高考数学(理科)一轮复习平面向量及其线性运算学案含答案【推荐下载】

高考数学（理科）一轮复习平面向量及其线性运算学
案含答案
学案25平面向量及其线性运算
导学目标： 1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、理解两个
向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，
并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线
的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
自主梳理
1．向量的有关概念
(1)向量的定义：既有______又有______的量叫做向量．
（2）表示方法：用来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭
头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，…或用AB→，BC→，…表示．
(3)模：向量的______叫向量的模，记作________或_______．
(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是
________．
(5)单位向量：长度为____单位长度的向量叫做单位向量．与a平行的单位向量e＝____________.
(6)平行向量：方向______或______的______向量；平行向量又叫
____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量______．
(7)相等向量：长度______且方向______的向量．
2．向量的加法运算及其几何意义
（1）已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB→=a，BC→=b，
则向量AC→叫做a与b的，记作，即=AB→+BC→=，这种求向量和的方法叫做向量加法的.
（2）以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OACB，则以O 为起点的对角线OA→就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的.
(3)加法运算律
a＋b＝________ (交换律)；
(a＋b)＋c＝____________(结合律)．
3．向量的减法及其几何意义
(1)相反向量
与a____________、____________的向量，叫做a的相反向量，记作
______．
(2)向量的减法
①定义a－b＝a＋________，即减去一个向量相当于加上这个向量的
____________．
②如图，A B→＝a，，AD→＝b，则AC→＝，DB→＝____________.
4．向量数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作______，它的长度与
方向规定如下：
①|λa|＝______；
②当λ>;0时，λa与a的方向______；当λ
变式迁移2（2011深圳模拟）如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯
形，AB∥DC，M、N分别是DC、AB的中点，已知
AB→＝a，AD→＝b，DC→＝c，试用a、b、c表示
BC→，MN→，DN→＋CN→.
探究点三共线向量问题
例 3 如图所示，平行四边形ABCD中，AD→＝b，AB→＝a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线.
变式迁移3设两个非零向量e1和e2不共线．
(1)如果AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，求证：
A、C、D三点共线；
（2）如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，CD→＝2e1－ke2，且
A、C、D三点共线，求k的值．
1.若点P为线段AB的中点，O为平面内的任意一点，则
OP→＝12(OA→＋OB→)．如图所示．
2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量与三点共
线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
3．三点共线的性质定理：
（1）若平面上三点A、B、C共线，则AB→＝λBC→.
（2）若平面上三点A、B、C共线，O为不同于A、B、C的任意一点，则OC→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ＝1.
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是() A.EF→＝OF→＋OE→Ｂ.ＥF→＝OF→－OE→
Ｃ.EF→＝－OF→＋OE→D.EF→＝－OF→－OE→
2.设a，b为不共线向量，
AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是()
A.AD→＝BC→
B.AD→＝2BC→
C.AD→＝－BC→
D.AD→＝－2BC→
3．(2011杭州模拟)设a，b是任意的两个向量，λ∈R，给出下面四个
结论：
①若a与b共线，则b＝λa；
②若b＝－λa，则a与b共线；
③若a＝λb，则a与b共线；
④当b≠0时，a与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1，使
得a＝λ1b.
其中正确的结论有()
A．①②B．①③C．①③④D．②③④
4.在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若点D满足BD→＝2DC→，则AD→等于()
A.23b＋13c
B.53c－23b
C.23b－13c
D.13b＋23c
5.（2010广东中山高三六校联考）在△ABC中，已知D是AB边上一点，AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ等于（）
A.23
B.13 C．－13 D．－23
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6.（2009湖南）如下图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若
AD→＝xAB→＋yAC→，则x＝______，y＝__________.
7.已知＝a，OP2→＝b，P1P2→＝λPP2→，则OP→＝_________.
8. （2011青岛模拟）O是平面上一点，A，B，C是平面上不共线三点，动点P满足OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，λ＝12时，则
PA→(PB→＋PC→)的值为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t 为何值时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？
10.(12分)在△ABC中，BE与CD交于点P，且AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示AP→.
11．(14分)(2011黄山模拟)已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．
（1）求GA→＋GB→＋GO→；
（2）若PQ过△ABO的重心G，且，
OA→＝a，OB→＝b，OP→＝ma，OQ→＝nb，求证：1m＋1n＝3.
答案自主梳理
1.（1）大小方向（2）有向线段（3）长度|a| |
(4)任意的(5)1个±a|a|(6)相同相反非零共线向量平行(7)相等相同 2.(1)和a＋b a＋b AC→三角形法则(2)平行四
边形法则(3)b＋a a＋(b＋c) 3.(1)长度相等方向相反－a(2)
①(－b)相反向量②a＋b a－b 4.(1)λa①|λ||a|②相同相
反0(2)①(λμ)a②λa＋μa③λa＋λb 5.(1)重心(2)重心
自我检测
1.
2．C[①根据实数与向量积的运算可判断其正确；②当m＝0时，
ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故②错误；③正确；④由于向量相等具有传递性，故④正确．]
3.A [由AN→＝3NC→得4AN→＝3AC→＝3(a＋b)，
又AM→＝a＋12b，所以MN→＝34(a＋b)－a＋12b
＝－14a＋14b.]
4．B[由题目条件可知，M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，
则AM→＝23AD→，①
因为AD为中线，AB→＋AC→＝2AD→＝mAM→，
即2AD→＝mAM→，②
联立①②可得m＝3.]
5.43
解析设AB→＝a，AD→＝b，
那幺AE→＝a＋b，AF→＝a＋12b，又∵AC→＝a＋b，
AC→＝23(AE→＋AF→)，即λ＝μ＝23，
∴λ＋μ＝43.
课堂活动区
例 1 D[①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；
②不正确，若a与b中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；
③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；
④不正确，如果b＝0时，则a与c不一定平行．
所以应选D.]
变式迁移1②③④
解析①模相同，方向不一定相同，
故①不正确；
②两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，②
正确；
③只有零向量的模才为0，故③正确；
④AB→＝DC→，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相
等．故④正确．
故应选②③④.
例 2 证明方法一如图所示，
在四边形CDEF中，EF→＋FC→＋CD→＋DE→＝0.①
在四边形ABFE中，EF→＋FB→＋BA→＋AE→＝0.②
①＋②得
(EF→＋EF→)＋(FC→＋FB→)＋(CD→＋BA→)＋(DE→＋AE→)＝0.
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴F C→＋F B→＝0，DE→＋AE→＝0.
∴2EF→＝－CD→－BA→＝AB→＋DC→，
即EF→＝(AB→＋DC→)．
方法二取以A为起点的向量，应用三角形法则求证．
∵E为AD的中点，∴AE→＝12AD→.
∵F是BC的中点，∴AF→＝12（AB→＋AC→)．
又AC→＝AD→＋DC→，
∴A F→＝12（AB→＋AD→＋DC→)＝12（AB→＋DC→)＋12AD→
＝12（AB→＋DC→)＋AE→
∴EF→＝AF→－AE→＝12（AB→＋DC→)．
即EF→＝12（AB→＋DC→)．
变式迁移2解BC→＝BA→＋AD→＋DC→
例 3 解题导引(1)在平面几何中，向量之间的关系一般通过两个指定的向量来表示，向量共线应存在实数λ使两向量能互相表示．
(2)向量共线的判断(或证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．
证明在△ABD中BD→＝AD→－AB→.
因为AB→＝a, AD→＝b，所以BD→＝b－a.
由共线向量定理知：CM→∥CN→，
又∵C M→与CN→有公共点C，∴M、N、C三点共线．
变式迁移3 （1）证明∵AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，
∴AC→＝AB→＋BC→＝e1－e2＋3e1＋2e2
＝4e1＋e2＝（－8e1－2e2) ＝CD→．
∴A C→与CD→共线．
又∵A C→与CD→有公共点C，∴A、C、D三点共线．
（2）AC→＝AB→＋BC→＝（e1＋e2)＋（2e1－3e2)
＝3e1－2e2，∵A、C、D三点共线，∴AC→与CD→共线．
从而存在实数λ使得AC→＝λCD→
即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)．
由平面向量的基本定理得3＝2λ，－2＝－λk.
解之，得λ＝32，k＝43.∴k的值为43.
课后练习区
1．B[由减法的三角形法则知EF→＝OF→－OE→.]
3．D[题目考查两向量共线的充要条件，此定理应把握好两点：(1)与λ相乘的向量为非零向量，(2)λ存在且唯一．故②③④正确．]
5.
6．1＋3232
解析
作DF⊥AB交AB的延长线于F，设
AB＝AC＝1BC＝DE＝2，∵∠DEB＝60°，∴BD＝62.
由∠D B F＝45°，
得DF＝BF＝62×22＝32，
所以BF→＝32AB→FD→＝32AC→，
所以AD→＝AB→＋BF→＋FD→＝（）AB→＋32AC→.
7.1λa＋λ－1λb
＝a＋λ－1λ(b－a)＝1λa＋λ－1λb.
8．0
解析由OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，λ＝12，得AP→－（AB→＋AC→)，即点P为△ABC中BC边的中点，
∴P B→＋P C→＝0.
∴PA→(PB→＋PC→)＝PA→0＝0.
9．解设OA→＝a，OB→＝tb，OC→＝13(a＋b)，
∴AC→＝OC→－OA→＝－23a＋13b，……………………………………………………………(4分)
AB→＝OB→－OA→＝tb－a.……………………………………………………………………(6分)
要使A、B、C三点共线，只需AC→＝λAB→，
即
－23a＋13b＝λtb－λa，……………………………………………………………………(8分)
∴－23＝－λ，13＝λt.
∴λ＝23，t＝12.……………………………………………………(11分)
∴当t＝12时，三向量终点在同一直线上．……………………………………………(12分)
10．解
取AE的三等分点M，
使|AM|＝13|AE|，连结DM.
设|AM|＝t，则|ME|＝2t.
又|AE|＝14|AC|，
∴|A C|＝12t，|EC|＝9t，
|AD||AB|＝|AM||AE|＝13，…………………………………………………………………………(4分)
∴DM∥BE，∴|PC||DC|＝|PE||DM|＝|EC||MC|＝911.
∴|DP|＝211|DC|.…………………………………………………………………………(8分)
∴AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋211DC→＝13AB→＋211(DA→＋AC→)
＝13A B→＋211－13AB→＋AC→
＝311AB→＋211AC→＝311a＋211b.……………………………………………………………(12分)
11．(1)解∵点G是△ABO的重心，
∴GA→＋GB→＋GO→＝0.……………………………………………………………………(2分)
(2)证明∵M是AB边的中点，∴OM→＝12(a＋b)．
∵G是△ABO的重心，∴OG→＝23OM→＝13(a＋b)．
∵P、G、Q三点共线，∴PG→∥GQ→，
且有且只有一个实数λ,使
PG→＝λGQ→.…………………………………………………(5分)
，
∴(13－m)a＋13b＝λ[－13a＋(n－13) b]．…………………………………………………(8分)
又因为a、b不共线，所以
13－m＝－13λ13＝λn－13，……………………………………………………………………(10分)
消去λ，整理得3mn＝m＋n，故
1m＋1n＝3.……………………………………………(14分)。