数学游戏串项链

数学游戏串项链
数学游戏串项链
一、问题描述
在数学游戏串项链中,我们需要把一些不同颜色的数学符号按照一定的顺序穿成一条项链。

每一个数学符号的颜色不同，但是相同颜色的数学符号在项链上需要相邻。

请问有多少种可行的穿法？
二、问题分析
该问题可以看做是一个罗列问题。

首先将题目中的数据变成更直观的形式：假设有 n 种不同的数学符号，且每种符号的颜色各不相同。

假设第 i 种符号的数量为 a[i] 个，那末我们需要求的是将这些符号罗列成项链的所有不同的方式数。

三、问题解决
1. 暴力枚举解法
求解时可以先把数学符号全部枚举出来，再进行罗列。

在代码中使用 dfs 深度搜索实现。

对有重复颜色的符号，可以通过剪枝进行优化，避免浮现重复的项链。

具体实现时可以建立一个标记数组，如果当前要枚举的数学符号颜色与前一个数学符号颜色相同，且前一个数学符号没有被
使用过，那末就剪枝。

同时，由于是在项链上进行罗列，需要注意特判将首位相连的情况。

算法复杂度：O(n!)
代码实现：
```
include <iostream>
include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 25;
int n, ans; // n 表示符号数量，ans 表示总方案数
int a[maxn]; // 每一个数学符号的数量
int vis[maxn]; // 标记数组，记录某个数学符号是否已被使用过
bool is_valid(int idx, int cur) {
// 判断当前符号是否可用
if (idx > 0 && cur == a[idx - 1] && !vis[idx - 1]) return false;
return true;
}
void dfs(int pos, int cnt) {
if (pos == n) {
if (is_valid(0, a[n - 1]) && cnt == n) ans++;
return;
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (is_valid(pos, i)) {
vis[pos] = 1;
dfs(pos + 1, cnt + 1);
vis[pos] = 0;
}
}
}
int main() {
while (cin >> n) {
ans = 0;
memset(a, 0, sizeof(a));
memset(vis, 0, sizeof(vis));
for (int i = 0; i < n; i++)
cin >> a[i];
dfs(0, 0);
cout << ans << endl;
}
return 0;
}
```
2. 康托展开
康拓展开（Cantor expansion）是一个全罗列到一个自然数之间的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。

该算法时间复杂度为O(n^2)，优于普通暴力枚举方法。

首先需要对罗列进行一个特殊的编码，一个长度为 n 的罗列 P 可以编码成一个 n 位的整数串 C(P)，该整数等于：
C(P) = (P[1] - 1) * (n - 1)! + (P[2] - 1) * (n - 2)!
+ ... + (P[n - 1] - 1) * 1! + (P[n] - 1) * 0!
其中 ! 表示阶乘运算符，P[k] 表示第 k 个罗列位置上的数。

该表达式的意义是：第 i 位上如果填入一个 k，剩下 n - i 个数可以罗列成 (n - i)! 种罗列，于是就有了上述的式子。

有了编码方式，就能快速地将一个整数转换成一个罗列，计算罗列的个数就可以通过计算所有字典序小于该罗列的罗列的 C(P) 的和来计算。

具体实现看代码，也有注释。

算法复杂度：O(n^2)
代码实现：
```
include <iostream>
include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 25;
int a[maxn]; // 存储每种数学符号的数量
int fact[maxn]; // 阶乘优化
void init() {
fact[0] = 1;
for (int i = 1; i <= maxn; i++)
fact[i] = fact[i - 1] * i;
}
int cantor(int* p, int n) {
int code = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int cnt = 0; // 表示有几个数比 p[i] 小 for (int j = i + 1; j < n; j++) {
if (p[j] < p[i])
cnt++;
}
code += cnt * fact[n - i - 1];
return code + 1;
}
int main() {
init();
while (cin >> n) {
for (int i = 0; i < n; i++)
cin >> a[i];
int* p = new int[n]; // 需要生成罗列的数组 for (int i = 0; i < n; i++)
p[i] = i + 1;
int ans = 0; // 记录
do {
// 判断当前罗列是否符合要求
bool flag = true;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int cur = a[p[i] - 1], next = a[p[(i + 1) % n] - 1];
if (cur == next) {
flag = false;
break;
}
}
if (flag) {
// 计算罗列编码
int code = cantor(p, n);
ans += code;
}
} while (next_permutation(p, p + n)); // 生成下一个罗列
// 输出结果
cout << ans << endl;
delete[] p;
}
return 0;
}
```
四、附件
无
五、法律名词及注释
无
六、可能遇到的艰难及解决办法
1. 如果有重复的颜色符号，怎么判断是否符合题目的要求？
解决办法：可以通过剪枝进行优化，根据题意不难发现，如果当前要枚举的数学符号颜色与前一个数学符号颜色相同，且前一个数学符号没有被使用过，那末就剪枝。

2. 如果数据规模较大，暴力枚举算法的效率会比较低，怎么优化？
解决办法：可以采用康拓展开算法，该算法比暴力枚举更加高效。

康拓展开是一个全罗列到一个自然数之间的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。