2022-2023学年福建省福州市高二下学期期末质量检测数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省福州市高二下学期期末质量检测数学试题
一、单选题
1．设复数z 在复平面内对应的点为()2,1-，则21i
z
-的虚部为（）A ．i B ．-1C ．1
D ．3
【答案】C
【分析】利用复数的除法运算化简
21i
z
-即可求解【详解】由题意可得2i z =-，所以()()()()()
22i 22i 1i 23i 1i 1i 1i 1i z --+===+---+，故其虚部为1，故选:C ．
2．若{}
2
812A x y x x ==-+，(){}
ln 32B x x =-≥，则A B = （
）
A ．[]
2,4B ．(]
3,6C ．)22,e ⎡⎣
D ．)2
3e ,∞⎡++⎣
【答案】D
【分析】求解集合,A B ，再由交集的定义求解即可.
【详解】2812y x x =-+的定义域为28120x x -+≥，则()()260x x --≥，解得：6x ≥或2x ≤，所以(][),26,A ∞∞=-⋃+，
由()ln 32x -≥可得：2
3e 30
x x ⎧-≥⎨->⎩，则2e 3x ≥+，
则A B = )2
3e ,∞⎡++⎣.
故选：D.
3．在Rt ABC △中，1BC =，斜边2AB =，点P 满足2AB PC = ，则PC PA ⋅=
（
）
A ．10-
B ．10
C ．3-
D ．3
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求得10PC PA ⋅=
.
【详解】因为在Rt ABC △中，1BC =，斜边2AB =，所以3AC =，以C 为坐标原点，CB ，CA 分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，
所以有()
0,3A ，()10B ,
，()0,0C ，设(),P x y ，因为点P 满足2AB PC =
，所以()
()21,3,x y -=--，
解得2x =-，23y =，所以()
2,23P -，
所以()2,23PC =- ，()
2,3PA =- ，所以10PC PA ⋅=
.
故选：
B
4．“()()22
log 2log 21a b x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是（
）
A ．0a b <<
B ．1a b <<
C ．2a b <<
D ．1b a
<<【答案】C
【分析】由已知条件求得,a b 之间的关系和范围，再根据充分不必要条件的判定，可得选项.
【详解】若()()22
log 2log 21a b x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则需log 2>0
log 2>0log 2>log 2a b a b ⎧⎪⎨⎪⎩，即>1>1a b a b
⎧⎪⎨⎪<⎩
，所
以1a b <<，
所以“()()22
log 2log 21a b x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是2a b <<，
故选：C.
【点睛】本题考查方程表示椭圆的条件，以及命题的充分不必要条件的判定，属于中档题.5．中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（）
A ．60
B ．66
C ．72
D ．80
【答案】C
【分析】根据分步计数原理结合部分平均分组以及结合间接法运算求解.
【详解】5名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有112
534C C C 90=种安排方法，
若甲乙在同一实验舱的种数有111
332C C C 18=种，
故甲乙不在同一实验舱的种数有901872-=种.故选：C.
6．随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横、竖各分三部分，以比例1:0.618:1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用A ，B ，C ，D 表示黄金分割点．若照片长、宽比例为7∶3，设CAB α∠=，则
1
tan sin 2αα
-=（
）
A ．
47
B ．
37
C ．
2021
D ．
121
【答案】C
【分析】由已知得到3
tan 7
α=
，利用二倍角公式，同角三角函数关系化弦为切，代入求值.【详解】依题意37BC AB =，所以3tan 7α=，所以221sin cos tan tan sin 22sin cos αα
ααααα
+-=-2
2222
31tan 1tan 12tan 1tan 207tan 32tan 2tan 2tan 21
27
αααααααα⎛⎫
- ⎪++--⎝⎭
=-====
⨯.故选：C
7．已知5a <且5e 5e ,4a a b =<且44,3b be e c =<且3e 3e c c =，则（）
A ．c b a <<
B ．b<c<a
C ．a c b
<<D ．a b c
<<【答案】D
【解析】令(),0x
e f x x x
=>，利用导数研究其单调性后可得,,a b c 的大小.
【详解】因为5e 5e ,5a a a =<，故0a >，同理0,0b c >>，令(),0x
e f x x x =>，则()()2
1x e x f x x
-'=，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x ¢>，故()f x 在()0,1为减函数，在()1,+∞为增函数，
因为5
e 5e ,5a
a a =<，故5e e 5a
a
=，即()()5f f a =，而05a <<，
故01a <<，同理01b <<，01c <<，()()4f f b =，()()
3f f c =
因为()()()543f f f >>，故()()()f a f b f c >>，所以01a b c <<<<.故选：D ．
【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键．
8．已知12,F F ,为椭圆2222:1(0)x y
C a b a b
+=>>的左右焦点，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆
C 的一个交点为A ，若12AF AF ⊥,122F AF S ∆=，则椭圆C 的方程为A ．22
1
2016
x y +=B ．22
1
84
x y +=C ．22
1
82x y +=D ．22
1
62
x y +=【答案】D
【分析】根据面积公式及勾股定理得到点A 坐标，再由椭圆的定义即可求得长轴长，进而求得椭圆方程．
【详解】设椭圆半焦距为c ，A （x 0，y 0）（y 0＞0），由122F AF S ∆=得1
2×2c•y 0=2，∴y 0=
2c ，∴x 0=3y 0=23
c
，又12F AF ∆为直角三角形，则|OA|=1
2|F 1F 2|=c ，在直角2O AF ∆中，由勾股定理得（
2c ）2+（23c
）2=c 2
，解得c=2，所以A （3，1），F 1（-2，0），F 2（2，0），所以2a=|AF 1|+|AF 2|=
(
)
(
)
2
2
321321+++
-+=26，
∴a=6,a 2
=6，∴b 2
=2，
∴椭圆C 的方程为22
162
x y +=．
故选D ．
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，注意平面几何知识的简单应用.
二、多选题
9．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则下列说法中正确的是（
）
A ．成绩在[)70,80内的考生人数最多
B ．不及格的考生人数为1000
C ．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D ．考生竞赛成绩的中位数为75分【答案】ABC
【分析】读懂题目提供的直方图，根据图中的数据逐项分析即可.
【详解】对于A ，由频率分布直方图可得，成绩在[)70,80内的面积最大，因此考生人数最多，故A 正确；
对于B ，由频率分布直方图可得，成绩在[)40,60内的频率为()100.010.0150.25⨯+=，因此不及格的人数为40000.251000⨯=，故B 正确；
对于C ，由频率分布直方图可得，平均分约为：
450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5(⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分），
故C 正确；
对于D ，因为成绩在[)40,70内的频率为()100.010.0150.020.45⨯++=，在[)70,80内的频率为0.3，所以中位数为0.50.45
701071.670.3
-+⨯≈，故D 错误；故选：ABC .
10．已知函数()()sin 2f x x ωϕ=+（ω为正整数，π2ϕ<）的最小正周期3π3π,42T ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，将函数()f x 的图象向右平移
π
6
个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数()f x 的说法正确的是（）
A ．π
6
-是函数()f x 的一个零点
B ．函数()f x 的图象关于直线5π
12
x =-
对称
C ．方程()1
2f x =在[]0,π上有三个解D ．函数()f x 在ππ,62⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减
【答案】ABD
【分析】先由周期范围及ω为正整数求得1ω=，再由()f x 平移后关于原点对称求得π
3
ϕ=，从而得到()πsin 23f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
对于AB ，将π6
x =-与5π
12x =-代入检验即可；
对于C ，利用换元法得到1sin 2t =在π7π,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内只有两个解，从而可以判断；
对于D ，利用整体法及sin y x =的单调性即可判断.
【详解】因为()()sin 2f x x ωϕ=+，3π3π,42T ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以3π2π3π422ω<<，解得2433ω<<，又ω为正整数，所以1ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，所以函数()f x 的图象向右平移
π
6
个单位长度后所得图象对应的函数()ππsin 2sin 263g x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
（点拨：函数()sin 0y x ωω=>的图象经过平移变换得到()sin y x ωϕ=+的图象时，不是平移ϕ个单位长度，而是平移
ϕ
ω
个单位长度），由题意知，函数()g x 的图象关于原点对称，故()ππZ 3k k ϕ-
=∈，即()π
πZ 3k k ϕ=+∈，又π2ϕ<，所以0k =，π3ϕ=，所以()πsin 23f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
对于A ，πππsin 2sin00663f ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-=⨯-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；
对于B ，5π5πππsin 2sin 1121232f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=⨯-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，故B 正确；
对于A ，令π23t x =+
，因为[]0,πx ∈，所以π7π,33t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，显然1sin 2t =在π7π,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦内只有5π6，13π6两个解，即方程()12
f x =在[]0,π上只有两个解，故C 错误；
对于A ，当ππ,62x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，π2π4ππ3π2,,33322x ⎛⎫⎛⎫+∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
因为sin y x =在π3π,22⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，所以函数()f x 在ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故D 正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：求解此类问题的关键是会根据三角函数的图象变换法则求出变换后所得图象对应的函数解析式，注意口诀“左加右减，上加下减，横变
1
ω
，纵变A ”在解题中的应用.
11．上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示，山脚A ，B 两点和敌方阵地D 点在同一条直线上，某炮弹的弹道DCE 是抛物线Γ的一部分，其中E 在直线AB 上，抛物线的顶点C 到直线AB 的距离为100米，DE 长为400米，CD CE =，30CAB ∠= ，建立适当的坐标系使得抛物线Γ的方
程为()2
20x py p =->，则（
）
A ．200
p =B ．Γ的准线方程为100
y =C ．Γ的焦点坐标为()0,50-D ．弹道CE 上的点到直线AC 的距离的最大值为
503
3
【答案】ABD
【分析】根据题意，建立以C 为坐标原点，x 轴平行于AB ，y 轴垂直于AB ，结合图像，求出抛物线方程，准线方程，焦点坐标，即可判断ABC ；根据题意，求出直线AC 的方程，不妨设CE CE 上一点为Q ，判断出当Q 该点处的切线与直线AC 平行时，其到直线AC 的距离最大，求解最大值即可.【详解】如图所示，建立以C 为坐标原点，x 轴平行于AB ，y 轴垂直于AB .此时()0,0C ，()200,100E --，()200,100D -，
抛物线Γ的方程为()2
20x py p =->，即()22002100p =-⨯-，
解得200p =，故A 正确；
抛物线Γ的方程为2400x y =-，准线方程为100y =，焦点坐标为()0,100-，故B 正确，C 错误；
因为30CAB ∠= ，()0,0C ，故3tan 303
AC k == ，所以直线AC 的方程为3
3
y x =
即30x y -=，不妨设CE 上一点为()00,Q x y ，[]0200,0x ∈-，
当Q 该点处的切线与直线AC 平行时，其到直线AC 的距离最大.由21400y x =-
可得1200y x '=-，故0132003
x -=，
解得()00200
100,,33
Q x y ⎛⎫
=-
-
⎪⎝
⎭
，此时Q 点到直线AC 的距离为
()
2
2200100
3350
3333
13
-
+=
+-，故D 正确.故选：ABD.
12．已知三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，1114AB BC CA ===.若点O 到三棱柱
111ABC A B C -的所有面的距离都相等，则（）
A ．1B
B ⊥平面AB
C B ．1
AB AA =C ．平面111A B C 截球O 所得截面圆的周长为4πD ．球O 的表面积为24π【答案】AC
【分析】根据球的性质可判断111ABC A B C -为直棱柱，即可判断A ，由内切球的性质，结合三棱柱的特征即可判断B ，由勾股定理以及等边三角形的性质可判断CD.
【详解】选项A ，三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，根据球的对称性可知三棱柱
111ABC A B C -为直棱柱，所以1BB ⊥平面ABC ，因此A 正确.
选项B ：因为1114AB BC CA ===，所以AB BC CA ==.因为点O 到三棱柱111ABC A B C -的所有面的距离都相等，所以三棱柱111ABC A B C -的内切球与外接球的球心重合.设该三棱柱的内切球的半径为r ，与底面以及侧面相切于,H M ,则12,AA r =OM OH r ==,由于M 为矩形BCC B ''的对角线交点，所以
HN r =，而三角形ABC 为等边三角形，所以113
332HN AN AB ==⨯,所以23AB r =，所以
13AB AA =，因此B 错误.
选项C ：由14AB =，可知2222214121616BB AB r r r +=+==，解得1r =（负值已舍去），则23AB BC CA ===.易得111A B C △的外接圆的半径2223
332
2r AN AB =⨯==
，
所以平面111A B C 截球O 所得截面圆的周长为22π4πr =，因此C 正确.
选项D ：三棱柱111ABC A B C -外接球的半径22
2212(
)2152
AA R r =+=+=，所以球O 的表面积24π20πS R ==，因此D 错误.
故选：AC
三、填空题
13．已知向量()()3,1,4,2a b =-=-
，且()
a a
b λ⊥- ，则实数λ的值为
．
【答案】
75
/1.4【分析】利用数量积运算律和垂直关系的向量表示求解
【详解】因为()a a b λ⊥- ，所以()
210140a a b a a b λλλ⋅-=-⋅=-= ，所以7
5
λ=．
故答案为：
75
14．在7
12x x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的展开式中，含5x 项的系数为
．
【答案】448
【分析】根据二项式定理，写出展开式通项，利用赋值法，可得答案.
【详解】由题意，其展开式的通项为()
727
17
71C 22C r
r
r r r r r T x x x --+⎛⎫
== ⎪
⎝⎭
，
令275r -=，解得6r =，则含5x 的系数为66
72C 448=.
故答案为：448.
15．已知等比数列{}n a 的公比0q >，其前n 项和为n S ，且26S =，314S =，则数列2211
log log n n a a +⎧⎫⎨⎬
⋅⎩⎭
的前2023项和为．
【答案】
20232024
【分析】先根据26S =，314S =，求出n a ，然后可求
221
1
log log n n a a +⋅，再利用裂项求和求解即可.
【详解】因为26S =，314S =，所以112
11
16
14a a q a a q a q +⋅=⎧⎨+⋅+⋅=⎩，因为0q >，所以2q =；
由2121(1)6S a a a q =+=+=得12a =，所以2n n a =；所以
22111
log log 2n n a n
==，
()2211111
log log 11n n a a n n n n +==-
⋅++，数列2211log log n
n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前2023项和为：
111111111120231122334202220232023202420242024
-
+-+-+-+-=-= .故答案为：
2023
2024
.16．已知函数()a f x ax b x =++与函数()221
g x x x
=+有公共点，则22a b +的最小值为.
【答案】
4
5
/0.8【分析】将问题转化为方程()()f x g x =有解，即2
1120x a x b x x ⎛⎫⎛
⎫+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有解，设
()1
2x t t x
+
=≥，则220t at b ---=，将关于t 的方程看成关于,a b 的直线方程220at b t ++-=，则22a b +可视为直线上的点(),a b 到原点的距离的平方，即为原点到直线的距离的平方，进而求解即可.【详解】令()()f x g x =，故a ax b x +
+221x x =+，即2210
a x ax
b x x ⎛⎫
+-++= ⎪⎝⎭
故方程2
1120x a x b x x ⎛⎫⎛
⎫+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭有解
设()1
2x t t x
+
=≥，则220t at b ---=将关于t 的方程看成关于,a b 的直线方程220at b t ++-=，则22a b +可视为直线上的点(),a b 到原点
的距离的平方，即为原点到直线的距离的平方
故()()()
22
222
22
222222299
162160111
1t t d t t t t t t ⎛⎫--
⎪===++-≥+⋅
-= ⎪++++⎝
⎭
当且仅当22t =时等号成立2
t ≥ 24t ∴=时能取得最小值，此时2
45
d =
故22a b +的最小值为45
故答案为：
45
.四、解答题
17．在△ABC 中，222cos cos 2sin sin sin C A A B B -=-．(1)求C 的大小；
(2)已知8a b +=，求△ABC 的面积的最大值．【答案】(1)π4
C =(2)42
【分析】（1）先把题给条件化为2222a c b ab -+=，再利用余弦定理即可求解C 的值．
（2）先用基本不等式求出ab 的最大值，再代入三角形的面积公式即可求得△ABC 的面积的最大值．【详解】（1）∵222cos cos 2sin sin sin C A A B B -=-，
∴()
222
1sin 1sin 2sin sin sin C A A B B ---=-，
∴222sin sin 2sin sin sin A C A B B -=-，∴2222a c b ab -+=，∴22222
cos 222
a b c ab C ab ab +-===
，又∵C ∈（0，π），∴C π
4
=．
（2）∵82a b ab =+≥（当且仅当4a b ==时取等号），∴16ab ≤，∴ABC S 的最大值为1π
16sin 4224
⨯⋅=．
18．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与均值．【答案】(1)
14
(2)分布列见解析；期望为
35
【分析】（1）根据古典概型公式，结合组合数公式，即可求解;
（2）首先确定随机变量的取值，0,1,2X =，再根据古典概型计算公式，列出分布列，求解数学期望.【详解】（1）设事件A =“三种粽子各取到1个”，
则由古典概型的概率计算公式有()111
23105
3
C C C 1C 4
P A ==．（2）X 的所有可能值为0，1，2，
且()3
8310C 70C 15P X ===，()1228
310C C 71C 15P X ===，()2128310C C 12C 15
P X ===．
所以X 的分布列为X
012
P
7
15715115
故()77130121515155
E X =⨯
+⨯+⨯=．19．已知数列{}n a 为正项等比数列，数列{}n b 满足11b =，23b =，
()1122333232n n n a b a b a b a b n ++++=+- ．
(1)求n a ；
(2)设n n b a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，证明：6n S <．
【答案】(1)1
2
n n a -=(2)见解析
【分析】（1）根据前n 项和的定义，结合题意以及等比数列的定义，可得答案；
（2）根据前n 项和的定义，结合数列{}n a 的通项公式，求得数列{}n b 的通项公式，利用错位相减法，可得答案.
【详解】（1）令()1122333232n
n n n T a b a b a b a b n ++++=-=+L ，
当1n =时，()11132321a b T ==+-⨯=，由11b =，则11a =；
当2n =时，()2
22213223216a b T T =-=+⨯-⨯-=，由23b =，则22a =.
由数列{}n a 为正项等比数列，设其公比为q ，则2
1
2a
q a
==，所以1112n n n a a q --==.（2）证明：当2n ≥时，()()()11
132323252212n n n n n n n a b T T n n n ---⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦，则21n b n =-，显然1n =时也成立，所以()*21N n b n n =-∈.
0121135212222n n n S --=
++++L ，12311352122222n n
n S -=++++L ，两式相减可得：01231112222212222222n n n n S --=+++++-L 111121
232212312212
n n n n n -⎛⎫
- ⎪-+⎝⎭=+-=--，
解得1
23
62n n n S -+=-，因为
1
23
02n n -+>，所以6n S <.20．如图，已知圆柱的上、下底面圆心分别为P ，Q ，11AAC C 是圆柱的轴截面，正方形ABCD 内接于下底面圆Q ，AB ＝a ，16AA =
．
(1)当a 为何值时，点Q 在平面PBC 内的射影恰好是PBC 的重心；(2)在（1）条件下，求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的余弦值．【答案】(1)当62a =时，Q 点在平面PBC 内的射影恰好是PBC 的重心.(2)13
【分析】（1）取BC 的中点E ，连接,,QE PE PQ ，证得BC ⊥平面PQE ，过点Q 作QF PE ⊥，得到BC QF ⊥，进而证得QF ⊥平面PBC ，得到F 是Q 在平面PBC 内的射影，结合F 恰好是PBC 的重
心，得到3PE EF =，在直角PQF △中，即可求解；
（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAD 和平面PBC 的一个法向量为(0,2,1)m =- 和(0,2,1)n =
，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）解：取BC 的中点E ，连接,,QE PE PQ ，
可得,QE BC PE BC ⊥⊥，且QE PE E ⋂=，,QE PE ⊂平面PQE ，所以BC ⊥平面PQE ，过点Q 作QF PE ⊥，交PE 于点F ，因为QF ⊂平面PQE ，所以BC QF ⊥，
又BC PE E ⋂=，,BC PE ⊂平面PBC ，所以QF ⊥平面PBC ，即F 是Q 在平面PBC 内的射影，
因为F 恰好是PBC 的重心，所以3PE EF =，在直角PQF △中，11
22
QE AB a ==，223QE EF PE EF =⋅=，所以33,62EF a PE a =
=，所以12
62
PQ a AA ===，解得62a =，所以62a =时，Q 点在平面PBC 内的射影恰好是PBC 的重心.
（2）解：以D 为坐标原点，DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，作1//DM AA ，以DM 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0),(32,32,6),(62,0,0),(62,62,0),(0,62,0)D P A B C ，所以(62,0,0),(32,32,6),(32,32,6),(62,0,0)DA DP PB CB ===-=
，设平面PAD 的法向量为(,,)m x y z = ，则620323260m DA x m DP x y z ⎧⋅==⎪
⎨⋅=++=⎪⎩ ，取1z =，可得0,2x y ==-，所以(0,2,1)m =-
，
设平面PBC 的法向量为(,,)n a b c = ，则323260
620n PB a b c n CB a ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩
，
取1c =，可得0,2a b ==，所以(0,2,1)n =
，
由图象可得平面PAD 与平面PBC 所成二面角的平面角为锐角，所以
11
cos ,333m n m n m n ⋅-===⨯ ，即平面PAD 与平面PBC 所成二面角的余弦值为1
3
．
21．已知椭圆1C ：
()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦点与抛物线2C ：22y px =，()0p >的焦点重合，1C 的离心率为1
2，过1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截2C 所得的弦长为4．(1)求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；
(2)过点M （3，0）的直线l 与椭圆1C 交于A ，B 两点，点B 关于x 轴的对称点为点E ，证明：直线AE 过定点．
【答案】(1)椭圆1C 和抛物线2C 的方程分别为：22
143
x y +=，24y x =；
(2)4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】（1）由题意可得2
p
c =
，由于椭圆的离心率可得a ，c 的关系，进而可得p ，c 的关系，再由过1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截2C 所得的弦长为4可得c 的值，再由a ，b ，c 的关系求出椭圆的方程及抛物线的方程；
（2）设直线AB 的方程，及A ，B 的坐标由题意可得E 的坐标，将直线与椭圆联立可得两根之和及两根之积，求出直线AE 的直线方程，将两根之和及之积代入可得恒过定点.【详解】（1）由1C 的离心率为1
2，可得
1
2
c a =，所以2a c =，因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，所以2
p
c =
，2p c =，过1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截2C 所得的弦长为4，令x c =代入抛物线的方程：可得22y p c =⋅，所以22y pc c ==，
即422c =⋅，解得1c =，所以2a =，22p c ==，由222b a c =-可得2413b =-=，所以椭圆1C 和抛物线2C 的方程分别为：
22
143
x y +=，24y x =；
（2）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：3x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意可得()22,E x y -，
直线与椭圆联立：22
334120
x my x y =+⎧⎨+-=⎩，整理可得：()
224318150m y my +++=，()222
Δ18443150m m =-+⋅>，
可得2
53m >
，1221843m y y m -+=+，12
2
15
43y y m =+，直线AE 的方程为：()12
1
112
y y y y x x x x +-=--，整理可得：1211211112
121212
y y y x y x y x y x
y x x x x x x x ++-=
-+---()()()()
()()
()()
211212
2
2
121212123318
24
4343y my y my y y x x m y y m y y y y m y y m ++++-=
-=
+---+-+()()212184343x y y m -⎛
⎫=
-
⎪
-+⎝⎭所以当43x =
时，0y =，即过定点4,03⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以可证直线AE 过定点4,03⎛⎫
⎪⎝⎭
.
【点睛】解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.22．已知函数()ln f x x x mx m =-+，其中R m ∈．
(1)求()f x 的单调区间；
(2)若存在()1,x ∈+∞，使得不等式()ln f x x <-成立，求m 的取值范围．【答案】(1)见解析(2)()
2,+∞【分析】（1）求函数()f x 的定义域并求出导数()f x '，解不等式()0f x '<和()0f x ¢>即可作答.（2）由给定不等式变形，构造函数()()()1ln ,1,1
m x h x x x x -=-∈+∞+，借助导数分类讨论()0h x <有
解即可.
【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()ln 1f x x m '=+-，令()0f x '=，得1e m x -=，由()0f x '<，解得10e m x -<<，由()0f x ¢>，解得1e m x ->，
所以()f x 的单调递减区间为()10,e m -，单调递增区间为()1
e ,m -+∞.
（2）不等式()ln f x x <-，即()1ln 01
m x x x --
<+，设()()()1ln ,1,1
m x h x x x x -=-
∈+∞+，
依题意，存在()1,x ∈+∞，()0h x <，
而()()()()
222
2111211x m x m h x x x x x +-+'=-=++，()10h =，当0m ≤时，()0h x >在()1,+∞上恒成立，不满足题意，
当02m <≤时，方程()2
2110x m x +-+=的判别式()()2
414420m m m ∆=--=-≤，
即()0h x '>在()1,+∞上恒成立，则()h x 在()1,+∞上单调递增，
()()10h x h >=，()0h x >在()1,+∞上恒成立，不满足题意，
当m>2时，令()0h x '=，得()
2
1111x m m =--
--，()
2
2111x m m =-+--，
由21x >和121=x x 得11<x ，则当()21,x x ∈时，()0h x '<，()h x 在()21,x 上单调递减，此时()()10h x h <=，
因此，当()2,m ∈+∞时，存在()01,x ∈+∞，使得不等式()00h x <成立，所以满足题意的m 的取值范围为()2,+∞．
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.。