上海市第六中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析

上海市第六中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设奇函数上是增函数，且，则不等式的解集为
（）
A． B．
C． D．
参考答案：
D
∵奇函数在上是增函数，，，∴，又，∴，从而有函数的图象如图
，则有不等式的解集为解集为或，选D.
2. 已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，倾斜角为的动直线l与椭圆E 交于M，N两点，则当△FMN的周长的取得最大值8时，直线l的方程为（）
A．x﹣y﹣1=0 B．x﹣y=0 C．x﹣y﹣=0 D．x﹣y﹣2=0
参考答案：
A
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】首先利用椭圆的定义建立周长的等式，进一步利用三角形的边长关系建立等式，求出a值，得到椭圆右焦点坐标，则直线方程可求．
【解答】解：如图，
设右焦点为A，一动直线与椭圆交于M、N两点，
则：△FMN周长l=MN+MF+NF=MN+2a﹣MA+2a﹣NA=4a+（MN﹣MA﹣NA）．
由于MA+NA≥MN，
∴当M，A，N三点共线时，△FMN的周长取得最大值4a=8，则a=2，
又e=，∴c=1，则A（1，0），
∴直线l的方程为y=1×（x﹣1），即x﹣y﹣1=0．
故选：A．
3. 若实数x，y满足约束条件则的取值范围是（）
A．B．C．D．[1，2]
参考答案：
A
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（），
联立，解得B（1，2），
由，得的取值范围是[]．
故选：A．
4. 已知a、b∈R，i为虚数单位，若，则a+b的值为
A．0 B．1 C．2
D．3
参考答案：
C
5. 中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是
A B
C D
参考答案：
C
略
6. 若函数在上既是奇函数，又是减函数，则
的图像是( )
参考答案：
A
7. 已知P={﹣1，0，}，Q={y|y=sinθ，θ∈R}，则P∩Q=( )
A．? B．{0} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，}
参考答案：
C
考点：交集及其运算；正弦函数的定义域和值域．
专题：计算题．
分析：由题意P={﹣1，0，}，Q={y|y=sinθ，θ∈R}，利用三角函数的值域解出集合Q，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．
解答：解：∵Q={y|y=sin θ，θ∈R}，
∴Q={y|﹣1≤y≤1}，
∵P={﹣1，0，}，
∴P∩Q={﹣1，0}
故选C．
点评：本题考查两个集合的交集的定义和求法，以及函数的定义域、值域的求法，关键是明确集合中元素代表的意义．
8. 定义函数，若存在常数，对任意的，存在唯一的，使得
，则称函数在上的几何平均数为.已知，则函数在上的几何平均数为（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
9. 某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为
A.2000
B.4096
C.5904
D.8320
参考答案：
答案：C
解析：10000个号码中不含4、7的有84=4096，故这组号码中“优惠卡”的个数为10000-4096=5904，选C
10. 设函数f（x）=与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x0，y0）处的切线相同，先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用两直线重合列出等式即可求得b值，然后利用导数来研究b的最大值，研究此函数的最值问题，先求出函数的极值，结合函数的单调性，最后确定出最大值与最小值即得．
【解答】解：设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点P（x0，y0）处的切线相同、f′（x）=3x﹣2a，g′（x）=，
由题意f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0），
即x02﹣2ax0=a2lnx0+b，3x0﹣2a=
由3x0﹣2a=得x0=a或x0=﹣a（舍去），
即有b=a2﹣2a2﹣a2lna=﹣a2﹣a2lna．
令h（t）=﹣t2﹣t2lnt（t＞0），则h′（t）=2t（1+lnt），
于是当2t（1+lnt）＞0，即0＜t＜时，h′（t）＞0；
当2t（1+lnt）＜0，即t＞时，h′（t）＜0．
故h（t）在（0，）为增函数，在（，+∞）为减函数，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h（）=，
故b的最大值为．
故选A．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 命题“存在,使得”的否定是
参考答案：
对任意的，都有。

略
12. 命题“时，满足不等式”是假命题，则的取值范围 __________．参考答案：
13. 已知满足约束条件,则目标函数
的取值范围
参考答案：
略
14. .已知sin α-3cos α=0，则=______．
参考答案：
【分析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求.可得
，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵
，
∴
，可得：
∴
．
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
15. 已知抛物线的焦点为F ，过F 作直线交C 于A ，B 两点，过A ，B 分别向C 的准线作垂线，垂足为
，已知
与
的面积分别为9和1，则
的面积为
_____．
参考答案：
6 【分析】
设设
，
，直线
，联立直线方程和抛物线方程可得
，从而
，
，用表示，用表示（该值
为9），化简后得到
的值.
【详解】设直线
，由可得
，
整理得到：，
设
，
，则
，
故
，
，
又，，
，整理得到
即
，故
，
而
，填6.
【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或
的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系
式，该关系中含有
或
，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程
（或函数），从而可解求值问题.
16. 已知向量=(,), =(,)，若，则= .
参考答案：
试题分析： 由已知．
，解得，
.
考点：平面向量的坐标运算.
17. 双曲线
的离心率为2，其渐近线与圆相切，则双曲线
C 的方程是______．
参考答案：
【分析】
利用已知条件列出方程，求出a ，b 然后求解双曲线方程．
【详解】由已知离心率，即b 2=3a 2；
又渐近线bx+ay=0与圆（x-a ）2+y 2=3相切得，
联立得a 2=4，b 2=12，所以双曲线方程为：
故答案为：
【点睛】本题考查双曲线的简单性质以及直线与圆的位置关系的应用，考查中航三鑫以及计算能力．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）如图，正方形
、直角梯形
、直角梯形
所在平面两两垂直，
．且
，.
（Ⅰ）求证：四点
共面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
参考答案：
（Ⅰ）证明：由正方形
、直角梯形
、直角梯形
所在平面两两垂直，易
证：AD 、DE 、DG 两两垂直，建立如图的坐标系，则
A （0，0，2），
B （2，0，2），
C （0，1，2）， E （2，0，0），G （0，2，0），F （2，1，0）
∴
，即四边形BCGF 是平行四边形.
故四点B 、C 、F 、G 共
面. ………6分 也可用几何法：取DG 的中点M,连结FM,BF ，证
即可．
（Ⅱ）
，
设平面BCGF 的法向量为
,
则则，
设平面DBC的法向量；且,
则则
，
故二面角
． (12)
分
19. 选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排
列，点A的极坐标为（2，）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．
参考答案：
【考点】椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；
（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为
（2）设P（x0，y0），则为参数）
t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ
∵sin2φ∈[0，1]
∴t∈[32，52]
【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．
20. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）。

若以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中为常数）
（1）当时，曲线与曲线有两个交点.求的值;
（2）若曲线与曲线只有一个公共点，求的取值范围.
参考答案：
解：的方程是，
消去参数，得………2分
曲线的方程
即
转化为直角坐标方程为：………5分
（1）当时，联立
化简得：
即… 6分（2）曲线与曲线只有一个交点
✍相切时,将代入
得只有一个解
得……8分✍相交时，如图:
综上：曲线与曲线只有一个交点时
或………10分21. 定义在[-1,1]上的奇函数，已知当时，(Ⅰ）求在[0,1]上的最大值；
(Ⅱ）若是[0，1]上的增函数，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）设
当a≥ 4时，f（x ）的最大值为2a-4.
(Ⅱ）因为函数f(x)在[0,1]上是增函数，
所以
22. (12分)已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若向量与向量
共线.
(1)求角C的大小;
(2)若,求a,b的值.
参考答案：
(1)
,
,
(2)①
②,由①②得或{。