沪教版(1)向量的坐标表示及其运算(有答案)

沪教版(上海某校高二第一学期新高考辅导与训练第8章平面向量的坐标表示 8.1（1）向量的坐标表示及其运算
一、填空题
1. 已知，则的单位向量是________.
二、单选题
设向量，若以下三个向量首尾相接能构成三角形，则向量为()
A. B. C. D.
三、填空题
已知向量，，那么向量的坐标是________.
已知点，且，则a的值为________.
四、双空题
已知，则________，________.
五、填空题
设向量，若可组成一个三角形，则
________.
已知点，如果，则D的坐标为________. 六、单选题
下列命题中，正确的是()
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
已知向量，则下列关系式中正确的是()
A. B. C. D.
七、解答题
如图，
（1）写出的坐标；
（2）设，求和的单位向量.
已知，如果，求实数的值.
对两个向量，如果存在不全为零的常数，使，那么称向量
是线性相关的，否则称是线性无关的.问向量和是线性相关的还是线性无关的，并说明理由.
参考答案与试题解析
沪教版(上海某校高二第一学期 新高考辅导与训练 第8章 平面向
量的坐标表示 8.1（1）向量的坐标表示及其运算
一、填空题 1.
【答案】 、52、5)[． 【考点】
平面向量的正交分解及坐标表示 【解析】
先利用a →
−b →
=(3,−1),3a →
+2b →
=(4,7)求解出向量b ¯
的坐标，利用公式b 0→
=b
→
|b →
|
可求结
果． 【解答】
由已知，联立{
a →
−b →
=(3,−1)
3a →
+2b →
=(4,7)
，解得{a →
=(2,1)
b →=(−1,2)）、，所以|b →
|=√5
从而b →
0=
b
→
|b →
|
=(−
√55,2√5
5
) 故答案为：(−√55,2√55
) 二、单选题
【答案】
D
【考点】
向量的减法及其几何意义
平面向量的正交分解及坐标表示 向量的加法及其几何意义
【解析】
利用向量加法、减法的坐标运算，即得解 【解答】
依题意，得3a →
+(2b →
−a →
)+c →
=0→
．则得c ¯
=−2a →
−2b →
=(2,−6) 故选：D ． 三、填空题
【答案】
(2_Z )（亏75） 【考点】
向量的减法及其几何意义 向量数乘的运算及其几何意义 【解析】
直接利用向量的数乘运算和两个向量的加减运算，求出向量12a →
−b →
的坐标
【解答】
解：…向量a →
=(1,3),b →
=(−2,5) 向量-
—2a →
−b →
=1
2(1,3)−(−2,5)=(12,3
2)−(−2,5)=(5
2,−7
2) 故答案为：(5
2,−7
2
【答案】 2
【考点】
集合的确定性、互异性、无序性 三点共线 集合的相等 【解析】
根据点A (3,5),B (5,−1),P (4,a )，得到AP →
,PB →
的坐标，然后再根据|AP →
|=|PB →
|求解 【解答】
已知点A (3,5),B (5,−1),P (4,a ) 所以AP →
=(1,a −5),PB →
=(1,−1−a ) 因为/AP →
|=|PB →
|
所以√1+(a −5)2=√1+(−1−a )2 解得a =2 故答案为：2 四、双空题 【答案】 (1.3),(−2.4) 【考点】
区间与无穷的概念 平面向量的坐标运算 向量的减法及其几何意义 【解析】
设a →
=(x,y ),b →
=(m,n )，由3a →
+2b →
=(−1,17),2a →
−3b →
=(8,−6)，得到关于x,y,y,n 的方程组，即可得出答案 【解答】
解：设a →
=(x,y )b →
=(m,n )
所以3a →
+2b →
=(3x +2m,3y +2n ),2a →
−3b →
=(2x −3m,2y −3n ) 又因为3a →
+2b →
=(−1,17),2a →
−3b →
=(8,−6) 3x +2m =−1x =1
所以{3y +2n =172x −3m =8，解得{y =3
2y −3n =−6n =4 所以，a →
=(1.3)b →
=(−2,4) 故答案为：(1,3)(−2,4) 五、填空题
【答案】 3
【考点】
向量的减法及其几何意义
平面向量的正交分解及坐标表示 【解析】
根据题意，a →,b →,c →
中一个向量可用另两个向量表示，根据向量的横坐标关系，可得b →
=
c →
−a →
，即可求解．
【解答】
a →
=(2,1),b →
=(−3,2),c →
=(−1,t )a →,b →,c →
可组成一个三角形， 则b =c −a,∴ 2=t −1,t =3，此时设OC →
=c →
,OA →
=a →
则AC →
=b →
，又a →,c →
不共线，所以O,A,C 不共线可组成三角形， 即a →,b →,可组成一个三角形． 故答案为：3 【答案】 (−7, 8) 【考点】
平面向量的正交分解及坐标表示 【解析】
利用平面向量的坐标表示，及向量加法的坐标运算表示可得CD →
=(x −4,y +1)2CA →
+CB →
=(−11.9)，即得解 【解答】
设D 的坐标为(x,y )，则CD →
=(x −4,y +1) 且2CA →
+CB →
=2(−2,2)+(−7,5)=(−11,9) 故(x −4,y +1)=(−11,9) 即x =−7,y =8 故答案为：(−7,8) 六、单选题 【答案】 B
【考点】
相等向量与相反向量 【解析】
两向量相等则方向相同，模长相等可判断iAB 向量不可比较大小可判断C ．由零向量的概念可判断D ． 【解答】
若|a →
|=|b →
|，但是两个向量的方向未必相同，所以a →
=b →
不一定成立，A 不正确： 若a →
=b →
，则两向量的方向相同，模长相等，则/a ¯
|=|b →
|，B 正确； 向量不能比较大小，C 不正确； 若|a →
|=0，则a →
=v →
，D ．不正确． 故选：B ． 【答案】 B
【考点】
平面向量的正交分解及坐标表示 【解析】
根据选项分别计算AD →
,BC →
再判断即可． 【解答】
由题，AD →
=AB →
−CB →
+CD →
=(1,2)−(3,1)+(−4,−3)=(−6,−2),BC →
=−CB →
=(−1−1)，故AD →
=2BC →
故选：B 七、解答题 【答案】
（1）a →
=(3,1)b →
=(−3,3),c →
=(2,4)； （2）(−5,3)(−
5√3434
,3√3
34) 【考点】
平面向量的正交分解及坐标表示 【解析】
（1）根据图象，求得O (0,0),A (3,1),B (0,4),C (−2,0)，结合向量的坐标表示，即可求解； （2）根据向量的坐标运算，求得m →
=(−5,3)，再利用向量的模的坐标运算公式和向量m →
的单位向量计算方法．
【解答】
（1）如图所示，可得O (0,0),A (3,1),B (0,4),C (−2,0) 可得a →
=OA →
=(3,1),b →
=AB →
=(−3,3),cB →
=(2,4)
（2）由（1）可得m →
=a →
+2b →
−c →
=(3,1)+2⋅(−3,3)−(2,4)=(−5,3)
所以|n →
|=√(−5)2+32=√34
则向量m →的单位向量为m 0
→
=
m →
|n →
|
=√
34
⋅√
34
)=(−5√3434
,3√34
34) 【答案】
________，[m =1 \n =5
【考点】
集合的确定性、互异性、无序性
根式与分数指数幂的互化及其化简运算 方根与根式及根式的化简运算 【解析】
直接根据向量的坐标运算得到{10m −2n =0
5m +n =10，解得答案
【解答】
由c ¯
=ma ¯
+nb ¯
=m (10,5)+n (−2,1)=(10m −2n,5m )=(0,10) 故{10m −2n =05m +n =10，解得{m =1n =5 【答案】
是线性无关的，理由见解析 【考点】
平面向量的正交分解及坐标表示 【解析】
根据线性相关定义，设a i →
+ββy ¯
=β¯
(不全为0)，将t ¯,y ¯
坐标代入，建立α,β方程组，求解即可得出结论． 【解答】
设au →
+β=D →
(α,β不全为0)，(3α+2β,2α+3β)=(0,0) {3a +2β=02a +3β=0
，解得{α=0β=0，与αβ不全为0矛盾，
所以n →,是线性无关的．。