高考复习方案(全国卷地区专用)2017届高考物理一轮复习 专题汇编 4 人造卫星 宇宙探索听课手册 新人教版

专题4 人造卫星 宇宙探索
热点一 人造卫星轨道运行参数 几种常见卫星 1.环绕同一天体的不同轨道高度的卫星运行参量比较
2.三种常见卫星
近近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，设地球自转周期为24 h ，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图Z4­1所示，则下列关于卫星的说法中正确的是( )
图Z4­1
A ．a 的向心加速度等于重力加速度g
B ．c 在4 h 内转过的圆心角为π
6
C ．b 在相同的时间内转过的弧长最长
D ．d 的运动周期可能是23 h
1 (近地卫星)已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径
的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )
A ．3.5 km/s
B ．5.0 km/s
C ．17.7 km/s
D ．35.2 km/s
2 (极地轨道卫星)[2016·河南郑州一中开学考试] 如图Z4­2所示，某极地卫
星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道)，若已知该卫星从地球上北纬30°的正上方，按图示方向第一次运行至南纬60°正上方时所用时间为t ，地球半径为R (地球可看作均匀球体)，地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G ，由以上条件无法求
出的物理量是( )
图Z4­2
A．卫星运动的周期 B．卫星所受的向心力
C．地球的质量 D．卫星距离地面的高度
3 (同步卫星)研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )
A．距地面的高度变大 B．向心加速度变大
C．线速度变大 D．角速度变大
■ 规律总结
1．卫星轨道半径与运行参数关系：卫星轨道半径越大，同一卫星所受万有引力越小，其线速度、角速度、向心加速度越小，周期越大；动能越小，势能越大、机械能越大．2．几种常见卫星注意要点：(1)近地卫星的绕行速度是所有卫星的最大的绕行速度；其运行周期是所有卫星的最小周期；其向心加速度a＝g＝9.8 m/s2，是所有卫星的最大向心加速度．(2)由于地球自转，极地卫星的轨道平面不能始终和地球某一经线平面重合，从而使得该种卫星可对全球进行间断性扫描．(3)同步卫星：①周期一定(周期T＝24 h)；②轨道平面一定(赤道平面)；③轨道高度一定(距离地面h≈3.6×104 km)；④运行速度大小一定(速率v≈3.1 km/s)；⑤向心加速度大小一定；⑥绕行方向一定(由西向东)．
热点二人造卫星的变轨
卫星在轨期间改变运行轨道的过程称为变轨．其动力学本质为圆周运动需要的向心力与物体受到的万有引力大小变化的关系．
1．变轨原理及过程
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图Z4­3所示．
图Z4­3
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．三个运行物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B 点速率分别为v A、v B.在A点加速，则v A＞v1，在B点加速，则v3＞v B，又因v1＞v3，故有v A ＞v1＞v3＞v B.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为
r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开普勒第三定律r 3
T
2＝k 可知T 1＜T 2＜T 3.
(多选)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1和2相切于Q 点，轨道2和3相切于P 点，设卫星在轨道1和轨道3正常运行的速度和加速度分别为v 1、v 3和a 1、a 3，在轨道2经过P 点时的速度和加速度为v 2和a 2，且当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时周期分别为T 1、T 2 、T 3，以下说法正确的是( )
图Z4­4
A ．v 1＞v 2＞v 3
B ．v 1＞v 3＞v 2
C ．a 1＞a 2＞a 3
D ．T 1＜T 2＜T 3
1 (多选)(变轨中运行参量的比较)2013年12月2日，我国探月探测器“嫦娥
三号”在西昌卫星发射中心成功发射升空，此飞行轨道示意图如图Z4­5所示，地面发射后奔向月球，在P 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，Q 为轨道Ⅱ上的近月点．下列关于“嫦娥三号”的运动，正确的说法是( )
图Z4­5
A ．发射速度一定大于7.9 km/s
B ．在轨道Ⅱ上从P 到Q 的过程中速率不断增大
C ．在轨道Ⅱ上经过P 的速度小于在轨道Ⅰ上经过P 的速度
D ．在轨道Ⅱ上经过P 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过P 的加速度
2 (多选)(变轨中功能问题)[2014·山东卷] 2013年我国相继完成“神十”与
“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程．某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图Z4­6所示，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h 高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球．设“玉兔”质量为m ，月球半径为R ，月面的重力加速度为g 月．以月面为零势能面，“玉兔”在h 高度的引力势能可表示为E p ＝
GMmh
R （R ＋h ）
，其中G 为引力常量，M 为月球质量．若忽略月球的自
转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为( )
图Z4­6
A.
mg 月R R ＋h (h ＋2R ) B.mg 月R
R ＋h
(h ＋2R )
C.
mg 月R R ＋h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
h ＋22R D.
mg 月R R ＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫h ＋12R ■ 特别提醒
分析人造卫星运行参数及变轨问题要注意以下四个关键点：(1)卫星变轨时半径的变化，要根据万有引力与所需向心力的大小关系判断；(2)卫星稳定在新轨道上的运行速度由
v ＝
GM
r 决定；(3)卫星通过不同轨道的同一点(切点)时的速度大小关系可根据离心或向心运动的条件分析得出；(4)卫星通过不同轨道的同一点(切点或交点)时的加速度大小关系可由a ＝GM r
2比较得出．
热点三 宇宙速度 黑洞与多星系统
近几年高考试题中，涉及黑洞问题、双星问题、三星系统等考题主要有以下几种形式：
上月球并在月球表面附近以初速度v 0竖直向上抛出一个小球，经时间t 后回到出发点．已知月球的半径为R ，引力常量为G ，则下列说法正确的是( )
A ．月球表面的重力加速度为v 0
t
B ．月球的质量为2v 0R
2
Gt
C ．宇航员在月球表面获得
v 0R
t
的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动 D ．宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为
Rt v 0
[2015·南昌二模] 物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，
第二宇宙速度v 2与第一宇宙速度v 1的关系是v 2＝2v 1.已知某星球半径是地球半径R 的1
3
，
其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g 的1
6，不计其他星球的影响，则该星球的第二
宇宙速度为( )
A.gR
B.13gR
C.1
6
gR D.3gR
] 利用万有引力定律可以测量天体的质量．
(1)测地球的质量
英国物理学家卡文迪许，在实验室里巧妙地利用扭秤装置，比较精确地测量出了引力常量的数值，他把自己的实验说成是“称量地球的质量”．
已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，引力常量为G .若忽略地球自转的影响，求地球的质量．
(2)测“双星系统”的总质量
所谓“双星系统”，是指在相互间引力的作用下，绕连线上某点O 做匀速圆周运动的两个星球A 和B ，如图Z4­7所示．已知A 、B 间距离为L ，A 、B 绕O 点运动的周期均为T ，引力常量为G ，求A 、B 的总质量．
(3)测月球的质量
若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成“双星系统”．已知月球的公转周期为T 1，月球、地球球心间的距离为L 1.利用(1)、(2)中提供的信息，求月球的质量．
图Z4­7
(多选)(三星系统)[2015·陕西汉中模拟] 如图Z4­8所示，甲、乙、丙是位于
同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R 的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M ，引力常量为G ，则( )
图Z4­8
A ．甲星所受合外力为5GM
2
4R
2
B ．乙星所受合外力为GM 2
R
2
C ．甲星和丙星的线速度相同
D ．甲星和丙星的角速度相同 ■ 特别提醒
多星问题的解题技巧
(1)挖掘一个隐含条件：在圆周上运动天体的角速度(或周期)相等；
(2)重视向心力来源分析：双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，三星或多星做圆周运动，向心力往往是多个星的万有引力的合力来提供；
(3)区别两个长度关系：圆周运动的轨道半径和万有引力中两天体的距离是不同的，不能误认为一样．
■ 高考真题
1．(多选)[2015·天津卷] P 1、P 2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s 1、s 2做匀速圆周运动．图Z4­9中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a ，横坐标表示物体到行星中心的距离r 的平方，两条曲线分别表示P 1、P 2周围
的a 与r 2
的反比关系，它们左端点横坐标相同．则( )
图Z4­9
A ．P 1的平均密度比P 2的大
B ．P 1的“第一宇宙速度”比P 2的小
C ．s 1的向心加速度比s 2的大
D ．s 1的公转周期比s 2的大
2．(多选)[2014·新课标全国卷Ⅰ] 太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是( )
A.各地外行星每年都会出现冲日现象 B ．在2015年内一定会出现木星冲日
C ．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D ．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
3．(多选)[2015·广东卷] 在星球表面发射探测器，当发射速度为v 时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到2v 时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球，已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1，下列说法正确的有( )
A ．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大
B ．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大
C ．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等
D ．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大 ■ 模拟精选
4．[2015·湖北荆州模拟] 关于沿圆轨道运行的人造地球卫星，下列说法正确的是( )
A ．卫星的轨道半径越大，卫星的运行速率就越大
B ．在轨道上运行的卫星受到的向心力一定等于地球对卫星的引力
C ．在同一条轨道上运行的不同卫星，周期可以不同
D ．人造地球卫星的轨道半径只要大于地球的半径，卫星的运行速度大小就一定介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
5．[2015·贵州模拟] 我国海南文昌卫星发射场于2013年建成，该发射场是中国陆地纬度最低、距离赤道最近的地区．火箭发射场距离赤道越近、纬度越低，发射卫星时需要的能耗越低，使用同样燃料可达到的速度越快．已知地球的半径为R ，地球的自转周期为T ，地表的重力加速度为g ，要在地球赤道上发射一颗质量为m 的近地的人造地球卫星，使其轨道在赤道的正上方，若不计空气的阻力，那么( )
A ．向东发射与向西发射耗能相同，均为12mgR －12m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πR T 2
B ．向东发射耗能为12m ⎝ ⎛
⎭⎪⎫gR －2πR T 2，比向西发射耗能多
C ．向东发射与向西发射耗能相同，均为12m ⎝ ⎛
⎭⎪⎫gR －2πR T 2
D ．向西发射耗能为12m ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫gR ＋2πR T 2，比向东发射耗能多
6．(多选)[2015·常德模拟] 天文学发现一个由A 、B 两颗星球组成的双星系统，观测
到双星A 、B 间的距离为l ，A 星的运动周期为T ，已知引力常量为G ，则可求出( )
A ．
B 星的运动周期 B ．B 星的线速度
C ．A 星的质量
D ．A 星和B 星的总质量
专题4 人造卫星 宇宙探索
【热点题型探究】
热点一 人造卫星轨道运行参数 几种常见卫星
1.GM r
GM r 3 2πr 3GM GM
r 2
2．地球半径R 两极点 自转周期
例 1 C [解析] 在地球赤道表面随地球自转的卫星，其所受万有引力提供重力和其做圆周运动的向心力，a 的向心加速度不等于重力加速度g ，选项A 错误；由于c 为同步卫星，所以c 的周期为24 h ，因此4 h 内转过的圆心角为θ＝π
3，选项B 错误；由四颗卫星
的运行情况可知，b 运动的线速度是最大的，所以其在相同的时间内转过的弧长最长，选项C 正确；d 运行的周期比c 要长，所以其周期应大于24 h ，选项D 错误．
变式题 1 A [解析] 航天器在火星表面附近做圆周运动所需的向心力是由万有引力
提供的，由G Mm R 2＝m v 2
R
知v ＝
GM
R
，当航天器在地球表面附近绕地球做圆周运动时有v 地＝7.9 km/s ，
v 火v 地
＝GM 火R 火
GM 地R 地
＝M 火M 地·R 地R 火＝55，故v 火＝55v 地＝5
5
×7.9 km/s ≈3.5 km/s ，则A 正确．
变式题2 B [解析] 地球表面物体受到的重力和万有引力相等，有G Mm
R
2＝mg ①，可得
地球质量为M ＝gR 2
G
，选项C 不符合题意；从北纬30°的正上方按图示方向第一次运行至南
纬60°正上方转过的圆心角为θ＝π2②，设卫星周期为T ，根据题意有2π
T
t ＝θ③； 设卫
星质量为m 0，卫星到地面的高度为h ，根据万有引力提供向心力有G Mm 0（R ＋h ）2＝m 0
4π
2
T 2
(R ＋h )④，由①②③④联立可得卫星运动的周期T 和卫星距离地面的高度h ，选项A 、D 不符合
题意；由于不知道卫星的质量，所以无法计算卫星所受的向心力，选项B 符合题意．
变式题 3 A [解析] 本题考查万有引力和同步卫星的有关知识点，根据卫星运行的特点“高轨、低速、长周期”可知周期延长时，轨道高度变大，线速度、角速度、向心加速度变小，A 正确，B 、C 、D 错误．
热点二 人造卫星的变轨
例2 BD [解析] 卫星在轨道1运行速度大于卫星在轨道3运行速度，在轨道2经过P 点时的速度v 2小于v 3，选项A 错误，B 正确．卫星在轨道1和轨道3正常运行加速度a 1＞a 3，在轨道2经过P 点时的加速度a 2＝a 3，选项C 错误．根据开普勒第三定律，卫星在轨道1、2、3上正常运行时周期T 1＜T 2＜T 3，选项D 正确．
变式题 1 ABC [解析] “嫦娥三号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s ，A 正确．在轨道Ⅱ上从P 到Q 的过程中速率不断增大，选项B 正确．“嫦娥三号”从轨道Ⅰ上运动到轨道Ⅱ上要减速，故在轨道Ⅱ上经过P 的速度小于在轨道Ⅰ上经过P 的速度，选项C 正确．在轨道Ⅱ上经过P 的加速度等于在轨道Ⅰ上经过P 的加速度，D 错误．
变式题 2 D [解析] 本题以月面为零势能面，开始发射时，“玉兔”的机械能为零，对接完成时，“玉兔”的动能和重力势能都不为零，该过程对“玉兔”做的功等于
“玉兔”机械能的增加．忽略月球的自转，月球表面上，“玉兔”所受重力等于月球对“玉兔”的引力，即G Mm R
2＝mg 月，对于在h 高处的“玉兔”，月球对其的万有引力提供向心
力，即G Mm （R ＋h ）2＝m v 2R ＋h ，“玉兔”的动能E k ＝12mv 2，由以上各式可得E k ＝g 月R 2m
2（R ＋h ）
.对“玉兔”做的功W ＝E k ＋E p ＝
mg 月R R ＋h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
h ＋12R .选项D 正确． 热点三 宇宙速度 黑洞与多星系统
例3 B [解析] 以初速度v 0竖直向上抛出一个小球，经时间t 后回到出发点，则v 0
＝gt
2，解得月球表面的重力加速度为2v 0t ，选项A 错误；由G Mm R 2＝mg 解得M ＝gR 2G ＝2v 0R
2
Gt ，选项B 正确；月球第一宇宙速度v ＝Rg ＝ 2v 0R
t ，选项C 错误；宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的周期为T ＝2πR v
＝π
2Rt
v 0
，选项D 错误．
变式题 B [解析] 设该星球的质量为M ，半径为r ，绕其飞行的卫星质量为m ，根据
万有引力提供向心力，可得G Mm r 2＝m v 21
r ，解得：v 1＝GM r
，又因它表面的重力加速度为地球
表面重力加速度g 的16，可得G Mm r 2＝m g 6，又r ＝13R 和v 2＝2v 1，解得：v 2＝1
3
gR ，所以正确
选项为B.
例4 (1)gR 2G (2)4π2L 3GT 2 (3)4π2L 31GT 21
－gR
2
G
[解析] (1)设地球的质量为M ，地球表面某物体质量为m ，忽略地球自转的影响
G Mm R 2＝mg ，解得M ＝gR 2
G
. (2)设A 的质量为M 1，A 到O 的距离为r 1，B 的质量为M 2，B 到O 的距离为r 2. G M 1M 2L 2＝M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 1 G M 1M 2L 2＝M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 2 又L ＝r 1＋r 2，解得M 1＋M 2＝
4π2L
3
GT 2
.
(3)设月球的质量为M 3，由(2)可知M 3＋M ＝4π2L 3
1GT 21
由(1)可知M ＝gR 2G
解得 M 3＝4π2L 3
1GT 21－
gR
2
G
. 变式题 AD [解析] 甲星所受合外力为乙、丙对甲星的万有引力的合力，F 甲＝GM 2R
2＋
GM 2（2R ）2＝5GM
2
4R
2，选项A 正确；由对称性可知，甲、丙对乙星的万有引力等大反向，乙星所受合力为0，选项B 错误；由于甲、丙位于同一直线上，甲、丙的角速度相同，由v ＝ωR 可知，甲、丙两星的线速度大小相同，但方向相反，选项C 错误，D 正确．
【高考模拟演练】
1．AC [解析] 由图可知，s 1的向心加速度比s 2的大，C 正确；因a ＝GM r
2，结合图像可知M 1>M 2，两条曲线左端点的横坐标表示行星的半径，所以P 1、P 2的半径相同，所以P 1的平均密度比P 2的大，A 正确；根据v ＝
GM
R
得P 1的“第一宇宙速度”比P 2的大，B 错误，由a ＝4π
2
T
2r 知，在r 一定情况下，加速度越大，周期越短，所以D 错误．
2．BD [解析] 本题考查万有引力知识，开普勒行星第三定律，天体追及问题．因为冲日现象实质上是角速度大的天体转过的弧度恰好比角速度小的天体多出2π，所以不可
能每年都出现，A 错误．由开普勒行星第三定律有T 2木T 2地＝r 3木
r 3地
＝140.608，周期的近似比值为
12，故木星的周期为12年，由曲线运动追及公式2πT 1t －2π
T 2
t ＝2n π，将n ＝1代入可得t ＝
12
11
年，t 为木星两次冲日的时间间隔，所以2015年能看到木星冲日现象，B 正确．同理可算出天王星相邻两次冲日的时间间隔为1.01年．土星两次冲日的时间间隔为1.03年．海王星两次冲日的时间间隔为1.006年，火星两次冲日的时间间隔为2.195年．由此可知C 错误，D 正确．
3．BD [解析] 探测器绕星球表面做匀速圆周运动时，有G Mm R 2＝m v 2
R
，其中M 是星球的
质量，R 是星球的半径，解得v ＝
GM
R
，而探测器脱离星球所需要的发射速度v 脱＝2v ＝2GM
R ，与探测器的质量无关，A 错误；探测器在地球、火星表面受到的万有引力比为：
F 地F 火＝G
M 地m R 2地G M 火m R 2火
＝M 地M 火·R 2火
R 2地＝101×12
2＝2.5，故B 正确；探测器脱离地球与脱离火星的发射速度比为：
v 地
v 火
＝2GM 地
R 地
·
R 火
2GM 火＝101×1
2
＝5，故C 错误；探测器脱离星球的过程，离星球表面越来越高，故相应的势能也越来越大，D 正确．
4．B [解析] 在轨道上运行的卫星由地球对卫星的引力提供向心力，且G Mm R 2＝m v 2
R
，解
得v ＝
GM
R
，轨道半径越大，卫星的运行速率就越小，选项A 错误，选项B 正确；在同一条轨道上运行的不同卫星，线速度大小相同，周期相同，选项C 错误；由v ＝
GM
R
，当R 为地球半径时的速度为第一宇宙速度，人造地球卫星的轨道半径大于地球的半径，卫星的运行速度大小小于第一宇宙速度，选项D 错误．
5．D [解析] 对近地的人造地球卫星，GmM R 2＝m v 2
R
＝mg ，最小发射速度 v ＝gR ，地球
自转赤道处的线速度v ′＝2πR
T ，向东发射耗能为12m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫gR －2πR T 2，向西发射耗能为
1
2m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫gR ＋2πR T 2
，比向东发射耗能多，选项D 正确．
6．AD [解析] 双星系统中的双星做圆周运动的周期相同，所受万有引力充当向心
力，由F ＝G m A m B l 2知向心力大小相等，对A 星有G m A m B l 2＝m A 4π2T 2r A ，对B 星则有G m A m B l 2＝m B 4π
2T 2r B ，
两式分别化简后相加得：G m A ＋m B l 2＝4π2T 2(r A ＋r B )＝4π2
l
T
2.因此双星总质量和运动周期可求，
选项A 、D 正确；由于只有两个独立的关系式，无法解出m A 、v B ，选项B 、C 错误．
【教师备用习题】
1．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( )
A.n 3
k 2T B.n 3k T C.n 2k T D.
n k
T [解析] B 对于双星中的质量为m 的星体，有G Mm l 2＝m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2r 1，得M ＝4π2r 1l
2
T 2G ，同理得
m ＝
4π2r 2l
2
T 2G
，双星的总质量M ＋m ＝
4π
2
()r 1＋r 2l 2
T 2G
＝
4π2l
3
T 2G
，可得双星运动的周期T ＝
4π2l
3
G （M ＋m ），当双星的总质量变为原来的k 倍，双星之间的距离变为原来的n 倍时，T ′
＝
4π2n 3l
3
Gk （M ＋m ）
＝
n 3
k
T ，B 正确． 2．(多选)A 、B 两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，A 的运行周期大于B 的运行周期，则( )
A ．A 距离地面的高度一定比
B 的大 B ．A 的向心加速度一定比B 的小
C ．A 的向心力一定比B 的大
D ．A 的运行速率一定比B 的大
[解析] AB 由开普勒第三定律r 3
T 2＝k 可知，因卫星A 的运行周期大于B 的运行周期，故
A 的轨道半径大于
B 的轨道半径，选项A 正确；由ma ＝G Mm r 2得，卫星的向心加速度a ＝GM
r
2，
轨道半径越大，则向心加速度越小，故A 的向心加速度一定比B 的小，选项B 正确；两颗卫
星的向心力都由地球的万有引力提供，由于两卫星的质量关系未知，故不能比较向心力的
大小，选项C 错误；由G Mm r 2＝m v 2
r ，得v ＝
GM
r
，所以A 的运行速率一定比B 的小，选项D 错误．
3．[2015·安徽卷]由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A 星体质量为2m ，B 、C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，求：
(1)A 星体所受合力大小F A ； (2)B 星体所受合力大小F B ； (3)C 星体的轨道半径R C ；
(4)三星体做圆周运动的周期T .
[答案] (1)2 3G m 2a 2 (2)7G m 2a 2 (3)7
4
a
(4)π
a 3
Gm
[解析] (1)由万有引力定律，A 星体所受B 、C 星体引力大小为
F BA ＝
G m A m B r 2＝G 2m 2
a
2＝F CA ，方向如图
则合力大小为F A ＝2 3G m
2
a
2.
(2)同上，B 星体所受A 、C 星体引力大小分别为
F AB ＝
G m A m B r 2＝G 2m 2
a 2
F CB ＝
G m C m B r 2＝G m 2
a
2
方向如图
由F Bx ＝F AB cos 60°＋F CB ＝2G m 2
a 2
F By ＝F AB sin 60°＝3
G m 2
a 2
可得F B ＝F 2
Bx ＋F 2
By ＝7G m 2
a
2.
(3)通过分析可知，圆心O 在中垂线AD 的中点，
R C ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a 2 或：由对称性可知OB ＝OC ＝R C cos ∠OBD ＝F Bx F B ＝DB OB ＝12
a
R C
可得R C ＝
74
a (4)三星体运动周期相同，对C 星体，由 F C ＝F B ＝7G m 2a 2＝m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2
R C
可得T ＝πa 3
Gm
.。