【数学】2.1《合情推理与演绎证明》课件2(新人教A版选修1—2)
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2 .1 .2
演绎推理
中 在日常生活和数学学习 ,我们还经常以某些 ,得出一些个别的、 一般的判断为前提得出一些个别的、具体 的 . 判断例如: (1)所有的金属都能够导电铀是金属,所以铀 , ; 能够导电 (2)太阳系的大行星都以椭 圆形轨道绕太阳运 , 行 冥王星是太阳系的大行 ,因此冥王星以椭 星 ; 圆形轨道绕太阳运行
2 f (x1 ) − f (x 2 ) = − x1 + 2x1 − − x 2 + 2x 2 2 = (x 2 − x1 )(x 2 + x1 − 2).
(
) (
)
因为x1 < x 2 , 所以x 2 − x1 > 0; 因为x1, x 2 ≤ 1, x1 ≠ x 2 , 所以x 2 + x1 − 2 < 0.
2 , 例5 如图 .1− 3所示在锐角 ABC中AD ⊥ BC BE ⊥ , , 三角形 AC D E是垂足求证: AB的中 , , . , . 点M到D E的距离相等 A
C
D E
证明 (1)因为有一个内角是 图 2 .1 − 3 直角的三角形是直角形, 大前提 在∆ABD中, AD ⊥ BC, 即∠ADB = 90 0 , 小前提
(3)在一个标准大气压下 ,水的沸点是 100 C 所 ,
0 0
把水加热到 100 C时水 , 以在一个标准大气压下 会沸腾 ;
(4)一切奇数都不能被 整除 (2 2 ,
100
2 ; 所以2100 +1不能被 整除 (5)三角函数都是周期函数tanα是三角函数 , , ; 因此tanα是周期函数 (6)两条直线平行同旁内角互补如果∠A与∠B , . 是两条平行的同旁内角 ,那么 A + ∠B = 1800. ∠ 上面的推理都是从一般 性的原理出发, 推出某 个特殊情况下的结论 , 我们把这种推理称为演 绎推理 (∗ )(demonstrat ive reasoning ).简言之, 演绎推理是由一般到特 殊的推理.
《 》 的 原本 与公理化方法 ".
原始概念和一组不加证 明 像这种尽可能少地选取 (公理、 ), , 的原始命名公理、公设 以此为出发点应用演绎 , 推理 推出尽可能多的结论的 ,称为公理化方 方法 . : ,推 法公理化方法的精髓是 利用尽可能少的前提 . 出尽可能多的结论
《 》 自然科学、 , 自然科学、 继 原本 之后公理化方法广泛应用于 《 .例如牛顿在他的巨著自然哲学的 , 社会科学领域 》, , 运用演绎推理 数学原理 中以牛顿三定理为公理 , 推出关于天体空间的一系列科学理论建立了牛 . 顿力学的一整套完整的 理论体系 , 至此 我们学习了两种推理方 式 合情推理与演绎 . 推理 ? 思考 合情推理与演绎推理的 主要区别是什么 . , 归纳和类比是常用的合 情推理从推理形式上看 ,类比是 归纳是部分到整体、 别到一般的推理 归纳是部分到整体、个
"三 论 是 绎 理 一 模 ,包 : 段 " 演 推 的 般 式 括 (1) 大前提 已知的一般原理; (2)小前提 所研究的特殊情况 ; (3)结论 根据一般原理,对特殊情况做出判断. "三段论 推理的例子吗 " ? 思考 你能再举出一些用 .我们来看 数学的证明主要通过演 绎推理来进行的 . 一个例子
] 例6 证明函数f (x) = −x2 + 2x 在(− ∞,1 上是增 . 函数
分析 证明本例所依据的大前 提是增函数的定 , 义即函数y = f (x)满足: 在给定区间内任取自变 x f 量的两个值 1, x2,若x1 < x2,则有 (x1) < f (x2 ).
] 小前提是 (x) = −x2 + 2x, x ∈(− ∞,1 满足增函数 f , . 的定义这是证明本例的关键 证明 任取x1, x 2 ∈ (− ∞,1], 且x1 < x 2 ,
x
x xBiblioteka 大前提小前提结论
上述 推 理 的形式 正确, 但大前提是错误的
(因为指数函数y = a , (0 < a < 1)是减函数 ),
所以所得的结论是错误的.
"三段论 是由古希腊的亚里士多 " . 德创立的亚里 多士德还提出了用演绎 推理来建立各门学科体
《 》 .例如欧几里得的 原本 (∗)就是一个典 , 系的思想 , , 型的演绎系统它从10条公理和公设出发利用 , . 演绎推理推出所有命题 《 》 (∗)参见 数学2 第二章的阅读与思考栏 "欧几里得 目
;演绎推理是是由一般到 特 由特殊到特殊的推理 . ,合情推理的结论 殊的推理从推理所得结论来看
, ;演绎推理在大前提、 不一定正确有待进一步证明 演绎推理在大前提、 , 小前提和推理形式都正 确的前提下得到的结论 . 一定正确 人们在认识世界的过程 ,需要通过观察、实验 中需要通过观察、 ; ,或将积累的 等获取经验也需要辨别它们的真伪 知识加工、 ,使之条理化、 .合情推理 知识加工、整理使之条理化、系统化 和演绎推理分别在这两个环节中 扮演着重要角 . 色
因此, f (x1 ) − f (x 2 ) < 0, 即f (x1 ) < f (x 2 ).
于是, 根据" 三段论" , 得f (x ) = − x 2 + 2x在(− ∞,1] 上是增函数.
,只要前提和推理形式是 正确的 , 在演绎推理中 . 结论必定是正确的
y , 思考 因为指数函数 = ax是增函数 1 , 而y = 是指数函数 2 1 y . 所以 = 是增函数 2 (1)上面的推理形式正确吗 ? (2)推理的结论正确吗 为什么 ? ?
" 三段论" 可以表示为 三段论
大前提 : M是P. 小前提 : S是P. 结 论 : S是P.
我们还可以利用集合知 识说明" 三段论 " : 若集 合M的所有元素都具有性质 P, S是M的一个子 集, 那么 S中所有元素也都具有性 质P.
, ,首先应该明 由此可见应用三段论解决问题时 ,如 确什么是大前提和小前 .但为了叙述简洁 提 ,则可以省略 . 果大前提是显然的 . 再来看一个例子
所以∆ABD是直三角形 . 同理, ∆AEB也是直三角形.
结论
M
B
(2)因为直角三角形的斜边上的中线等于斜边
的一半,
大前提
C
D
E
A
M
B
图 2 .1 − 3
而点M是Rt∆ABC的斜边AB的中点 ,DM 是斜边上的中线, 小前提
1 结论 所以DM = AB . 2 1 同理 ,EM = AB . 所以,DM = EM. 2
(
)
+1是奇数 ,
)
(∗)演绎推理又称逻辑推理 .
例子都有三段称为 三段论 , " ". 上面列举的演绎推理的 其中第一段称为大前提 ,如 "所有的金属都能够导 " " " ;第二段称为小前提 ,如" 铀是金 " " 电 ,讲的是一般原理 " ;第三段称为结论 ,如" 铀能 " " 属 ,指的是一种特殊情况 " . 够导电 ,是所得的结论
论 , 就数学而言演绎推理是证明数学结 、建立数 ,但数学结论、证明思路 但数学结论、 学体系的重要思维过程 , . , 等的发现主要靠合情推理 因此 我们不仅要学会 证明也要学会猜想 , .
演绎推理
中 在日常生活和数学学习 ,我们还经常以某些 ,得出一些个别的、 一般的判断为前提得出一些个别的、具体 的 . 判断例如: (1)所有的金属都能够导电铀是金属,所以铀 , ; 能够导电 (2)太阳系的大行星都以椭 圆形轨道绕太阳运 , 行 冥王星是太阳系的大行 ,因此冥王星以椭 星 ; 圆形轨道绕太阳运行
2 f (x1 ) − f (x 2 ) = − x1 + 2x1 − − x 2 + 2x 2 2 = (x 2 − x1 )(x 2 + x1 − 2).
(
) (
)
因为x1 < x 2 , 所以x 2 − x1 > 0; 因为x1, x 2 ≤ 1, x1 ≠ x 2 , 所以x 2 + x1 − 2 < 0.
2 , 例5 如图 .1− 3所示在锐角 ABC中AD ⊥ BC BE ⊥ , , 三角形 AC D E是垂足求证: AB的中 , , . , . 点M到D E的距离相等 A
C
D E
证明 (1)因为有一个内角是 图 2 .1 − 3 直角的三角形是直角形, 大前提 在∆ABD中, AD ⊥ BC, 即∠ADB = 90 0 , 小前提
(3)在一个标准大气压下 ,水的沸点是 100 C 所 ,
0 0
把水加热到 100 C时水 , 以在一个标准大气压下 会沸腾 ;
(4)一切奇数都不能被 整除 (2 2 ,
100
2 ; 所以2100 +1不能被 整除 (5)三角函数都是周期函数tanα是三角函数 , , ; 因此tanα是周期函数 (6)两条直线平行同旁内角互补如果∠A与∠B , . 是两条平行的同旁内角 ,那么 A + ∠B = 1800. ∠ 上面的推理都是从一般 性的原理出发, 推出某 个特殊情况下的结论 , 我们把这种推理称为演 绎推理 (∗ )(demonstrat ive reasoning ).简言之, 演绎推理是由一般到特 殊的推理.
《 》 的 原本 与公理化方法 ".
原始概念和一组不加证 明 像这种尽可能少地选取 (公理、 ), , 的原始命名公理、公设 以此为出发点应用演绎 , 推理 推出尽可能多的结论的 ,称为公理化方 方法 . : ,推 法公理化方法的精髓是 利用尽可能少的前提 . 出尽可能多的结论
《 》 自然科学、 , 自然科学、 继 原本 之后公理化方法广泛应用于 《 .例如牛顿在他的巨著自然哲学的 , 社会科学领域 》, , 运用演绎推理 数学原理 中以牛顿三定理为公理 , 推出关于天体空间的一系列科学理论建立了牛 . 顿力学的一整套完整的 理论体系 , 至此 我们学习了两种推理方 式 合情推理与演绎 . 推理 ? 思考 合情推理与演绎推理的 主要区别是什么 . , 归纳和类比是常用的合 情推理从推理形式上看 ,类比是 归纳是部分到整体、 别到一般的推理 归纳是部分到整体、个
"三 论 是 绎 理 一 模 ,包 : 段 " 演 推 的 般 式 括 (1) 大前提 已知的一般原理; (2)小前提 所研究的特殊情况 ; (3)结论 根据一般原理,对特殊情况做出判断. "三段论 推理的例子吗 " ? 思考 你能再举出一些用 .我们来看 数学的证明主要通过演 绎推理来进行的 . 一个例子
] 例6 证明函数f (x) = −x2 + 2x 在(− ∞,1 上是增 . 函数
分析 证明本例所依据的大前 提是增函数的定 , 义即函数y = f (x)满足: 在给定区间内任取自变 x f 量的两个值 1, x2,若x1 < x2,则有 (x1) < f (x2 ).
] 小前提是 (x) = −x2 + 2x, x ∈(− ∞,1 满足增函数 f , . 的定义这是证明本例的关键 证明 任取x1, x 2 ∈ (− ∞,1], 且x1 < x 2 ,
x
x xBiblioteka 大前提小前提结论
上述 推 理 的形式 正确, 但大前提是错误的
(因为指数函数y = a , (0 < a < 1)是减函数 ),
所以所得的结论是错误的.
"三段论 是由古希腊的亚里士多 " . 德创立的亚里 多士德还提出了用演绎 推理来建立各门学科体
《 》 .例如欧几里得的 原本 (∗)就是一个典 , 系的思想 , , 型的演绎系统它从10条公理和公设出发利用 , . 演绎推理推出所有命题 《 》 (∗)参见 数学2 第二章的阅读与思考栏 "欧几里得 目
;演绎推理是是由一般到 特 由特殊到特殊的推理 . ,合情推理的结论 殊的推理从推理所得结论来看
, ;演绎推理在大前提、 不一定正确有待进一步证明 演绎推理在大前提、 , 小前提和推理形式都正 确的前提下得到的结论 . 一定正确 人们在认识世界的过程 ,需要通过观察、实验 中需要通过观察、 ; ,或将积累的 等获取经验也需要辨别它们的真伪 知识加工、 ,使之条理化、 .合情推理 知识加工、整理使之条理化、系统化 和演绎推理分别在这两个环节中 扮演着重要角 . 色
因此, f (x1 ) − f (x 2 ) < 0, 即f (x1 ) < f (x 2 ).
于是, 根据" 三段论" , 得f (x ) = − x 2 + 2x在(− ∞,1] 上是增函数.
,只要前提和推理形式是 正确的 , 在演绎推理中 . 结论必定是正确的
y , 思考 因为指数函数 = ax是增函数 1 , 而y = 是指数函数 2 1 y . 所以 = 是增函数 2 (1)上面的推理形式正确吗 ? (2)推理的结论正确吗 为什么 ? ?
" 三段论" 可以表示为 三段论
大前提 : M是P. 小前提 : S是P. 结 论 : S是P.
我们还可以利用集合知 识说明" 三段论 " : 若集 合M的所有元素都具有性质 P, S是M的一个子 集, 那么 S中所有元素也都具有性 质P.
, ,首先应该明 由此可见应用三段论解决问题时 ,如 确什么是大前提和小前 .但为了叙述简洁 提 ,则可以省略 . 果大前提是显然的 . 再来看一个例子
所以∆ABD是直三角形 . 同理, ∆AEB也是直三角形.
结论
M
B
(2)因为直角三角形的斜边上的中线等于斜边
的一半,
大前提
C
D
E
A
M
B
图 2 .1 − 3
而点M是Rt∆ABC的斜边AB的中点 ,DM 是斜边上的中线, 小前提
1 结论 所以DM = AB . 2 1 同理 ,EM = AB . 所以,DM = EM. 2
(
)
+1是奇数 ,
)
(∗)演绎推理又称逻辑推理 .
例子都有三段称为 三段论 , " ". 上面列举的演绎推理的 其中第一段称为大前提 ,如 "所有的金属都能够导 " " " ;第二段称为小前提 ,如" 铀是金 " " 电 ,讲的是一般原理 " ;第三段称为结论 ,如" 铀能 " " 属 ,指的是一种特殊情况 " . 够导电 ,是所得的结论
论 , 就数学而言演绎推理是证明数学结 、建立数 ,但数学结论、证明思路 但数学结论、 学体系的重要思维过程 , . , 等的发现主要靠合情推理 因此 我们不仅要学会 证明也要学会猜想 , .