高中数学-向量减法运算及其几何意义练习

高中数学-向量减法运算及其几何意义练习
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分) 1．平行四边形ABCD 中，AB →－AC →－CA →＋CD →
等于( ) A ．2CD → B.AB → C ．2AB →
D ．0
2．化简下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →－AC →＋BD →－CD →；③OA →－OD →＋AD →；④NQ →＋QP →＋MN →
－MP →
.其中结果为零向量的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．在△ABC 中，向量BC →
可表示为( ) ①AB →－AC →；②AC →－AB →；③BA →＋AC →；④BA →－CA →. A ．①②③ B ．①③④ C ．②③④ D ．①②④
4．已知O 为平行四边形ABCD 所在平面上一点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →
＝d ，则( ) A ．a ＋b ＋c ＋d ＝0 B ．a －b －c ＋d ＝0 C ．a ＋b －c －d ＝0 D ．a －b ＋c －d ＝0 5．已知任意两个向量a ，b ，则( ) A ．|a ＋b|＝|a|＋|b | B ．|a －b|＝|a|－|b | C ．|a －b|≤|a|－|b| D ．|a －b|≤|a|＋|b|
6．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA →＋PB →＝PC →
，则下列结论中正确的是( )
A ．P 在△ABC 的内部
B ．P 在△AB
C 的边AB 上 C ．P 在AB 边所在直线上
D ．P 在△ABC 的外部
7．设a ，b 为非零向量，且满足|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 的关系是( ) A ．既不共线也不垂直 B ．垂直 C ．同向 D ．反向
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
8．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且|BC →|＝4，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →
|，则|AM →
|＝________．
9．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →
|＝________．
图L2­2­5
10．如图L2­2­5，在正六边形ABCDEF 中，与OA →－OC →＋CD →
相等的向量有________．(填序号)
①CF →；②AD →；③DA →；④BE →；⑤CE →＋BC →；⑥CA →－CD →；⑦AB →＋AE →. 11．若|OA →|＝8，|OB →|＝5，则|AB →
|的取值范围是________． 三、解答题(本大题共2小题，共25分)
得分
12．(12分)若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →
|，试判断△ABC 的形状．
13．(13分)如图L2­2­6所示，已知平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →
＝b . (1)用a ，b 表示向量AC →，DB →
；
(2)当a ，b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直； (3)当a ，b 满足什么条件时，|a ＋b|＝|a －b|.
图L2­2­6
1．D [解析] AB →－AC →－CA →＋CD →＝CB →－CA →＋CD →＝AB →＋CD →
＝0. 2．D [解析] 4个向量化简后均为零向量．
3．C [解析] 由向量减法和加法可得②③④正确．
4．D [解析] 在平行四边形ABCD 中，∵OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →
＝d ，
∴a －d ＝DA →，c －b ＝BC →，∴a －b ＋c －d ＝(a －d )＋(c －b )＝DA →＋BC →
＝0，∴选D.
5．D [解析] 若a ，b 为共线向量且方向相同，则有|a －b|<|a|＋|b|，若方向相反，则有|a －b|＝|a|＋|b|.
若a ，b 不共线，则|a|，|b|，|a －b|构成三角形，如图，
∴|a －b|<|a|＋|b|.故|a －b|≤|a|＋|b|.
6．D [解析] 由PA →＋PB →＝PC →，可得PA →＝PC →－PB →＝BC →
，∴四边形PBCA 为平行四边形．∴点P 在△ABC 的外部，故选D.
7．D [解析] 设a ，b 的起点为O ，终点分别为A ，B ，则a －b ＝BA →
，由|a －b |＝|a |＋
|b |，得O ，A ，B 三点共线，且O 在A ，B 之间．所以OA →与OB →
反向，故选D.
8．2 [解析] 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB.由向量的加、减法的几何意义可知AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →.因为|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以|AD →|＝|CB →|.又|BC →
|＝4，M 是线
段BC 的中点，M 是对角线BC ，AD 的交点，所以|AM →
|＝12|AD →|＝12
|CB →|＝2.
9．2 [解析] |AB →－CB →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AC →＋CD →|＝|AD →
|＝2.
10．① [解析] ∵OA →－OC →＋CD →＝CA →＋CD →＝CF →，CE →＋BC →＝BC →＋CE →＝BE →≠CF →，CA →－CD →＝DA →
≠CF →，AB →＋AE →＝AD →≠CF →
，∴填①.
11．[3，13] [解析] AB →＝OB →－OA →.当OA →，OB →同向共线时，|AB →|＝|OA →|－|OB →|＝3；当OA →
，OB →反向共线时，|AB →|＝|OA →|＋|OB →
|＝13；
当OA →，OB →不共线时，由||OA →|－|OB →||<|OB →－OA →|<|OA →|＋|OB →|，可得3<|AB →
|<13.
综上可得3≤|AB →
|≤13.
12. 解：∵OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →
， 又|OB →－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →
|，∴以AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，∴该平行四边形为矩形，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是直角三角形．
13．解：(1)AC →＝a ＋b ，DB →
＝a －b . (2)若a ＋b 与a －b 垂直，即平行四边形的两条对角线互相垂直，则四边形ABCD 为菱形，所以a ，b 应该满足|a|＝|b|.
(3)|a ＋b|＝|a －b|表示平行四边形的两条对角线的长相等，这样的平行四边形为矩形，故a ，b 应互相垂直．。