a a +=,利用裂项法即可求数列{b n }的前n 项和． 【详解】解：（I ）由a n 2+2a n ＝4S n +3,可知a n +12+2a n +1＝4S n +1+3
两式相减得a n +12﹣a n 2+2（a n +1﹣a n ）＝4a n +1,
即2（a n +1+a n ）＝a n +12﹣a n 2
＝（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ）,
∵a n ＞0,∴a n +1﹣a n ＝2,
∵a 12+2a 1＝4a 1+3,
∴a 1＝﹣1（舍）或a 1＝3,
则{a n }是首项为3,公差d ＝2的等差数列,
∴{a n }的通项公式a n ＝3+2（n ﹣1）＝2n +1：
（Ⅱ）∵a n ＝2n +1,
∴b n ()()111121232n n a a n n +===++（112123
n n -++）, ∴数列{b n }的前n 项和T n 12=（11111135572123n n -+-++-++）12=（11323n -+）11646
n =-+. 【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算,利用裂项法是解决本题的关键．。