辽宁省沈阳市大东区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

辽宁省沈阳市大东区2022-2023学年九年级上学期期末数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示的几何体是由一个正方体和一个圆锥搭建而成，其左视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．下列方程中，是一元二次方程的是( ) A ．32x y -=
B ．230ax x -+=
C ．
2
1
30x x -+= D ．250x x -=
3．下列各种现象属于中心投影的是（ ） A ．晚上人走在路灯下的影子 B ．中午用来乘凉的树影 C ．上午人走在路上的影子
D ．阳光下旗杆的影子
4．下列四个点中，在反比例函数6
y x
=-的图象上的是【 】
A ．（3，﹣2）
B ．（3，2）
C ．（2，3）
D ．（﹣2，﹣3）
5．关于x 的一元二次方程220x x m -+=的一个根为1-，则m 的值为（ ） A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．2
6．一个不透明的箱子里装有红色小球和白色小球共4个，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量的重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右，请估计箱子里红色小球的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．如图，ABC 与DEF 位似，点O 是位似中心，若3OD OA =，4ABC
S =，则DEF S =
△
（ ）
A ．9
B ．12
C ．16
D ．36
8．如图，树AB 在路灯O 的照射下形成投影AC ，已知路灯高5m PO =，树影3m AC =，树AB 与路灯O 的水平距离 4.5m AP =，则树的高度AB 长是（ ）
A ．2m
B ．3m
C ．3
m 2
D ．
10m 3
9．某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x ．则所列方程为( ) A ．30（1+x ）2＝50 B ．30（1﹣x ）2＝50 C ．30（1+x 2）＝50
D ．30（1﹣x 2）＝50
10．已知0ab <，一次函数y ax b =-与反比例函数a
y x
=在同一直角坐标系中的图象可能（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题 11．已知
3a b =，则a b b
+=______．
12．已知关于x 的一元二次方程20x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______．
13．不透明袋子中装有2个黑球，3个白球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是_______．
14．如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，BE ⊥EF ，AB =6，AE =9，DE =2，则EF 的长为_____．
15．如图，在平面直角坐标系中，ABO 的顶点A 在反比例函数()0,0k
y k x x
=
>>的图象上，点B 的坐标为()43，
，AB 与y 轴平行，若AB BO =，则k =______．
16．如图，在⊥ABC 中，⊥A =30°，⊥B =90°，D 为AB 中点，E 在线段AC 上，AD DE
AB BC
=，则
AE
AC
=_____．
三、解答题
17．解方程：2320x x -+=．
18．如图所示，在矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，点E 在线段CD 上，点F 在线段AB 的延长线上，连接EF 交线段BC 于点G ，连接BD ，若2DE BF ==．
(1)求证：四边形BFED 是平行四边形； (2)直接写出线段BG 的长度为______．
19．如图，D 为ABC 内的一点，E 为ABC 外的一点，且ABC DBE ∠=∠，
BAD BCE ∠=∠．
(1)求证：ABD CBE ∽；
(2)若:5:2AB DB =，A 6C =，直接写出线段DE 的长度为______．
20．为更好学习中国共产党第二十次全国代表大会精神，某中学举行党史知识竞赛，若在这次竞赛中有A ，B ，C ，D 四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求出恰好抽到A ，C 两人同时参赛的概率．
21．临近元旦，某网红童装店销售童装，平均每天可售出20套，每套盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每套盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售每套童装单价每降低1元，平均每天可多售出2套．
(1)若每套童装降价5元，则平均每天的销售数量为______套； (2)当每套商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？ 22．如图，正比例函数2y x =-与反比例函数k
y x
=的图象交于A ，B 两点，点A 的横坐标为2-．
(1)求反比例函数的表达式及点B 的坐标； (2)根据图象直接写出不等式2k
x x
-≥
的解集； (3)点P 是x 轴上一点，连接PA ，PB ，当PAB 是直角三角形且以AB 为直角边时，直接写出点P 的坐标．
23．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，M 为BC 的中点，且3OA =，2OB =，动点P 从点D 出发以每秒1个单位长度的速度沿折线DC CB -向点B 运动，到达点B 停止运动．设运动时间为t 秒，APC 的面积为S ．
(1)直接写出点C 的坐标(______，______)；
(2)求S 关于t 的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围；
(3)在点P 的运动过程中，是否存在点P ，使CMP 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图1，已知正方形CEFG 的边CG 在正方形ABCD 的边CD 上，连接,BG DE ．
(1)求证：BCG DCE △△≌；
(2)将正方形CEFG 绕点C 按逆时针方向旋转，使边FG 经过点D ，如图2，连接DE 和BG ，写出DE 和BG 的位置关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，连接BE ，若正方形ABCD 的边长为5，正方形CEFG 的边长为4，直接写出22+DG BE 的值．
25．将一个矩形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()0,2A ，点()4,0C ，点P 在边OC 上(点P 不与点O ，C 重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P ，并与y 轴的正半轴相交于点H ，且30OPH ∠=︒，点O 的对应点O '落在第一象限．设
OH t =．
(1)如图1，当1t =时，直接写出O HA '∠=______度和点O '的坐标(______，______)； (2)如图2，若折叠后重合部分为四边形，O H '，O P '分别与边AB 相交于点E ，F ，求出O E '的长(用含有t 的式子表示)，并直接写出t 的取值范围；
(3)t 的值可以是______(请直接写出两个不同的值即可)．
参考答案：
1．C
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图即可解答． 【详解】解：⊥从左边看得到的图形是左视图，
⊥该几何体从左边看第一层是一个三角形，第二层是一个小正方形， 故选：C ．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，从左边看到的图形是左视图，注意圆锥的左视图是三角形． 2．D
【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】A. 32x y -=，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B. 230ax x -+=，当0a ≠时，是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C.
2
1
30x x -+=，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意； D. 250x x -=，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 3．A
【分析】根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得．
【详解】解：A 、晚上人走在路灯下的影子，光源是灯光，是中心投影，则此项符合题意； B 、中午用来乘凉的树影，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意； C 、上午人走在路上的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意； D 、阳光下旗杆的影子，光源是阳光，是平行投影，则此项不符题意； 故选：A ．
【点睛】本题考查了中心投影，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 4．A
【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将各点坐标代入验算，满足6y x
=-的点即为所求
【详解】点（3，﹣2）满足6
y x
=-
，符合题意， 点（3，2）不满足6
y x =-，不符合题意，
点（2，3）不满足6
y x =-，不符合题意，
点（﹣2，﹣3）不满足6
y x
=-，不符合题意
故选A ． 5．A
【分析】将=1x -代入原方程即可求出结果．
【详解】解：将=1x -代入原方程得120m ++=，解得3m =-． 故选：A ．
【点睛】题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义． 6．C
【分析】用球的总个数乘以摸到白球的频率即可．
【详解】解：估计箱子里红色小球的个数是40.753⨯=（个）， 故选：C ．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 7．D
【分析】根据位似变换的性质得到//AC DF ，得到OAC ODF ∆∆∽，求出AC
DF
，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：ABC ∆与DEF ∆位似，
//AC DF ∴，
OAC ODF ∴∆∆∽，
∴1
3AC OA DF OD ==， ∴
21
()9ABC DEF S AC S DF ∆∆==， 4ABC S ∆=，
36DEF S ∆∴=，
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 8．A
【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可． 【详解】解：由题可知，CAB CPO ∽， ⊥AB AC
OP CP
=, ⊥
3
53 4.5
AB =+， ⊥()2AB m =， 故选A ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等． 9．A
【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到()2
30150x +=，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
【详解】解：由题意可得，
230(1)50x +=，
故选：A ．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题． 10．A
【分析】根据反比例函数图象确定b 的符号，结合已知条件求得a 的符号，由a,b 的符号确定一次函数图象所经过的象限．
【详解】解：若反比例函数a
x y ＝ 经过第一、三象限，则0a ＞ ．所以0b ＜ ．则一次函数
y ax b ＝﹣ 的图象应该经过第一、二、三象限；
若反比例函数a
x
y ＝经过第二、四象限，则a<0．所以b>0．则一次函数y ax
b ＝﹣的图象应该经过第二、三、四象限． 故选项A 正确；
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 11．4
【分析】利用比例的性质进行计算即可解答． 【详解】解：
3a
b
=， 1314a b a
b b
+=+=+=， 故答案为：4．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 12．3m <##3m >
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．
【详解】解：⊥关于x 的一元二次方程20x m -+=有两个不相等的实数根，
⊥(2
40m ∆=-->，
⊥3m <，
故答案为：3m <．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，
若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=-，则方程没有实数根． 13．2
5
##0.4
【分析】根据概率的定义，抽到黑球的概率 =黑球个数
总个数
，代入数值计算即可.
【详解】抽到黑球的概率：22235
P ==+， 故答案为：2
5
.
【点睛】本题考查概率，注意利用概率的定义求解.
14【分析】在矩形ABCD 中，BE⊥EF ，易证得⊥ABE⊥⊥DEF ，然后由相似三角形的对应边成比例，先求出DF 的长度，然后根据勾股定理求出EF 的长即可
【详解】解：⊥四边形ABCD 是矩形，
⊥⊥A=⊥D=90°，
⊥⊥ABE+⊥AEB=90°，
⊥BE⊥EF ，
⊥⊥AEB+⊥DEF=90°，
⊥⊥ABE=⊥DEF ，
⊥⊥ABE⊥⊥DEF ， ⊥AB AE DE DF
， ⊥AB =6，AE =9，DE =2
⊥DF=3，
⊥
EF =，
【点睛】此题考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握是解题的关键. 15．32
【分析】由点B 的坐标为()43，
求出5BO =，又AB BO =，AB 与y 轴平行，可得()48A ，，用待定系数法即得答案．
【详解】解：⊥点B 的坐标为()43，
，()00O ，，
⊥5BO ，
又AB BO =，
⊥5AB =，
⊥AB 与y 轴平行，
⊥()48A ，
，把()48A ，代入k y x =，得：84
k =， 解得32k =，
故答案为：32． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握待定系数法，能根据已知求出点A 的坐标．
16．12或14
【分析】由题意可求出12DE BC =
，取AC 中点E 1，连接DE 1，则DE 1是△ABC 的中位线，满足112DE BC =，进而可求此时112AE AC =，然后在AC 上取一点E 2，使得DE 1＝DE 2，则212
DE BC =，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝14AC ，即可得到214AE AC =，问题得解．
【详解】解：⊥D 为AB 中点， ⊥12
AD DE AB BC ==，即12DE BC =， 取AC 中点E 1，连接DE 1，则DE 1是△ABC 的中位线，此时DE 1⊥BC ，112DE BC =
， ⊥112
AE AD AC AB ==， 在AC 上取一点E 2，使得DE 1＝DE 2，则212
DE BC =
， ⊥⊥A =30°，⊥B =90°，
⊥⊥C =60°，BC ＝12AC ， ⊥DE 1⊥BC ，
⊥⊥DE1E2=60°，
⊥△DE1E2是等边三角形，
⊥DE 1＝DE 2＝E1E2＝12
BC ， ⊥E1E2＝
14AC ， ⊥11
2AE AC =， ⊥214AE AC =，即
214AE AC =， 综上，AE AC 的值为：12或14
， 故答案为：12或14
．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据12DE BC =
进行分情况求解是解题的关键． 17．11x =，22x =
【分析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解．
【详解】解：2320x x -+=
(1)(2)0x x --=
⊥10x -=或20x -=
⊥11x =，22x =．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程． 18．(1)见解析 (2)85
【分析】（1）由矩形的性质可得AB CD ∥，可得结论；
（2）根据AB CD ∥，得出CEG BFG ∽，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：⊥四边形ABCD 是矩形，
⊥AB CD ∥，
⊥BF DE ∥，
⊥DE BF =，
⊥四边形BFED 是平行四边形；
（2）解：⊥在矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，2DE BF ==．
⊥AB CD ∥，5CD AB ==，
⊥CEG BFG ∽， ⊥
EC CG BF BG =， 即
CD DE BC BG BF BG --=， ⊥524=2BG BG
--， 解得：85BG =
，
故答案为：85
． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
19．(1)见解析 (2)
125
【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断E ABD CB △△∽
； （2）先利用E ABD CB △△∽得AB BD BC BE
=，根据比例的性质得到AB BC BD BE = 得出ABC DBE ∽，进而即可求解．
【详解】（1）解：⊥ABC DBE ∠=∠，
⊥ABC DBC DBE DBC ∠-∠=∠-∠，
⊥ABD CBE ∠=∠，
又⊥BAD BCE ∠=∠，
⊥E ABD CB △△∽；
（2）⊥E ABD CB △△∽
， ⊥
AB BD BC BE =， ⊥AB BC BD BE
=， 又ABC DBE ∠=∠，
⊥ABC DBE ∽， ⊥AB AC DB DE
=， ⊥:5:2AB DB =，A 6C =， ⊥212655
DE =⨯=． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
20．16
【分析】根据列表法求概率即可求解．
【详解】解：列表如下
共有12种等可能结果，其中符合题意的有2种，
则恰好抽到A ，C 两人同时参赛的概率为21126
=． 【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．
21．(1)30
(2)10
【分析】（1）根据单价每降低1元，平均每天可多售出2套，即可得出结论；
（2）设每套降价x 元，表示出降价后的盈利与销售的套数，然后根据每天的盈利等于每套的盈利乘以套数，在根据利润为1200即可得出结论；
【详解】（1）⊥每降低1元，平均每天可多售出2套；
⊥每套童装降价5元，则平均每天的销售数量为：20+2×5=30
故答案为：30
（2）设每套降价x 元，
则(40)(202)1200x x -+=，
解得110x =，220x =，
⊥每套盈利不少于25元，
所以，应降价10元；
答：当每套商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1200元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，表示出降价后的盈利与销售的套数，然后得到平均每天的盈利与降价之间的关系式是解题的关键．
22．(1)8y x
=-，()2,4B -
(2)2x ≤-或02x <≤
(3)()10,0P 或()10,0P -
【分析】（1）根据正比例函数的表达式求出A 点的坐标，再将A 点坐标代入反比例函数表达式求出k 的值，即可得出反比例函数的表达式；根据A 与B 关于原点对称，B 点横坐标与纵坐标分别与A 点横坐标与纵坐标互为相反数；
（2）根据图象分析，不等式2k x x
-≥
的解集即为一次函数图象位于反比例函数图象上方所对应的x 的取值范围；
（3）设(),0P m ，根据勾股定理表示出22,PA PB ，2AB ，进而根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：⊥点A 的横坐标为2-，代入正比例函数2y x =-，
得()224y =-⨯-=，
⊥()2,4A -, ⊥42k =-，解得：8k =- ⊥反比例函数8y x
=-， ⊥正比例函数2y x =-与反比例函数k y x =
的图象交于A ，B 两点， ⊥A 与B 关于原点对称，则()2,4B -；
（2）解：根据函数图象可知，不等式2k x x
-≥
的解集为：2x ≤-或02x <≤； （3）解：设(),0P m ，
⊥()2,4A -,()2,4B -， ⊥()()222224480AB =+++=，()22224PA m =++，()2
2224PB m =-+，
当PAB 是直角三角形且以AB 为直角边时，则 222PA AB PB =+或222PB PA AB =+
即()()222224=8024m m +++-+或()()22
2224=8024m m -++++，
解得：10m =或10m =-，
⊥()10,0P 或()10,0P - ．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题．主要考查了待定系数法求函数解析式，求一次函数与反比例函数的交点，利用坐标求坐标系中的线段的长度，以及运用数形结合的数学思想解决函数与不等式关系的相关问题，数形结合是解题的关键．
23．(1)54，
(2)()21005S t t =-+≤<或()210510S t t =-<≤
(3)存在，点P 的坐标是5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,412⎛⎫ ⎪⎝⎭
或()24，
【分析】（1）根据3OA =，2OB =，得出菱形的边长，进而勾股定理求得OD ，即可求得C 的坐标；
（2）当05t ≤<时，点P 在DC 上运动，PD t =，5PC t =-，当510t <≤时，点P 在CB 上运动，5PC t =-，如图所示，过点A 作AE CB ⊥交CB 的延长线于点E ，结合图形，分别根据三角形面积公式进行计算即可求解；
（3）分,,PM PC MC MP CP CM ===三种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：⊥菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，
3OA =，2OB =， ⊥235DC AD AB ===+=，DC AB ∥，
在Rt AOD 中，4OD =，
⊥4OD =，
⊥()5,4D ，
故答案为：54，
． （2）解：当05t ≤<时，点P 在DC 上运动，PD t =，5PC t =-，
()115421022
APC S S PC OD t t ==⨯⋅=-⨯=-+ 当510t <≤时，点P 在CB 上运动，5PC t =-，
如图所示，过点A 作AE CB ⊥交CB 的延长线于点E ，
⊥ABCD S AB OD BC AE =⨯=⨯菱形，
⊥4AE =， ⊥()115421022
APC S S PC AE t t ==⨯=-⨯=-， 综上所述，()21005S t t =-+≤<或()210510S t t =-<≤；
（3）解：存在点P ，使CMP 是等腰三角形，理由如下：
依题意，当点P 在DC 上运动时，CMP 可以是等腰三角形，
⊥M 为BC 的中点， ⊥52
CM = 当CP CM =时，55522
DP DC PC =-=-
=， ⊥5,42P ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 如图所示，过点M 作MN DC ⊥,
⊥,90C DOA CNM AOD ∠=∠∠=∠=︒，
⊥ADO CMN ∽ ⊥NM CN CM OD AO AD
==， 即5
2435
MN CN == ⊥32,2
MN CN ==,
当PC PM =时，
设PC PM a ==，则5PD a =-，则()335522
PN a a =---=- 在Rt PMN △中，222PM PN MN =+ ⊥2
22322a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 解得：2512a =
. ⊥253551212
PD =-=, 即35,412P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； 当MP MC =时，则32
PN NC ==
, ⊥2DP =，
即()2,4P , 综上所述，P 的坐标为：5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,412⎛⎫ ⎪⎝⎭
或()24，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)DE BG ⊥，理由见解析
(3)82
【分析】（1）根据正方形的性质可得,BC CD CG CE ==，90BCD GCE ∠=∠=︒，即可； （2）先证明BCG DCE △△≌，可得BGC DEC ∠=∠，从而得到180DEC CGM ∠+∠=︒，再由四边形内角和定理，即可；
（3）过点E 作EH BC ⊥交BC 的延长线于点H ，根据勾股定理求出DG 的长，再由DCG ECH ∽，可得1216,55EH CH =
=，从而得到415
BH BC CH =+=，再由勾股定理求出2BE ，即可求解． 【详解】（1）证明：⊥四边形CEFG 和四边形ABCD 都是正方形，
⊥,BC CD CG CE ==，90BCD GCE ∠=∠=︒，
⊥()SAS BCG DCE ≌；
（2）解：DE BG ⊥，理由如下：
如图，延长,BG DE 交于点M ，
⊥四边形CEFG 和四边形ABCD 都是正方形，
⊥,BC CD CG CE ==，90BCD GCE ∠=∠=︒，
⊥BCG DCE ∠=∠，
⊥()SAS BCG DCE ≌，
⊥BGC DEC ∠=∠，
⊥180BGC CGM ∠+∠=︒，
⊥180DEC CGM ∠+∠=︒，
⊥360DEC CGM M ECG ∠+∠+∠+∠=︒，
⊥180M ECG ∠+∠=︒，
⊥90M ∠=︒，即DE BG ⊥；
（3）解：如图，过点E 作EH BC ⊥交BC 的延长线于点H ，
⊥正方形ABCD 的边长为5，正方形CEFG 的边长为4， ⊥5,4BC CD CG CE ====，
在Rt CDG △中，3DG =， ⊥90BCD DCH GCE ∠=∠=∠=︒，
⊥ECH DCG ∠=∠，
⊥DCG ECH ∽，
⊥EH CE CH DG CD CG
==，即4354EH CH ==， 解得：1216,55
EH CH ==， ⊥1641555
BH BC CH =+=+=， ⊥22222
41127355BE BH EH ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ⊥2297382DG BE +=+=．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，图形的旋转，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
25．(1)6032
， (2)43423EO t t ⎛⎫'=-<< ⎪⎝⎭ (3)22.1，．
【分析】（1）如图所示，过点O '作O Q AO '⊥于点Q ，根据折叠的性质得出60O HP '∠=︒，1HO HO '==，即可得出O HA '∠，在Rt OHO '中，30OO H '∠=︒，进而求得,O Q HQ '，即可求得O '的坐标；
（2）根据题意得出2AH t =-，根据含30度角的直角三角形的性质得出242HE AH t ==-，根据EO O H EH ''=-即可求解；
（3）如图所示，当
423t <<时，由（2）可知，重叠面积为四边形HEFP ，根据题意得出方
程，得出114t =或114t =+，不合题意，当2t ≤≤
【详解】（1）解：如图所示，过点O '作O Q AO '⊥于点Q ，
⊥矩形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()0,2A ，点()4,0C ， ⊥90HOP ∠=︒，
⊥OH t =，当1t =时，1HO =，
⊥30OPH ∠=︒，
⊥60OHP ∠=︒
⊥折叠，
⊥60O HP '∠=︒，1HO HO '==
⊥180606060O HA '∠=︒-︒-︒=︒，
在Rt OHO '中，30OO H '∠=︒，
⊥sin OO OHO O H '''=∠⨯=1122QH HO '==， ⊥13122
OQ QH OH =+=+=， ⊥O '32⎫⎪⎪⎝⎭
，， 故答案为：6032
，． （2）⊥点()0,2A ，
⊥2OA =,
⊥OH t =，
⊥2AH t =-，
⊥60O HA '∠=︒，
⊥30HEA ∠=︒，
⊥242HE AH t ==-，
⊥()4234EO O H EH t t t ''=-=--=-
⊥折叠后重合部分为四边形，当O '在AB 上时，
42HO HE t HO t '==-==，解得：43
t =， 当H 与A 重合时，2t =，
⊥12t <<， ⊥43423EO t t ⎛⎫'=-<< ⎪⎝⎭
；
（3）解：如图所示，当423
t <<时，由（2）可知，重叠面积为四边形HEFP ，
⊥90O HOP EAH '∠=∠=∠=︒，AEH O EF '∠=，
⊥AEH O EF '∽ ⊥HE AH AE EF O F EO ==''
， ⊥242HE AH t ==-，2AH t =-，34EO t '=-
⊥)2AE t =-，
⊥
)344234t t EO HE EF t AE -⨯-'⨯===- ⊥=AHE HOP AFPO S S S
S --阴影部分梯形
))())111
234222222t t t t t ⎤=--⨯----⎥⎦
)))2
22342t t t ---
⊥
)))222342t t t =-+--
解得：114t =或114t = ⊥423t <<
⊥114t =或114
t =不合题意， 当2t ≥时，如图所示，过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，
⊥30OPH ∠=︒，AB OC ∥，
⊥30FEP HPO ∠=∠=︒,
又⊥折叠，
⊥30FPE HPO ∠=∠=︒，则30FPQ ∠=︒ ⊥
cos30PQ EF PF ===︒
⊥11=2
22S EF PQ ⨯==重合部分
⊥2t ≥ 当点P 与点C 重合时，
tan 30HO OC =⨯︒=
⊥当2t ≤≤ ⊥t 可以是22.1，；
故答案为：22.1，
． 【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，矩形的性质，坐标与图形，熟练掌握矩形的性质，解直角三角形是解题的关键．。