排列组合问题三——插板法

排列组合问题三——插板法
默认分类2009-09-15 11:29 阅读248 评论0 字号：大大中中小小
前面，介绍了元素排序问题的四种常见考点，今天开始我介绍排列组合的第二大类问题，即元素分组问题。

元素分组又分为相同元素分组和不相同元素分组这两类问题。

对于相同元素分组来说，如果是相同元素分到相同的组里，问题就变的没有意义，公考中也不会涉及到。

那么对于相同元素分到不同的组里，一般我们就用插板法来解决。

【基本题型】
有n个相同的元素，要求分到m组中，并且要求每组中至少有一个元素问有多少种分法？
【基本解题思路】
将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n 个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。

【基本题型例题】
【例1】共有10完全相同的球分到7个班里，要求每个班至少要分到一个球，问有几种不同分法？
解析一：我们首先用常规方法。

若想将10个球分到7个班里，球的分法共三类：
第一类：有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。

这样，第一步，我们从7个班中选出3个班，每个班分2个球；第二步，从剩下的4个班中选4个班，每班分1球。

其分法种数为：C（7，3）*C（4，4）=35
注明：由于排版的关系，我用C（n，m）和A（n，m）代替原来的组合与排列公式。

第二类：有1个班分到3个球，1个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球。

其分法种数：C（7，1）* C（6，1）* C（5，5）=42
第三类：有1个班分到4个球，其余的6个班每班分到1个球。

其分法种数：
C（7，1）* C（6，6）=7
所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为：35+42+7=87（种）。

解析二：从上面的解题过程可以看出，用常规方法解这类题，需要分类计算，计算过程繁琐。

并且如果元素个数较多的话处理起来就变得十分的困难了。

因此我们需要寻求一种新的方法解决问题，也就是——插板法。

我们可以将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空隙，现在我们用6个档板”插入这9个空隙中，就“把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），这样，借助于虚拟“档板”就可以把10个球分到了7个班中。

由上述分析可知，原问题就可以转化成：在9个空档之中插入6个“档板”（6个档板可把球分为7组）的问题，这是一个很简单的组合问题，其方法种数为：C（9，6）=84
【基本题型总结】
对于这种要求每组元素至少要分到一个的情况，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有C（n-1，m-1）种不同方法。

【注意】
这种插板法解决相同元素分到不同组的问题非常简单，但同时也提醒各位考友，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以下3个条件：
（1）所有要分的元素须完全相同；
（2）所要分的元素必须分完，决不允许有剩余；
（3）参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。

这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。

但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。

【基本题型的变形（一）】
题型：有n个相同的元素，要求分到m组中，问有多少种不同的分法？
解题思路：这种问题是允许有些组中分到的元素为“0”，也就是组中可以为空的。

对于这样的题，我们就首先将每组都填上1个，这样所要元素总数就m个，问题也就是转变成将（n+m）个元素分到m组，并且每组至少分到一个的问题，也就可以用插板法来解决。

【例2】有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法.
A．35 B．28 C．21 D．45
解析：这道题很多同学错选C，错误的原因是直接套用“插板法”，而忽略了题中并没有说每个盒子至少要分到一个球，也就是可以出现空盒子。

原题并不符合“插板法”的条件
不过，此题只要我们多一个小变化，就可以将其转化为用“插板法”解题的类型了。

我们可以人为地在每个盒子增加一个球，原有8个相同的球放到三个不同的盒子里这样这个问题就变成了，11个相同的球放到3个不同盒子里面。

要求每个盒子里最少有一个的问题了。

这样，此题就有C（10，2）=45（种）分法了，选项D为正确答案。

总结：对于这种要求每组元素至少要分到一个的情况，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有C（n+m-1，m-1）种不同方法。

【基本题型的变形（二）】
题型：有n个相同的元素，要求分到m组，要求各组中分到的元素至少某个确定值s（s＞1，且每组的s值可以不同），问有多少种不同的分法？
解题思路：这种问题是要求组中分到的元素不能少某个确定值s，各组分到的不是至少为一个了。

对于这样的题，我们就首先将各组都填满，即各组就填上对应的确定值s那么多个，这样就满足了题目中要求的最起码的条件，之后我们再分剩下的球。

这样这个问题就转变为上面我们提到的变形（一）的问题了，我们也就可以用插板法来解决。

【例3】15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？
解析：先用6个球按编号数“填满”各盒(符合起码要求)，再把9个球放入3个盒内即可,也就对应着将12个球分成3组里，并且每组不能为空的问题，这样利用插板法，就有：
C（11，2）=55（种）
【总结】对于要求分到各组的个数至少为某个一个确定值(大于1)的题，我们就先每组中人为填上等于确定值的那么多的球数，这样满足其最起码的条件，然后我们再分剩下的球，就可以利用我们前面提到的“插板法”第一种变形题的解法来解决了。