【三维设计】高中数学 教师用书 第1部分 第二章 2.1.1 第一课时 变量与函数的概念课件 新人教
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
[例 2] 若 f(x)=11+-xx(x≠-1),求 f(0),f(1),f(1-a)(a≠2),f[f(2) ]. [思路点拨] 将x分别赋值,代入函数解析式化简即可. [精解详析] f(0)=11-+00=1;f(1)=11+-11=0; f(1-a)=11-+11--aa=2-a a(a≠2); f[f(2)]=11-+ff22=11+-1111+-+-2222=2.
2.判断下列对应是否为函数: (1)x→2x,x≠0,x∈R; (2)x→y,这里 y2=x,x∈N,y∈R.
解:(1)对于任意一个非零实数 x,2x唯一确定,所以当 x≠0 时,x→2x是函数.这个函数也可以表示为 f(x)=2x (x≠0). (2)当 x=4 时,y=±2,不是唯一的,所以 x→y(y2=x) 不是函数.
(-∞, +∞)
[a,+∞)
(a,+∞) (-∞,a] (-∞,a)
(1) 函数定义的理解 ①A是非空数集,②法则f是确定的,③A中每一个x 值都有唯一的y值与之对应. (2) 函数符号y=f(x)表示y是x的函数.符号“f”可以 看做对x施加的某种法则(或运算).它可以是解析式,也 可以是图象或表格.
()
A.[2,3)
B.(3,+∞)
C.[2,3)∪(3,+∞)
D.(2,3)∪(3,+∞)
解析:要使函数有意义,需满足xx--23≥≠00,, 即 x≥2 且 x≠3.
答案:C
7.求下列函数的定义域:
(1)y=2+x-3 2;
(2)y= 3-x· x-1;
(3)y=(x-1)0+
2 x+1.
解:(1)当且仅当 x-2≠0,即 x≠2 时,函数 y=2+x-3 2有 意义,所以这个函数的定义域为{x|x≠2}. (2)函数有意义,当且仅当3x--x1≥≥00,. 解得 1≤x≤3,所以 这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}.
1.下列函数中,f(x)与g(x)相等的是 A.f(x)=x,g(x)=( x)2 B.f(x)=x,g(x)= x2 C.f(x)=x+2,g(x)=xx2--24 D.f(x)=|x|,g(x)= x2
()
解析:对于 A,f(x)=x 的定义域为 R,g(x)=( x)2 的定义 域为{x|x≥0},两函数的定义域不相同,所以不是相等函数; 对于 B,g(x)= x2=|x|,与 f(x)=x 的对应关系不相同,所 以不是相等函数;对于 C,g(x)=xx2--24=x+2(x≠2),与 f(x) =x+2 的定义域不同,所以不是相等函数;对于 D,g(x) = x2=|x|,与 f(x)=|x|的对应关系和定义域都相同,所以 是相等函数. 答案:D
8.函数 y=x2-1(x≥ 2)的值域是________. 答案:[1,+∞)
9.求下列函数的值域: (1)f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3}; (2)f(x)=(x-1)2+1,x∈R; (3)y=1-x2,x∈R; (4)y=2x+ x 1,x≠0. 解:(1)函数的定义域为{-1,0,1,2,3},∵f(-1)=5, f(0)=2,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=5, ∴这个函数的值域为{1,2,5}. (2)函数的定义域为R,∵(x-1)2+1≥1, ∴这个函数的值域为{y|y≥1}.
1.函数的定义 设集合A是一个非空的数集,对A中的 任意数x ,按 照确定的法则f,都有 唯一确定的 数y与它对应,则这 种对应关系叫做集合A上的一个函数,记作 y=f(x),
x∈A .函数y=f(x)也经常写作 函数f或函数f(x) .
2.函数的定义域与值域 在函数y=f(x),x∈A中, x 叫做自变量,自变量 取 值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.如果自变量取 值a,则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值 ,记 作 y=f(a)或y|x=a .所有函数值构成的集合 {y|y=f(x) , x∈A} 叫做这个函数的值域.
(2)区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有 点所对应的实数的取值集合,即用端点所对应的数、 “+∞”(正无穷大)、“-∞”(负无穷大)、方括号(包含端 点)、小括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集 合,如{x|a<x≤b}=(a,b],{x|x≤b}=(-∞,b]是数集 描述法的变式形式.
所以函数的定义域为{x|x≤1,且 x≠-1}. (2)要使函数有意义,需满足 |x|-x≠0,即|x|≠x, ∴x<0. ∴函数的定义域为{x|x<0}.
[一点通] (1)当函数是由解析式给出时,求函数的定义域就是求使解 析式有意义的自变量的取值集合,必须考虑下列各种情形 : ①负数不能开偶次方,所以偶次根号下的式子大于或等于 零; ②分式中分母不能为0; ③零次幂的底数不为0;
④如果f(x)是由几部分构成,那么函数的定义域是使 各部分都有意义的实数的集合;
⑤如果函数有实际背景,那么除符合上述要求外,还 要符合实际情况.
(2)求函数的定义域,一般是转化为解不等式或不等 式组的问题.注意定义域是一个集合,其结果必须用集合 或区间来表示(这是与初中的不同之处).
6.函数 f(x)= x-2+x-1 3的定义域是
[例 1] 判断下列对应是否构成函数: (1)A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|; (2)A=Z,B=Z,f:x→y=x2+x; (3)A=Z,B=Z,f:x→y= x; (4)A=N,B=R,f:x→y=± x.
[思路点拨] 判断一个对应是否是函数,要从以下两个 方面着手:①A是非空数集;②A中任意一个数x按照确定 的法则f,在B中都有唯一确定的数y与之对应.
x-1≠0, (3)函数有意义,当且仅当x+2 1≥0,
x+1≠0.
解得 x>-1,且 x≠1,
所以这个函数的定义域为{x|x>-1,且 x≠1}.
[例 4] (12 分)求下列函数的值域: (1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5};
(2)y= x+1; (3)y=11- +xx22; (4)y=-x2-2x+3(-1≤x≤2). [思路点拨] 求值域的方法很多:①利用解析式逐个 求;②用直接法;③分离常数后,逐步求出;④利用二 次函数求.
[一点通] (1)在函数y=f(x)中,x为自变量,f为对应关系,f(x) 是对应关系f下x对应的函数值,所以求函数值时,只需 将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)替 换后进行计算即可; (2)求f[f(x)]时,一般应遵循由里到外的原则.
3.设函数 f(x)=1-4 x,若 f(a)=2,则实数 a=________. 解析:由题意知,f(a)=1-4 a=2,得 a=-1. 答案:-1
第 2.1
第一
二 章
函 数
课时 变量
2.1.1 与函
函函
数的
数数
概念
理解教 材新知
知识点一 知识点二
把握热 点考向
考点一 考点二 考点三 考点四
应用创新演练
2.1.1 函数
某物体从高度为 44.1m 的空中自由落下,物体下落的距离 s 与所用时间 t 的平方成正比.这个规律用数学式子可描述为 s =12gt2,其中 g=9.8 m/s2.
1.区间定义及表示 设a,b是两个实数,而且a<b.
名称 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间
定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b}
符号 [a,b]
(a,b) [a,b) (a,b]
数轴表示
2.无穷a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a}
[精解详析]
是否是 序号
函数
原因分析
(1) 否 A中元素0在B中无元素与之对应
(2) 是 同时满足任意性和唯一性
(3) 否 A中某些元素如-2在B中无元素与之对应
(4) 否 A中某些元素如4在B中有两个元素与之对应
[一点通] 判断某一对应是否为函数的方法: 判断从集合A到集合B的对应法则是否为函数,一定 要以函数概念为准则.要注意对应法则对于A中元素是否 有意义,同时要注意特殊值的分析.
问题 1:对于式子 s=12gt2,哪一个是自变量?哪一个 是因变量?
提示:t是自变量,s是因变量.
问题2:时间t(0≤t≤3)确定后下落的距离s确定吗? 提示:确定. 问题3:对于一个时间t,下落的距离s是否唯一? 提示:唯一. 问题4:时间t和物体下落的距离s有何限制? 提示:0≤t≤3,0≤s≤44.1.
[精解详析] (1)将 x=1,2,3,4,5 分别代入 y=2x+1,算得
函数的值域为{3,5,7,9,11}.
(3 分)
(2)∵ x≥0,∴ x+1≥1,
即函数的值域为[1,+∞).
(6 分)
(3)∵y=11-+xx22=-1+1+2 x2,
(7 分)
∴函数的定义域为 R.
∵x2+1≥1,∴0<1+2 x2≤2.
(2)f[g(2)]=f(6)=1+1 6=17,g[f(2)]=g(13)=(13)2+2=199.
[例 3] 求下列函数的定义域: (1)y=xx++112- 1-x; (2)y=|xx|+-1x. [思路点拨]
[精解详析] (1)要使函数有意义,自变量 x 的取值必 须满足x1+-1x≠≥00,, 即xx≠≤-1,1,
(3)函数的定义域为 R,∵1-x2≤1, ∴函数 y=1-x2 的值域为{y|y≤1}. (4)y=2xx+1=2+1x,∵x≠0,∴1x≠0, ∴y=2+1x≠2, ∴函数的值域为{y|y≠2}.
(1)对函数相等的理解 ①函数有三个要素:定义域、值域、对应关系.函数 的定义域和对应关系共同确定函数的值域,因此当且仅 当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个 函数才是同一个函数. ②定义域和值域都分别相同的两个函数,它们不一定 是同一函数,因为函数的对应关系不一定相同,如y=x 与y=3x的定义域和值域都是R,但它们的对应关系不同, 所以是两个不同的函数.
∴y∈(-1,1].
∴函数的值域为(-1,1].
(9 分)
(4) y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.
(10分)
∵-1≤x≤2,∴0≤x+1≤3,∴0≤(x+1)2≤9. (11分)
∴-5≤-(x+1)2+4≤4.
∴函数的值域为[-5,4].
(12分)
[一点通] 求函数值域的方法及注意事项: 求函数值域应首先确定定义域,由定义域及对应法则 确定函数的值域.对一些简单的函数,可用观察法直接求 解;对于二次函数,常用配方法求值域;对于分式类型的 函数,可采用分离常数法求解;对于带根号的函数,常用 换元法求值域,要注意换元前后变量的取值范围.
4.已知函数 f(x)=3x2-5x+2,求 f(3),f(- 2),f(a+1). 解:f(3)=3×32-5×3+2=14; f(- 2)=3×(- 2)2-5×(- 2)+2=8+5 2; f(a+1)=3(a+1)2-5(a+1)+2=3a2+a.
5.已知 f(x)=1+1 x(x∈R,且 x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R). (1)求 f(2),g(2)的值; (2)求 f[g(2)],g[f(2)]的值. 解:(1)f(2)=1+1 2=13,g(2)=22+2=6;