2018全国高考1卷文科数学-详细解析汇报word精美版

2018年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷）
文科数学
本试卷4页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．已知集合}2,0{=A ，}2,1,0,1,2{--=B ，则=B A I （ ）
A ．}2,0{
B ．}2,1{
C ．}0{
D ．}2,1,0,1,2{-- 1．【解析】}2,0{=B A I ，选A ． 2．设i 2i
1i
1++-=
z ，则=z （ ） A ．0 B ．
2
1
C ．1
D ．2 2．【解析】()()()i i 22
i
2i 2i 1i 1i 12
=+-=+-+-=z ，则1=z
，选C ．
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面的结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少
B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
3．【解析】经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，所以建设前与建设后在比例相同的情况下，建设后的经济收入是原来的2倍，所以建设后种植收入为37%相当于建设前的74%，故选A ．
4．已知椭圆14:2
22=+y a
x C 的一个焦点为)0,2(，则C 的离心率为（ ） 28%
5% 30%
37%
第三产业收入
其他收入
养殖收入
种殖收入
建设后经济收入构成比例
6%
4% 30%
60%
第三产业收入
其他收入
养殖收入
种殖收入
建设前经济收入构成比例
A ．
31 B ．2
1
C ．22
D ．322
4．【解析】8442
2
2
=+=+=c b a ，所以离心率2
2
222=
==
a c e ，故选C ． 5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为21,O O ，过直线21O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A ．π212
B ．π12
C ．π28
D ．π10
5．【解析】易得圆柱的母线长与底面圆的直径均为22，所以圆柱的表面积222
⨯⨯=πS 2222⨯+π
π12=，故选B ．
6．设函数ax x a x x f +-+=2
3
)1()(．若)(x f 为奇函数，则曲线)(x f y =在点)0,0(处的切线方程为（ ）
A ．x y 2-=
B ．x y -=
C ．x y 2=
D ．x y =
6．【解析】R x ∈，ax x a x ax x a x x f x f +-++--+-=+-2
3
2
3
)1()1()()(2
)1(2x a -=0=，则1=a ，则x x x f +=3)(，13)(2
+='x x f ，所以1)0(='f ，在点)0,0(处的切线方程为x y =，故选D ．
7．在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB （ ）
A ．
AC AB 4143- B ．AC AB 4341- C ．AC AB 4143+ D ．AC AB 4
3
41+ 7．【解析】
AB 4
3
41)(4121)21(21)(21-=-+=+=+=， 则4
1
43-=
，故选A ． 8．已知函数2sin cos 2)(2
2
+-=x x x f ，则（ ）
A ．)(x f 的最小正周期为π，最大值为3
B ．)(x f 的最小正周期为π，最大值为4
C ．)(x f 的最小正周期为π2，最大值为3
D ．)(x f 的最小正周期为π2，最大值为4 8．【解析】2
5
2cos 31cos 32)cos 1(cos 2)(2
2
2
+=+=+--=x x x x x f ，最小正周期为π，最大值为4，
故选B ．
9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图． 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面 上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上， 从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）
A ．172
B ．52
C ．3
D ．2
9．【解析】将三视图还原成直观图，并沿点A 所在的母线把圆柱侧面展开成如图所示的矩形，从点M 到点N 的运动轨迹在矩形中为直线段时路径最短，长度为52，故选B ．
A B
D
E
10．在长方体1111D C B A ABCD -中，2==BC AB ，1AC 与平面C C BB 11所成的角为ο
30，则该长方体的体积为（ ）
A ．8
B ．26
C ．28
D ．38
10．【解析】1AC 与平面C C BB 11所成的角的平面角为ο
301=∠B AC ，因为2==BC AB ，所以
3260tan 1==οAB B C ，则221=BB ，长方体的体积282222=⨯⨯=V ，故选C ．
11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点),2(),,1(b B a A ，且3
2
2cos =α，则=-b a （ ）
A ．
5
1
B ．55
C ．552
D ．1
11．【解析】321cos 22cos 2
=
-=ααΘ，65cos 2=∴α，5
1tan ,61sin 2
2==∴αα．又角α终边上有两点),2(),,1(b B a A ，则)0(2
tan >==ab b a α．555525551422
=-=-⇒==∴b a b a ，故选B ． 12．已知函数⎩⎨⎧>≤=-0
,10
,2)(x x x f x ，则满足)2()1(x f x f <+的x 的取值范围是（ ）
A ．(]1,-∞-
B ．()+∞,0
C ．()0,1-
D ．()0,∞- 12．【解析】方法1：函数)(x f y =的图像如图所示， 则)2()1(x f x f <+即⎩
⎨
⎧+<<120
2x x x ，解得0<x ．故选D ．
方法2：将1-=x 代入)2()1(x f x f <+得)2()0(-<f f ，显然成立，所以排除B 、D ；将2
1
-=x 代入
)2()1(x f x f <+得)1()2
1
(-<f f ，显然成立，所以排除A ；故选D ．
D 1
A
B C D
A 1
C 1 B 1
M (A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数)(log )(2
2a x x f +=，若1)3(=f ，则=a ．
13．【解析】71)9(log )3(2-=⇒=+=a a f ．
14．若y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+-≤--001022y y x y x ，则y x z 23+=的最大值为 ．
14．【解析】可行域为ABC ∆及其内部，当直线2
23z
x y +-=经过点)0,2(B 时，6max =z ．
15．直线1+=x y 与圆0322
2
=-++y y x 交于B A ,两点，则=AB ． 15．【解析】圆0322
2
=-++y y x 的半径为2=r ，其圆心)1,0(-到直线1+=x y 的距离为22
2==d ，
所以2222
2
=-=d
r AB ．
16．ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．已知C B a B c C b sin sin 4sin sin =+，82
2
2
=-+a c b ，则ABC ∆的面积为 ．
16．【解析】由正弦定理得C B A B C C B sin sin sin 4sin sin sin sin =+，即2
1
sin =
A ．由根据余弦定理可得8cos 22
22==-+A bc a c b ，所以0cos >A ，得23sin 1cos 2
=
-=A A ，3
38=bc ，则ABC ∆的面积为3
3
22133821sin 21=⨯⨯==∆A bc S ABC ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）
已知数列{}n a 满足11=a ，n n a n na )1(21+=+，设n
a b n
n =． （1）求1b ，2b ，3b ；
（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{}n a 的通项公式．
17．【解析】（1）11=a Θ，4412==∴a a ；1262323=⇒=a a a ．
11=∴b ，22=b ，43=b ．
（2）n n a n na )1(21+=+Θ，n
a
n a n n 211=+∴
+，n n b b 21=∴+，即21=+n n b b ．
∴数列{}n b 是为等比数列，首项为1，公比为2．
（3）由（2）知1
2-=n n b ，
又n
a b n n =，所以12-⋅=n n n a ，即{}n a 的通项公式为1
2-⋅=n n n a ．
18．（12分）
如图，在平行四边形ABCM 中，3==AC AB ，ο
90=∠ACM ．以AC 为折痕将ACM ∆折起，使点M 达到D 的位置，且DA AB ⊥．
（1）证明：平面⊥ACD 平面ABC ；
（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且DA DQ BP 3
2
=
=，求三棱锥ABP Q -的体积． 18．【解析】（1）证明：Θ平行四边形ABCM 中ο
90=∠ACM ，
ο90=∠∴BAC ，即AC AB ⊥．
又DA AB ⊥，A DA AC =⊥，⊥∴AB 平面ACD ，
⊂AB Θ平面ABC ，∴平面⊥ACD 平面ABC ．
（2）DA DQ BP 3
2
=
=Θ， ∴ABC ABP S S ∆∆=
32且点Q 到平面ABC 的距离是点D 到平面ABC 的距离的3
1． Θ3==AC AB 且ο90=∠ACD ，
∴13332
1
27231929292=⨯⨯⨯⨯=⋅⨯===∆---AB S V V V ACD ACD B ABC D ABP Q ．
19．（12分）
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3
m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
A
P B
Q
M
C D
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.353m 的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
19．【解析】（1）使用了节水龙头50天的日用水量数据的频数分布直方图：
（2）样本中，该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.353
m 的频率为0.48，
频率/组距
日用水量/3m
频率/组距
/3m
估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.353m 的概率为0.48． （3）未使用节水龙头50天的日用水量的平均值约为：
48.02450
1]565.02655.0945.0435.0225.0315.0105.0[501=⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯； 使用了节水龙头50天的日用水量的平均值约为：
35.05.17501]555.01645.01035.01325.0515.0105.0[501=⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯， ()45.4735.048.0365=-⨯Θ，
∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省47.453m 的水．
20．（12分）
设抛物线x y C 2:2
=，点)0,2(A ，)0,2(-B ，过点A 的直线l 与C 交于N M ,两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABN ABM ∠=∠．
20．【解析】（1）当l 与x 轴垂直时，M 为)2,2(或)2,2(-，
则直线BM 的斜率为21
或2
1-，
直线BM 的方程为)2(21+=
x y 或)2(2
1
+-=x y ． （2）方法1：易知直线l 的斜率不为0，
不妨设2:+=my x l 且直线BN BM ,的斜率分别为21,k k ．
由⎩⎨⎧=+=x
y my x 222得0422
=--my y ，则4,22121-==+y y m y y ， 因为21k k +0)
4)(4(88)4)(4()(4244222121212122112211=+++-=++++=+++=+++=
my my m
m my my y y y my my y my y x y x y ， 所以直线BN BM ,的倾斜角互补，得ABN ABM ∠=∠． 方法2：设直线BN BM ,的斜率分别为21,k k ．
①当l 与x 轴垂直时，由（1）知21k k -=，即直线BN BM ,的倾斜角互补，所以ABN ABM ∠=∠； ②当l 不与x 轴垂直时，设),2(:-=x k y l ),(),,(2211y x N y x M ．
由⎩⎨⎧=-=x
y x k y 2)2(2得04)24(2
222=++-k x k x k ，则0≠k 且4,24212
221=+=+x x k k x x ． 因为21k k +0)
2)(2()
82(2)2(2)2(22212122112211=++-=+-++-=+++=
x x x x k x x k x x k x y x y ， 所以直线BN BM ,的倾斜角互补，得ABN ABM ∠=∠．
综合①②所述，得ABN ABM ∠=∠．
21．（12分）
已知函数1ln )(--=x ae x f x
．
（1）设2=x 是)(x f 的极值点，求a ，并求)(x f 的单调区间； （2）证明：当e
a 1
≥
时，0)(≥x f ． 21．【解析】（1）)0(1
)(>-
='x x ae x f x
Θ，2221021)2(e
a ae f =⇒=-='∴， 又221e a =时，x
e e x
f x 1
21)(2
-='． 由x e e y 2
21=
与x
y 1=的图像只有一个交点)21
,2(可知0)(='x f 在),0(+∞内只有一个解2=x ， )2,0(∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 为减函数；),2(+∞∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 为增函数，
即2=x 是)(x f 的极小值点， 则2
21
e a =
，)(x f 的减区间为)2,0(，)(x f 的增区间为),2(+∞． （2）方法1：证明：当e
a 1≥时，1
-≥x x e ae ． 令1ln )(1
--=-x e
x g x ，则x
e x g x 1)(1-
='-， 令x e
x g x h x 1)()(1
-
='=-，则01)(21
>+='-x
e x h x ，)(x g y '=为),0(+∞上的增函数． 又01)1()1(0
=-='=e g h ，
所以)1,0(∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 为减函数；),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 为增函数，
则010)1()(0
min =--==e g x g ，即01ln 1
≥---x e x ．
故当e
a 1≥
时，≥--=1ln )(x ae x f x 01ln 1
≥---x e x ，得证． 方法2：证明：当e
a 1≥时，1
-≥x x e ae ． 令x e
x g x -=-1
)(，则1)(1-='-x e x g ，
)1,0(∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 为减函数；),1(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 为增函数，
则01)1()(0
min =-==e g x g ，即x e x ≥-1
．
又令1ln )(--=x x x h ，则x
x x x h 111)(-=-
='，
)1,0(∈x 时，0)(<'x h ，)(x h 为减函数；),1(+∞∈x 时，0)(>'x h ，)(x h 为增函数，
则0101)1()(min =--==h x h ，即1ln +≥x x ． 综上所述，当e
a 1≥
时，1ln +≥x ae x
，即0)(≥x f ． 方法3：证明：令x
e
x x g 1
ln )(+=，)0(1
ln 1)1(ln )(2>+-=+-='x e x x e x e x e x g x x x x ， 令1ln 1)(+-=
x x x h ，则22111)(x
x
x x x h +-=--='， 当0>x 时，0)(<'x h ，)(x h 为减函数．
又0101)1(=--=h ，则)1,0(∈x 时，0)(>x h ；),1(+∞∈x 时，0)(<x h ．
即当)1,0(∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 为增函数；当),1(+∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 为减函数， 所以e
x g 1
)(max =． 又e
a 1
≥
Θ，即max )(x g a ≥， 所以)(x g a ≥恒成立，即0)(1ln 1
ln ≥⇔+≥⇔+≥x f x ae e
x a x x
，得证．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2||+=x k y ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为机轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为03cos 22
=-+θρρ．
（1）求2C 的直角坐标方程；
（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程． 22．【解析】（1）θρθρsin ,cos ==y x Θ，
所以2C 的直角坐标方程为0322
2
=-++x y x ； （2）曲线1C ：⎩⎨
⎧<+-≥+=0
,20
,2x kx x kx y ，其图像是关于y 轴对称且以)2,0(为端点的两条射线．
2C ：4)1(22=++y x ，其图像是以)0,1(-为圆心，半径为2的圆．
若1C 与2C 有且仅有三个公共点，
则0<k 且)0(2≥+=x kx y 与2C 相切(如图)．
由21
2
2=++-k k 且0<k ，解得34-=k ，则1C 的方程为：2||34
+-=x y ．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知11)(--+=ax x x f ．
（1）当1=a 时，求不等式1)(>x f 的解集；
（2）若)1,0(∈x 时不等式x x f >)(成立，求a 的取值范围． 23．【解析】（1）当1=a 时，11)(--+=x x x f ，则
1-≤x 时，2)(-=x f ，则1)(>x f 无解；
11<<-x 时，x x f 2)(=，则1)(>x f 的解集为)1,2
1
(；
1≥x 时，2)(=x f ，则1)(>x f 的解集为),1[+∞．
综上所述，所求解集为),2
1(+∞．
（2）)1,0(∈x 时不等式x x f >)(成立，即x ax x >--+11，则11<-ax 成立． 所以x
a ax 20111<<⇒<-<-． 因为10<<x 时，有
),2(2
+∞∈x
，所以20≤<a ．。