李永乐经典25题
电路原理江缉光答案
电路原理江缉光答案【篇一：清华大学电路原理备考经验谈】两本都看看），这二本书可以当作教材和参考书。
其实我数学复习的60%的时间都在研读这两本书。
全书（或指南）建议看三遍，每遍侧重不一样，看个人安排了。
这项工作最晚要在考前100天做完。
2.李永乐的四百题，建议做两遍，第一遍可以二天一套，一天模拟考（卡点做，把答案按考场上要求写在纸上），一天总结，结合全书上相关知识点复习。
这项工作最好一个月之内做完。
3、李永乐的冲刺1354、真题，可以不全做，做做有代表性的还有最近两年的就行。
资料就这么多，关健是要反复看，一定要勤总结。
还有一定要注意提高自己的应试能力（我主要是靠模考来提高的）。
专业课：资料：1、清华的三本参考书（官方网站上有）2、红皮书。
3、清华大学硕士研究生入学考试《电路原理试题选编》（绿皮书）小绿皮—历年试题汇编貌似是红皮的5、清华内部的讲义。
清华大学电路原理考研秘籍1. 考研基本情况初试考察电路原理这门专业课有两个系：自动化系与电动系，两系实力非常强大，纵向看，全国第一地位无人敢撼动，横向分析，两系在清华校内各专业中也是炙手可热的专业。
. 因此，每年两系竞争火热，2010年考研自动化系报名500余人，实录取17普通工学，3人强军计划工学，15名工程，电机系350余人，实录8个工学，15个工程。
2011年自动化系报名400余人，实录12工学，3人强军工学+10余名工程，电机系报名250人左右，实录8名工学，10余名工程。
2011年分数线方面，自动化复试线378，进复试48名，分4个大方向，分数分布如下：419、418、415、413、411、409、408、407、406、404、401、399、397、395、394、393、392??..自动化系电路最高分139，电机系复试线375，进复试35名左右。
高分如下：424、418、416、414、413、409、406、404、401???...电机系电路原理最高分是149分。
李永乐线性代数经典例题
此题做到 ( B + A )( B − A ) 这一步即可 原式
−1
(A
E
−1
−1 T −1 T B A ) − ET B + A−1 A ) (
( B + A) ( A + B)
A ( A−1 B − E )
2
( A + B) ( A + B)
原式 总结
−1
( B + A)( B − A)
8
B*
8 10 −5 1 −8 4 −1 − 7 4 − 1
4
已知 A
*
求 A ________
解答
A
0 −1 1 −1 −3 2 − − 4 5 0 AA* A* A AE
解法
第 2 页
2003 年 度 研 究 生 入 学 考 试 系 列 参 考 资 料
−1
B 两个矩阵均为 N 阶矩阵
且 ( A + B)
2
E
其中 A 为对称矩阵且可逆
求
(A
B + E)
−1
(B
T
A−1 − E )
−1
T
________
T
解答 注意 解法
(A
−1
B + E)
(B
T
A−1 − E )
( B + A)( B − A)
不必再画蛇添足
−1 −1 ( A−1 )T ( BT )T − E + A A B ( )
求B
________
解答
B
−6 0 0 6 −12 9 3 1.5 3 −1.5 1.5 −2.25 −3 −3 1.5 6
李永乐2013考研数学：十年真题解析(数二)
资料来源：中国教育在线 /
资料来源：中国教育在线 / 内容简介
本书汇集2003年一2012年全国硕士研究生入学统考数学试题，而且对所有试题均给出了详细解答，并尽量做到一题多解。
有很多试题的解法是我们几位编者从事教学和考研(微博)辅导研究总结出来的，具有独到之处。
其中有些试题的解法比标准答案的解法更简捷、更省时省力。
本书在对历年考研数学试题逐题解答的基础上，每题都给出了分析或评注，不仅对每题所考知识点或难点进行了分析，而且对各种题型的解法进行了归纳总结，使考生能举一反三，触类旁通；同时通过具体试题，指出了考生在解题过程中出现的有关问题和典型错误，并点评错因，提醒考生引以为戒。
为了方便考生和各辅导班进行测试，我们将试题部分和试题解析分别装订。
2013李永乐复习全书（数一）例题（无答案）（第三章）
2013李永乐复习全书（数⼀）例题（⽆答案）（第三章）2013李永乐复习全书（数⼀）例题（⽆答案）（第三章）1、若()f x 的导函数是sin x ，则()f x 的原函数是 .2、设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()1=-baf x dx f b b a ?. 求证：在(),a b 内⾄少存在⼀点ξ，使()=0f ξ'. 3、以下计算是否正确？为什么？()1-1111arctan =arctan =arctan1-arctan -1=+=-1442d dx dx x x πππ?? ??. 4、设()f x 在[]01，连续，()2cos =f x dx A π，则()20cos =f x dx π.5、n 为⾃然数，证明：220200,cos =sin =4sin ,.n n nn xdx xdx xdx n πππ为奇数，为偶数 6、求下列不定积分：（Ⅰ）21+cos 1+cos 2x dx x ?；（Ⅱ）()421+1+dx x x；,1+-1,f =1,<0.1+xx x f x dx x x e≥其中 8、设函数()201,,=1<2,2-,x x f x x x ≤≤??≤? 并记()()()0=02x F x f t dtx ≤≤?，试求()F x .】9、求下列不定积分：（Ⅰ）sec xdx ?；（Ⅱ）sin +tan dxx x ?；（Ⅲ）.10、求下列不定积分：（Ⅰ）；（Ⅱ）)>0a ；（Ⅲ）()3421-x x dx ? .11、求12、求下列积分：（Ⅰ）1；（Ⅱ）()()2223>0-dx13、求下列不定积分：（Ⅰ）arcsin arccos x xdx ? ；（Ⅱ）22 sin x xdx ?；（Ⅲ）.14、求()2sin =01,2,3n xdx n π，，.15、计算不定积分24+1+1x dx x ? .16、求下列不定积分：（Ⅰ）；（Ⅱ）2 .17、求下列不定积分：（Ⅰ）1=1+sin J dx x ?；（Ⅱ）2-sin =2+cos xJ dx x ? .18、求下列不定积分：（Ⅰ）()sin cos x xdx m n ?≠±? （Ⅱ）25 cos sin x xdx.19、求定积分：20=I π.20、求b.21、求下列定积分：（Ⅰ）2sin =1+cos x x I dx x π；（Ⅱ）22-2sin arctan x J x e dx ππ=? . 22、计算下列反常积分（⼴义积分）的值：（Ⅰ）+3∞；（Ⅱ）()+2211+dx x ∞.23、求⼀块铅直平板如图3.1所⽰在某种液体（⽐重为γ）中所受的压⼒.24、略.25、求下列平⾯曲线的弧长：（Ⅰ）曲线()()229=-30y x x y ≥位于=0x 到=3x 之间的⼀段；（Ⅱ）曲线()2233+=1>0,>0,x y a b a b a b（Ⅰ）求()()=-sin =-cos x a t t y a t t ，的曲率；（Ⅱ）求=ln y x 在点()0,1处的曲率半径.27、已知抛物线2=++y ax bx c 经过点()1,2P ,且在该点与圆22151-+-=222x y ???? ? ?????相切，有相同的曲率半径和凹凸性，求常数,,a b c .液⾯28、设函数()=y f x 在[],a b ()>0a 连续，有曲线()=y f x ，直线=,=x a x b 及x 轴围成的平⾯图形（如图3.12）绕y 轴旋转⼀周得旋转体，试导出该旋转体的体积公式.29、设底⾯长短轴分别为2,2a b 的正椭圆柱体被过此柱体底⾯的短轴且与底⾯成α⾓0<<2πα?的平⾯截得⼀楔形体（如图3.13），求它的体积 30、设两曲线)()00=>0,y a y x y 与处有公共切线（如图3.14），求和两曲线与X 轴围成的平⾯图形绕X 轴旋转⽽成的旋转体的体积V. 31、求圆弧222+=2a x y a y a ??绕y 轴旋转⼀周所的球的⾯积. 32、有⼀椭圆形薄板，长半轴为a 短半轴为b ，薄板垂直⽴于⽔中，⽽其短半轴与⽔⾯相齐，求⽔对薄板的测压⼒.33、半径为R 的球沉⼊⽔中，上顶点与⽔⾯相切，将球从⽔中取出要做多少功？（设球的⽐重为1） 34、设()f x 是连续函数，并满⾜()2sin =cos+f x xdx x C ?.⼜()F x 是()f x 的原函数，且满⾜()0=0F ，则()F x = . 35、设()f x 是连续函数，且满⾜()()1=+f x x xf x dx ?，则()=f x .36、设()()220sin sin ,=cos cos M x dx N x dx ππ=，则有(A) M<1、⽐较定积分π与2ππ的⼤⼩.图3.12图3.14F x f t dt π，其中()()2sin2=1+sin cos 2tf x e t t ，则()F x（A ）为正数（B ）为负数（C ）恒为零（D ）不是常数 39、证明下列不等式：(Ⅰ)102<3?; (Ⅱ2240<<32ππ?. 40、设()f x 在(),a b 上有定义，(),c a b ∈，⼜()f x 在(){},\a b c 连续，c 为()f x 的第⼀类间断点，问()f x 在(),a b 是否存在原函数?为什么?.41、设()f x 在定义(),a b 上，(),c a b ∈，⼜设()(),H x G x 分别在(][),,,a c c b 连续，且分别在(),a c 与(),c b 是()f x 的原函数.令() ()()0,<<,=+,<,H x a x c F x G x c c x b≤??其中选常数0c ，使得()F x 在=x c 处连续.就下列情形回答()F x 是否是()f x 在义(),a b 上的原函数. （Ⅰ）()f x 在点=x c 处连续；（Ⅱ）点=x c 是()f x 的第⼀类间断点；（Ⅲ）点=x c 是()f x 的第⼆类间断点.42、已知()()22cos -sin ,<0,=0,>0ln 1+-1+,2x x xx x f x A x x x xx在()-+∞∞，存在原函数，求常数A 以及()f x 的原函数.43、计算下列不定积分：（Ⅰ）3；（Ⅱ）；（Ⅲ）)a b ≠；（Ⅳ）()2211sin +cos +0sin +cos a x b x dx a b a x b x≠?；（Ⅴ）21+arcsin x x dx；（Ⅵ）(()322ln 1+x dx x ?44、计算下列定积分：（Ⅰ）-ln 0；（Ⅱ）20sin 1+sin +cos xdx x xπ；（Ⅲ）0π?；（Ⅳ）161；（Ⅴ）()2222>0,>0sin +cos dx. 45、求下列积分：（Ⅰ）设()2-1=xy f x e dx ?，求()120x f x dx ?；（Ⅱ）设函数()f x 在[]0,1连续且()10=f x dx A ?，求()()11xdx f x f y dy ??.46、设函数()f x 在()-+∞∞，内满⾜()()=-+sin f x f x x π，且()[)=,0,f x x x π∈，求()3f x dx ππ?.47、计算下列反常积分：（Ⅰ）++13-1+x xdx e e ∞；（Ⅱ）()0>0a x a ?；（Ⅲ）-+-201+x x xe dx e ∞（）；（Ⅳ）()+21+1dx x x ∞? 48、假定所涉及的反常积分（⼴义积分）收敛，证明：()++--1-=f x dx f x dx x ∞∞∞.49、设()f x 在[],a b 上有⼆阶连续导数，求证：()()()()()()()11=-+f +--22bbaaf x dx b a f a b f x x a x b dx ''. 50、设函数()f x 与()g x 在区间[],a b 上连续，证明：()()()()222bb b a aa f x g x dx f x dx g x dx ??≤.51、设()f x 与()g x 在[],a b 上连续，且同为单调不减（或同为单调不增）函数，证明： () ()()()()-bb baaab a f x g x dx f x dx g x dx ≥?.52、设()f x 在[],a b 上有⼆阶连续导数，[](),max a b M f x ''=，证明：()()()2-+--224bab a a b f x dx f b a M ??≤ ?. 53、设()f x 在[],a b 上有连续导数，求证：[]()()aaa b f x f x dx f x dx b a '≤??.54、设函数()f x 在()-+∞∞，上连续，且()()()0=-2xF x x t f t dt ?，证明：（Ⅰ）若()f x 为偶函数，则()F x 也为偶函数；（Ⅱ）若()f x 为单调不增，则()F x 也为单调不减 55、设()f x 在[],a b 上可积，求证：()()0 =xx x f u du Φ?在[],a b 上连续，其中[]0,x a b ∈.56、设()22-0=x t F x e dt ?，试求：（Ⅰ）()F x 的极值；（Ⅱ）曲线()=y F x 的拐点的横坐标；（Ⅲ）()32-2x F x dx '?.57、求曲线3=sin3r a θ的全长.58、求曲线()=1+cos r a θ的曲率. 59、（Ⅰ）下列课表⽰由双纽线()22222+=-x yx y 围成平⾯区域的⾯积的是（A ）402cos 2d πθθ?（B ）404cos 2d πθθ?（C ）2θ（D ）()2402cos 2d πθθ?（Ⅱ）由曲线[]=-sin x a t t ，()()=1-cos 02y a t t π≤≤（摆线）及x 轴围成平⾯图形的⾯积S = .60、已知⼀条抛物线通过x 轴上两点()()1,03,0A ，B ,求证：两坐标轴与该抛物线所围成的⾯积等于x 轴与该抛物线所围成的⾯积. 61、求下列旋转体的体积V :（Ⅰ）由曲线22+2x y x ≤与y x ≥确定的平⾯图形绕直线=2x 旋转⽽成的旋转体；（Ⅱ）由曲线2=3--1y x 与x 轴确定的平⾯图形绕直线=3y 旋转⽽成的旋转体.62、求以半径为R 圆为底，平⾏且等于底圆直径的线段为顶，⾼为h 的正劈椎体的体积. 63、设两点()()1,000,1,1A ，与B 的连线AB 绕z 轴旋转⼀周⽽成的旋转⾯为S ,求曲⾯S与=0=1z z ，围成的⽴体的体积.64、设y 轴右⽅有平⾯曲线()()=x g y y αβΓ≤≤：，它有⼀阶连续的导数，则Γ绕y 轴旋转⼀周的旋转曲⾯的⾯积=F .65、求曲线33=cos =sin x a t y a t ，绕直线=y x 旋转所得曲⾯的⾯积.66、边长为a 和b 的矩形薄板与液⾯成α⾓斜沉于液体内，长边平⾏于液⾯位于深h 处，设>a b ，液体的⽐重为γ，求薄板受的液体压⼒.67、设有⼀半径为R 长度为l 的圆柱体，平放在深度为2R 的⽔池中（圆柱体的侧⾯与⽔相切），设圆柱体的⽐重为()>1ρρ，现将圆柱体从⽔中移出⽔⾯，问需做多少功?68、求星⾏线33=cos =sin x a t y a t ，02t π??≤≤ ??的质⼼，其中>0a 为常数. 69、求由曲线2=x ay 与()2=>0y ax a 所围成平⾯图形的质⼼（形⼼）（如图3.35）.70、设函数()f x 在[]0,π上连续，且()()0sin =0cos =0f x xdx f x xdx ππ，.证明：在()0,π内()f x ⾄少有两个零点.71、设()f x 在()-+∞∞，连续，以T 为周期，令()()0=xF x f t dt ?，求证：（Ⅰ）()F x ⼀定能表成：()()=+F x kx x ?，其中k 为常数，()x ?是以T 为周期的周期函数；（Ⅱ）()()00 11lim=x Tx f t dt f x dx x T→∞??；（Ⅲ）若⼜有()()()0-,+f x x ≥∈∞∞，n 为⾃然数，则当()<+1nT x n T ≤时，有()()()()0<+1T x Tn f x dx f t dt n f x dx ≤.=ax。
李永乐线代笔记
1、线代5~7道题行列式矩阵向量方程组特征值二次型2、微积分数一考的难3、数一线代多一个向量空间考点【行列式、矩阵、向量、方程组、特征值、二次型】4、说曲面名称，数一；三个平面5、方程组，有解、无解、唯一解、无穷解【相关、无关、帙、线性表述、研究方程组解的理论】===【研究解的过程提炼出矩阵、行列式】6、二次型是特征值的几何应用，为什么有各种不同的曲面，由特征值的正负等，7、二次型和特征值的关系8、方程组和特征值是重点，考解答题9、概念多，定理，运算法则多，符号多10、内容纵横交错，知识前后联系紧密代数的一题多解，用不同的定理公式做同一道题11、逻辑推理要求高，可能考证明题，要在证明题花点时间1.方程组，解的情况，有没有解，相关无关，帙2.怎么求解，什么叫方程组的解：x1.。
xn带进每个方程，则是解3.同解变形(1)将两个方程位置互换（2）将某个方程乘以一个非零常数（3）将某个方程的K倍加到某个方程上---------------矩阵的初等变换【解方程组只能做行变换，不能列变换】4.先正向消元---由上往下；然后反响求解-----由下往上5.系数变成a，b，求a，b取什么值有解、无解；面对参数怎么消元，讨论1.求其次方程解(1)初等行变换（2）阶梯型（3）行最简化t、u2.加减消元2分，求解过程没分，答案写出来给满分，看着行最简直接写答案3.A---mxn，有几个线性无关解，n-A的帙4.帙就是最简行矩阵的行数5.找到单位矩阵，其他的是变量，用100法则；找到1对应的数，写其相反数6.对矩阵A进行初等行变换；则方程组的一个基础解系为----------行最简1、矩阵基础知识，矩阵：mxn表格数叫矩阵【行列式一定是一个数，行列相等】2、矩阵描述一些事情、做运算3、矩阵乘法：A-MxN列,B-N行xS.AB-MxS，i行乘j列4、遇到AB=0，秩；解5、对角矩阵得对角矩阵，左右可以交换；对角矩阵的次方=对应元素的次方6、列前行后，的N阶矩阵，行前列后，的一个数7、A b转置与ba转置互为转置矩阵8、主对角线元素的和叫做矩阵的“迹”9、A b转置的主对角线等于b转置a10、方程组可以写成矩阵乘法11、A-n，A各行元素之和都为0，【1，1，1，1，1，。
概率论与数理统计金治明李永乐版课后答案
1. 第二章2. 设随机变量X 的分布律为：2(), 1,2,33xP X x c x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭求c 的值。
解：由分布律的性质：31()1x P X x ===∑，得312381327xx c c =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑ 所以有 2738c =3. 一口袋中装有m 个白球，n − m 个黑球，连续无放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，此时取出了X 个白球，求X 的分布律。
解：由题设知，随机变量X 的可能取值为：0,1,2,,m ，且事件()(0,1,2,,)X k k m ==表示一共取了k +1次球，前k 次取到的都是白球，第k +1次取到的是黑球。
所以有11(), 0,1,2,,.k m n mk nC C P X k k m C -+===4. 设一个试验只有两个结果：成功或失败，且每次试验成功的概率为 (01)p p <<，现进行重复试验，求下列X 的分布律。
（1） 将试验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数（几何分布）（2） 将试验进行到出现k 次成功为止，以X 表示获得k 次成功时的试验次数（巴斯卡分布） 解：（1）由题设知，随机变量X 的可能取值为：1,2,，且事件()(1,2,)X n n ==表示一共进行了n 次试验，且前n − 1次均是失败，而第n 次成功。
所以有1()(1), 1,2,.n P X n p p n -==-=（2） 由题设知，随机变量X 的可能取值为：,1,2,k k k ++，且事件()(,1,2,)X n n k k k ==++表示一共进行了n 次试验，且前n − 1次中成功了k − 1次，而第n 次也成功。
所以有11()(1), ,1,2,.k n kk n P X n C p p n k k k ---==-=++5. 求k 使得二项分布(;,)b k n p 达到最大值。
解：假设有0()max ()l nP X k P X l ≤≤===则有：()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=-⎧⎨=≥=+⎩ 11(1)11(1)(1)(1)(1)(1)k k n k k k n k n n k kn k k k n k n n C p p C p p C p p C p p ------++-+⎧-≥-⇒⎨-≥-⎩ (1)(1)(1)(1)()n k p k p k p n k p-+≥-⎧⇒⎨+-≥-⎩ (1)(1)1k n pk n p ≤+⎧⇒⎨≥+-⎩ 所以当(1)n p +为整数时，(1)1k n p =+-或(1)k n p =+时，()P X k =的值最大； 当(1)n p +不是整数时，[(1)]k n p =+（[]x 表示不超过x 的最大整数）时，()P X k =的值最大。
李永乐图书-2015复习全书数学二答疑整理截止9.29
7.23.19 cutthenoise 问题：数二全书 p177 例 15 评注部分红色笔所画部分为什么？
回答： 8.6.25
飞扬风飘 问题：老师，您好，2015 复习全书，数二，P14，例 4，第一步解答中 X 为什么可以提到积 分号外边，是看做一个常数吗？如果不提出来是不是没法求？另外，我想问一下无界一定无 穷大吗？谢谢老师。 回答：
7.30.12 冰糖小柠檬 问题：数学二复习全书第 46 页，定理 2.2.7 的【注】里 f"(x)=0 且 f"(x)>0 不理解 回答：
8.1.1 战鹰 3035032171 问题：老师，问一下复习全书数二 22 页中例 18 中迭代式怎么解释 回答：
8.1.24 哦吧萨拉嘿 问题：考研数学复习全书，数二，182 页，*式，怎么用微元法？详细说明一下这个式子 回答：
回答：
8.2.25 小青草的心愿 问题：李老师您好，我在学习数二 复习全书时有个疑问想想你请教。
画曲线的地方是我不明白的为什么会是 2 分之贝塔。以及那个极限值是正无穷大。
回答：
8.3.20 wangxiaoting1804578344 问题：李王全书 数学二，46 页，2.2.7 注：是 f 三阶导数（x>0),还是 f 二阶导数 还有李王全书二的分阶习题同步训练中 24 页 16 题的答案是否错误， （对 y 偏导好像不对吧） 有些题没解题过程，痛苦啊 回答 ：
8.4.7 毛线 mzj 问题： 李老师，请问数学 2 复习全书 P57 的例 3 的那个二阶导数是怎么求出来的？我求导出来一直 化简不出这个结果
回答：
7.23.1 赵杉 Coral 问题：2015 考研复习全书，数二，158 页，例题 63,解题思路中说 x,y 交换时函数值不变， 但方法一中为什么 x,y 交换积分值不变 回答：
《应用数理统计》吴翊李永乐第二章 参数估计课后习题参考答案
第二章 参数估计课后习题参考答案2.1 设总体X 服从二项分布()n X X X p p N B ,,,,11,,21 <<为其子样，求N 及p 的矩法估计。
解：()()()p Np X D Np X E -==1,令()⎪⎩⎪⎨⎧-==p Np S Np X 12解上述关于N 、p 的方程得：2.2 对容量为n 的子样，对密度函数22(),0(;)0,0x x f x x x ααααα⎧-⎪=⎨⎪≤≥⎩其中参数α的矩法估计。
解：122()()a E x xx dx ααα==-⎰22022()x x dx ααα=-⎰2321221333ααααααα=-=-= 所以 133a x α∧== 其中121,21(),,,n n x x x x x x x n=+++为n 个样本的观察值。
2.3 使用一测量仪器对同一值进行了12次独立测量，其结果为(单位：mm) 232.50，232.48，232.15，232.52，232.53，232.30 232.48，232.05，232.45，232.60，232.47，232.30 试用矩法估计测量的真值和方差(设仪器无系统差)。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-==X S p S X X p X N 2221ˆˆˆ解：()()()∑∑====-====ni i ni i S X X n X D X X n X E 12210255.014025.23212.4 设子样1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1是来自具有密度函数()10,1,<<=βββx f 的总体，试用矩法估计总体均值、总体方差及参数β。
解：()()()()4.22ˆ2,1,407.012.1101221========-===⎰⎰∑∑==X Xdx xdx x xf X E x f XX n S X n X ni i ni i ββββββββ参数：总体方差：总体均值：2.5 设n X X X ,,,21 为()1N ，μ的一个字样，求参数μ的MLE ；又若总体为()21N σ，的MLE 。
2013李永乐复习全书(数一)例题(无答案)(第九章)
2013李永乐复习全书（数一）例题（无答案）（第九章）1、计算⎰，其中，L 是圆周22+=4x y x （见图9.1）.2、计算积分()2+-ABL x dx y x dy ⎰，其中L ：（Ⅰ）是半径为a 的上半 圆周，起点(),0A a ，终点(),0B a -（见图9.2）；（Ⅱ）x 轴上由(),0A a 到(),0B a -的直线段.3、将(),Df x y dxdy ⎰⎰化为累次积分，其中D 为22+2x yax ≤与22+2x y ay ≤的公共部分()>0a .4、设D ()>0,>0a b 与x 轴，y 轴围成的区域，求=DI ydxdy ⎰⎰. 5、求I xdV Ω=⎰⎰⎰，Ω由三个坐标面及平面++2=2x y z 围成.6、计算2z dS ∑⎰⎰，其中∑是曲面z ()01z ≤≤.7、计算xyzdxdy ∑⎰⎰，其中∑是2220,0,++=1x y x y z ≥≥的外侧. 8、设()2221=,,+++++4x y z x y z x y z ⎧⎫Ω≤⎨⎬⎩⎭，求()++I x y z dxdydz Ω=⎰⎰⎰.9、在极坐标变换下将(),Df x y d σ⎰⎰化为累次积分，其中D 为22+2x y ax ≤与22+2x y ay ≤ 的公共部分()>0a . 10、求积分=DI ，其中D =y x 与4=y x 围成.11、利用柱坐标变换求三重积分：I zdxdydz Ω=⎰⎰⎰，Ω：22+x y z ≤，222++2x y z ≤. 12、将三重积分(),,f x y z dV Ω⎰⎰⎰在三种坐标系下化为累次积分，其中Ω是由2222222+++0x y z R x y z z ≤≤≥，，所围成的区域.13、利用球坐标变换求三重积分5I dV Ω=⎰⎰⎰，其中Ω是由222++2x y z z ≤.图9.1y 2R图9.2214、求=DI ，其中D为=y y x 及=0x 围成区域.15、求=x yDI edxdy ⎰⎰，其中D 是由抛物线2=y x ，直线=0,=1x y 所围成.16、求I xydV Ω=⎰⎰⎰，其中Ω由==0+=1z xy z x y ，，围成.17、求2I y dV Ω=⎰⎰⎰，其中Ω由222222++=1x y z a b c ()0y b ≤≤及=0y 围成.18、设D 是Oxy 平面上以()11A ，，()-1,1B 和()-1,-1C 为顶点的三角形区域，则()=+4=DI xy dxdy ⎤⎦⎰⎰ .19、设空间区域1Ω：2222++0x y z R z ≤≥， 及2Ω：2222++0,0,0x y z R x y z ≤≥≥≥，，则下列等式成立的是 （A ）12=4xdV xdV ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰； （B ）12=4ydV ydV ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（C ）12=4zdV zdV ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰； （D ）12=4xydV xydV ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰.20、求=LI x ds ⎰，其中L 为+=1x y .21、计算曲面积分()2=+++I ax by cz dS γ∑⎰⎰，其中∑是球面：2222++=x y z R .22、求=DI ，其中D ：1,02x y ≤≤≤.23、设D 由抛物线22=,=4y x y x 及直线=1y 围成.用先x 后y 的顺序，将()=,DI f x y dxdy ⎰⎰配置积分限化成累次积分. 24、求=DI xydxdy ⎰⎰，D 由曲线22+=2+2-1x y x y 所围成. 25、计算三重积分()222++I x y z dV Ω=⎰⎰⎰,其中(){}222222=,,++4,++4x y z x y zx y z z Ω≤≤.26、设L 为曲线2222++=++=0,x y z a x y z ⎧⎨⎩，，常数>0a ，则()=++=LI xy yz zx ds ⎰ . 27、求()12222=++axI dydz x y z ∑⎰⎰，其中∑为下半球z >0a .28、（Ⅰ）设S 为球面222++=9x y z ，取外侧，则=Szdxdy ⎰⎰ .（Ⅱ）设D 为平面区域：22+4x y ≤则=D.（Ⅲ）设Ω是球体：()()()2222---x a y b z c R ++≤，则()++=x y z d VΩ⎰⎰⎰ .29、求()()()222222=-+-+-SI x y dydz y z dzdx z x dxdy ⎰⎰，S 是上半椭圆面22222++z =1x y a b()0z ≥取上侧.30、计算曲面积分2cos x z dS γ∑⎰⎰，其中曲面积分∑是球面2222++=x y z a 的下部分，γ是∑ 向上的法向量与z 轴正向的夹角.31、设Ω为曲面22+=x y az与=2z a >0a . 32、求曲面()22+-1=1x y 介于xOy 平面与曲面()221=+2z x y 之间的部分的面积. 33、记l I 为物体对l 轴的转动惯量，l I 为对平行于l 轴并通过物体质心的轴l 的转动惯量，d 为两轴之间的距离，M 为物体的质量，证明：2=+l l I I Md .34、设一均匀物体有两曲面22+=x y az，=2z a ()>0a 所围成，求此物体质心.35、比较下列积分值的大小： （Ⅰ）()21=ln +DI x y dxdy ⎰⎰，()32=+DI x y dxdy ⎰⎰，()33=sin +DI x y dxdy ⎡⎤⎣⎦⎰⎰；其中D 由1=0,=0+=,+=12x y x y x y 围成，则123I I I ，，之间的大小顺序为 （A ）123<<I I I （B ）321<<I I I （C ）132<<I I I （D ）312<<I I I （Ⅱ）()22-+=,=1,2,3,ix y i D J edxdy i ⎰⎰其中(){}2221=,+D x y x y R ≤，(){}2222=,+2D x y x y R ≤，(){}3=,R D x y x y R ≤≤，.则123,,J J J 之间的大小顺序为（A ）123<<J J J （B ）231<<J J J （C ）132<<J J J （D ）321<<J J J . 36、设D 是有界闭区域，下列命题中错误．．的是的是 （A ）若(),f x y 在D 连续，对D 的任何子区域0D 均有(),=0Df x y d σ⎰⎰，则()()(),0,f x y x y D ≡∀∈.（B ）若(),f x y 在D 可积，(),0f x y ≥但不等于0，则()(),x y D ∈，则(),>0Df x y d σ⎰⎰.（C ） 若(),f x y 在D 连续，()2,=0Df x y d σ⎰⎰，则()()(),0 ,f x y x y D ≡∈.（D ）若(),f x y 在D 连续，(),>0f x y ()(),x y D ∈，则(),>0Df x y d σ⎰⎰.37、设(),,f x y z 在(){}2222=,,++R x y z x y zR Ω≤连续，又()0,0,00f ≠，则0R →时，(),,Rf x y z dV Ω⎰⎰⎰是R 的 阶无穷小.38、求()2=++I x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω：22+1x y ≤，1z ≤.39、设S 与0S 分别为球面()()()2222---x a y b z c R ++≤，又(),,f x y z 在S 上连续，求证：()()0,,=,,SS f x y z dS f x a y b z c dS +++⎰⎰⎰⎰.40、求()222++SI xy z dS =⎰⎰，其中（Ⅰ）S ：222++=2x y z Rx ； （Ⅱ）S ：()()()2222---=x a y b z c R ++41、设L 为平面上分段光滑的定向曲线，()(),,,P x y Q x y 连续. （Ⅰ）L 关于y 轴对称，则10,=2,L L P x Pdx Pdx P x ⎧⎪⎨⎪⎩⎰⎰若关于为奇函数，若关于为偶函数，10,=2,L L Q x Qdy Qdy Q x ⎧⎪⎨⎪⎩⎰⎰若关于为偶函数，若关于为奇函数，其中1L 是L 在右半平面部分. （Ⅱ）L 关于x 轴对称，则10,=2,L L P y Pdx Pdx P y ⎧⎪⎨⎪⎩⎰⎰若关于为偶函数，若关于为奇函数，10,=2,L L Q y Qdy Qdy Q y ⎧⎪⎨⎪⎩⎰⎰若关于为奇函数，若关于为偶函数，其中1L 是L 在上半平面部分.42、设L 为+=1x y ，取逆时针方向，则曲线积分2+=++Ldx dyx y x ⎰.43、设分块光滑定向曲面S 关于xy 平面对称，S 在xy 平面上方部分记为1S （方程为()()=,,,xy z z x y x y D ∈）下方部分记为2S ，又设(),,R x y z 在S 连续，求证：()()10,,,=2,,,S S R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ⎧⎪⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰若关于为偶函数，若关于为奇函数， 44、计算()22+Lxy ds ⎰ ,其中L 为222++=1x y z 与++=1x y z 的交线.45、交换累次积分的积分顺序：()()1401-2=,+,x I dxf x y dy dx f x y dy ⎰⎰.46、将极坐标变换后的二重积分()cos ,sin D f r r rdrd θθθ'⎰⎰的如下累次积分交换积分顺序：()2c o s20-4=,a I d F r dr πθπθθ⎰⎰，其中()(),=cos ,sin F r f r r r θθθ.47、计算累次积分：1+12+13312++x x xxI dx ydy dx ydy dx ydy =⎰⎰⎰⎰⎰⎰.48、交换累次积分的积分顺序：()11-00=,,xx yI dxdy f x y z dz +⎰⎰⎰，改换成先x 最后y 的顺序.49、求111=x yI dx dy⎰⎰⎰.50、将极坐标系中的累次积分转换成直角坐标系中的累次积分或相反： （Ⅰ）()sin 02cos ,sin d f r r rdr πθπθθθ⎰⎰写成直角坐标系下先对y 后x 对积分的累次积分；（Ⅱ）计算2222----000+y R y x y x e dy e dx e dy dx ⎰51、计算)>0Da ，其中D 是由圆心在点(),a a 、半径为a 且与坐标轴相切的圆周的 较短一段弧和坐标轴所围成的区域. 52、计算二重积分+-2Dx y dxdy ⎰⎰，其中D ：02,-22x y ≤≤≤≤.53、计算下列二重积分： （Ⅰ）Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由曲线=sin 202r πθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭围成的区域； （Ⅱ）Dxyd σ⎰⎰，其中D是由曲线()22+-1=1y x y 与y 轴围成的在右上方的部分. 54、求下列二重积分： （Ⅰ）()3/222=1++DdxdyI x y ⎰⎰，其中D 为正方形域：0101x y ≤≤≤≤，； （Ⅱ）=3+4DI x ydxdy ⎰⎰，其中D ：22+1x y ≤；（Ⅲ）=DI ydxdy ⎰⎰，其中D 由直线=-1,=0,=2x y y 及曲线x . 55、求下列三重积分： （Ⅰ）23=I xy z dV Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面=,=,=0,=1z xy y x z x 所围成；（Ⅱ）sin =y xI dV xΩ⎰⎰⎰,其中Ω由=0,=0,+=2y y z x z π围成；（Ⅲ）()4=1+I x dV Ω⎰⎰⎰,其中Ω由曲面222=+,=1,=2x y z x x 围成.56、求下列三重积分： （Ⅰ）()22=+I x y dV Ω⎰⎰⎰，其中Ω由()()2222=16+,=4+,=16z x y z x y z 围成;（Ⅱ）5=I dV Ω⎰⎰⎰，其中Ω由222++2x y zz ≤所确定；（Ⅲ）=I xyzdV Ω⎰⎰⎰，其中Ω：222++1x y z ≤位于第一卦限的部分. 57、求下列三重积分： （Ⅰ）=I Ω⎰⎰⎰，其中Ω是球体()2222++>x y z R h R ≤;（Ⅱ）()2+=x y I ze dV Ω⎰⎰⎰，其中Ω：1+2,0,0,03x y x y z ≤≤≥≥≤≤；（Ⅲ）()333=++I x y z dV Ω⎰⎰⎰，其中Ω是半球面()222++=21x y z z z ≥与锥面z .58、求下列曲线积分： （Ⅰ）=LI xy ds ⎰，其中L ：2222+=1x y a b()>>0a b ；（Ⅱ）2=L I y ds ⎰,其中平面曲线L 为旋轮线()()-sin 1-cos x a t t y a t =⎧⎪⎨=⎪⎩，()02t π≤≤的一拱；（Ⅲ）()=+LI x y ds ⎰，其中L 为双纽线22=cos 2r a θ（极坐标方程）的右面一瓣. 59、求曲线积分()()=++3++CI x y dx x y dy zdz ⎰，其中C 为闭曲线2=sin x a t ,=2cos sin y a t t 2=c o s z a t ()0t π≤≤,C 的方向安t 从0到π的方向. 60、求下列曲面积分： （Ⅰ）=I ydS ∑⎰⎰，其中∑是平面++=1x y z 被圆柱面22+=1x y 截出的有限部分；（Ⅱ）=I zdS ∑⎰⎰，其中∑是锥面z 22+2x y x ≤内的部分.61、求下列曲面积分： （Ⅰ）2=++I xyzdxdy xzdydz z dzdx ∑⎰⎰，其中∑是222+=x y a 在0x ≥的一半被=0y 和 =y h ()>0h 所截下部分的外侧;（Ⅱ）=SI xydzdx ⎰⎰，其中S 是由曲线()2=0y x e y a ≤≤绕x 轴旋转成的旋转面，取外侧. 62、求区域Ω的体积V ，其中Ω：由=z xy ，222+=x y a ，=0z 围成.63、求区域Ω的体积V ，其中Ω是班球面z 22+=2x y az 所围成.64、求区域Ω的体积，其中Ω是由曲面()2=0z y y ≥,()2=40z y y ≥,=.=2,=4z x z x z 所围成. 65、求下列曲面的面积：（Ⅰ）半球面z 222=+az x y 所围立体的表面S ；（Ⅱ）锥面z 2=2z x 所割下部分的曲面S .66、求八分之一球面2222++=x y z R ,0,0,0x y z ≥≥≥的边界曲线的质心，设曲线线密度=1ρ. 67、求密度为1的均匀圆柱体222+x y a ≤,z h ≤对直线L ：==x y z 的转动惯量. 68、平面上质点(),M x y 在力F 的作用下沿椭圆Γ：2222+=1x y a b()>>0a b 运动，力F 指向点(),0Cc (c ，F 的大小与点,M C 之间的距离r 的平方成反比，比例系数0k >为常数，分别求下列情形力F 所做的功（如图9.69）.69、设流速()()22=++-1v x y j z k，求下列情形流体穿过曲面∑的体积流量Q （如图9.71）： （Ⅰ）∑为圆锥面()222+=01x y zz ≤≤，取下侧；（Ⅱ）∑为圆锥体()222+01z x y z ≥≤≤，的底面，法向量朝上. 70、设()f u 连续，()0=1f ，区域Ωz ≤>0t ，又设()()222=++F t f x y z dV Ω⎰⎰⎰，求()+30limt F t t →. 71、求()2+22-lim++LR xdy ydxx xy y →∞⎰，其中L ：222+=x y R 的正方向.),bz72、（Ⅰ）记()(){}222=,+R x y x yRΩ≤，求()()22-++lim x y R Re dxdy →∞Ω⎰⎰；（Ⅱ）证明2+--x e dx ∞∞⎰。
第七章 第八章习题解答(李永乐)
习 题 六1.设有总体X 的10个独立观察值19.1，20.0，21.2，18.8，19.6，20.5，22.0，21.6，19.4，20.3 求样本均值X ，样本方差2S 和样本二阶中心矩2n S .2.设12,,X X …,n X 是来自于(0,)U θ的样本,求()()1n X X 与的分布函数和密度函数.3.从总体(12,4)N 中抽取容量为5的样本125,,,X X X .求:(1)样本均值大于13的概率; (2)样本极小值小于10的概率; (3)样本极大值大于15的概率.4.从总体()2240,20N 中独立地进行两次抽样,容量分别为36和49,那么这两个样本均值之差的绝对值不超过10的概率是多少?5.设某电子元件的寿命(时数)服从参数为0.0015λ=的指数分布,即有密度()()0.00150.00150x f x e x -=>.今测试6个元件,并记录下它们各自失效的时间(单位:小时).试问:(1)至800小时时没有一个元件失效的概率是多少? (2)至3000小时时所有元件都失效的概率是多少?6.设总体服从N(20,3),问应取样本容量n 为多大,才能以0.95的概率保证样本均值与总体均值之差的绝对值不超过0.3?7.设1,2,10,X X X 为2(0,0.3)N 的样本,求C 使10210.95i i P X C =⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭∑.8.已知()()2,1,Tt n T F n 则.9.设12,,,n X X X 是来自正态总体()2,N μσ的样本,___2X S与分别为样本均值和样本方差;又设1n X +与12,,,n X X X 独立同分布,试求统计量212()1n X X n n S +-+和的分布.10.设12,X X 是来自()20,N σ的样本.(1)求()()212212X X X X -+的分布; (2)求常数k ,使()()()2122212120.10X X P k X X X X ⎧⎫+⎪⎪>=⎨⎬++-⎪⎪⎩⎭11.设125,,,X X X 是来自总体()20,N σ的样本.求常数C,使统计量C X X +t -分布.12.设12,,,n X X X 是来自指数分布,0()0,x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩ (λ>0)的样本,证明()___222n Xn λχ.13.设从正态总体2(,)N μσ中抽取一容量为16的样本，这里2,μσ未知.2S 为样本方差.求:(1)22 2.0385;S P σ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭(2)2().D S14.设总体12~(1,),,,,n X b p X X X 是来自X 的样本.(1)求21nii X=∑的分布律；(2)求2(),(),.E X D X ES15．设12(,,,)n X X X 是来自总体X 的样本.记221111,()n n n i n i n i i X X S X X n n ====-∑∑现添加一次试验,得样本121(,,,,)n n X X X X +.再记11221111111,()11n n n i n i n i i X X S X X n n +++++====-++∑∑ 则有下列递推公式:111(),1n n n n X X X X n ++=+-+ 222111[()].11n n n nn S S X X n n ++=+-++ 16.设总体X 的容量为50的样本频数分布为求X 的经验分布函数.17.设总体X 的容量为100的样本观察值如下:15 20 15 20 25 25 30 15 30 25 15 30 25 35 30 35 20 35 30 25 20 30 20 25 35 30 25 20 30 25 35 25 15 25 35 25 25 30 35 25 35 20 30 30 15 30 40 30 40 15 25 40 20 25 20 15 20 25 25 40 25 25 40 35 25 30 20 35 20 15 35 25 25 30 25 30 25 30 43 25 43 22 20 23 20 25 15 25 20 25 30 43 35 45 30 45 30 4545 35作总体X 的直方图.1.使用一测量仪器对同一值进行了12次独立测量,其结果为(单位:mm)232.50 232.48 232.15 232.52 232.53 232.30 232.48 232.05 232.45 232.60 232.47 232.30用矩估计法估计测量的真值和方差(设仪器无系统误差). 解 设μ为待测量的真值,则测量值i X 与μ有以下关系式2,0,(),1,2,,12i i i i X E D i μεεεσ=+===故μ和2σ的矩估计值为1222211232.4025,()0.0255512ni i X S X X μσ=====-=∑ 2.设总体X 服从正态(,1)N μ,今观察了20次 ,只记录是否为负值,若事件{}0X ≤出现了14次,试按频率估计概率的原理,求μ的估计值.解 令{}{}140()20P X P X μμμ=≤=-≤-=Φ- 查正态分布表得0.525μ=-．3.设总体X 具有密度函数22(),0(:)0,x x f x θθθθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它 12,,,n X X X 是其样本,求θ的矩估计.解 122()2(1)3EX xx dx t t dt θθθθθ=-=-=⎰⎰，由矩法令3X θ=，解得3X θ=．4.设12~(,),01,,,,n X b N p p X X X <<为其样本.求N 和p 的矩估计.解 因 ,()(1)EX Np D X Np p ==-，由例7-1，令2,(1)n X Np S Np p ==-解得21,n S Xp N X p=-=．5.设总体X 的密度函数(或分布律)为12(;),,,,n f x X X X θ为其样本,求下列情况下θ的极大似然估计.,0,1,2(1)(;)!0,x e x f x x θθθ-⎧=⎪=⎨⎪⎩其它 (0)θ>1,01(2)(;)0,x x f x θθθ-⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它 (0)θ>1,0(3)(;)0,x x e x f x ααθθαθ--⎧>⎪=⎨⎪⎩其它 ()α已知 1,0()(4)(;)0,r r xx e x r f x θθθ--⎧>⎪Γ=⎨⎪⎩其它 ()r 已知1,0(5)(;)0,0x e x f x x θθθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0)θ>解 (1)似然函数为1111()!!!niii X X nXnn n nni iiii i L e ee X X X θθθθθθθ=---===∑===∏∏∏似然方程为ln ()0L nX n θθθ∂=-=∂ 解得X θ=．(2)似然函数为1111()()nnnii i i L XX θθθθθ--====∏∏似然方程为1ln ()ln 0ni i L n X θθθ=∂=+=∂∑ 解得111(ln )n i i X n θ-==-∑．(3)似然函数为11111()()ni ii nnX X n n ii i i L X eX eααθθααθθααθ=----==∑==∏∏似然方程为1ln ()0n i i L n X αθθθ=∂=-=∂∑ 解得111()n i i X n αθ-==∑．(4)似然函数为1111()()()(())i rnrnnX r r nX ii ni i L Xe X e r r θθθθθ----====ΓΓ∏∏似然方程为 ln ()0L nrnX θθθ∂=-=∂ 解得r Xθ=． (5)似然函数为1111()iX nnXni L eeθθθθθ--===∏似然方程为2ln ()0L n nXθθθθ∂=-+=∂解得X θ=．6.设总体X 的密度为(;)(1),01f x x x βββ=+<<其中1β>-未知，12,,,n X X X 为其样本,求β的矩估计和极大似然估计.今得样本观察值0.30,0.80,0.27,0.35,0.62,0.55,求β的矩估计值和极大似然估计值.解 101(1)2EX x x dx ββββ+=+=+⎰，由矩法令12X ββ+=+，解得矩估计121M Xβ=--，矩估计值为0.07M β=-． 似然函数为 11()(1)(1)()nnnii i i L XX βββββ===+=+∏∏似然方程为1ln ()ln 01ni i L nX βββ=∂=+=∂+∑ 解得极大似然估计1111ln n L i i X n β-=⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦∑，极大似然估计值0.234L β=．7.设12,,,n X X X 为抽自[,2]U θθ的样本,求θ的矩估计和极大似然估计.解 32EX θ=，由矩法令32X θ=，解得23M X θ=．似然函数为12(1)()1(),,,,21,2n nn nL X X X X X θθθθθθθ=≤≤=≤≤≤故(1)X 和()12n X 都有可能是θ的极大似然估计，一般取(1)()1min ,2L n X X θ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭．8.设总体X 具有分布律X 12 3k p 2θ 2(1)θθ- 2(1)θ-其中01θ<<未知.已取得了样本值1231,2,1x x x ===.求θ的极大似然估计值.解 似然函数为225()2(1)2(1)L θθθθθθθ=-=-•• 似然方程为 ln ()5101L θθθθ∂=-=∂- 解得56θ=． 9.设总体X 具有密度函数1(;),2xf x e x σσσ-=-∞<<∞其中0σ>未知,12,,,n X X X 为其样本.求σ的极大似然估计.解 似然函数为11111()22nX i i i nX n n i L e e σσσσσ=--=∑==∏似然方程为21ln ()10nii L n Xσσσσ=∂=-+=∂∑解得11ni i X n σ==∑．10.设总体X 有密度函数(),(;)0,x e x f x x θθθθ--⎧>=⎨≤⎩其中θ-∞<<∞未知,12,,,n X X X 为其样本.求θ的矩估计和极大似然估计.解 1EX θ=+，令1X θ=+，解得矩估计1M X θ=-．似然函数为(1)()()(1)1()(1)(),,i nX n X i n X X L e e X eX θθθθθ----=--==>≤>∏故θ的极大似然估计为(1)L X θ=．11.设总体212~(,),,,,n X N X X X μσ为其样本.(1) 求k ,使122111()n i i i X X k σ-+==-∑为2σ的无偏估计;(2) 求k ,使11ni i X X k σ==-∑为σ的无偏估计.解 (1) 21(0,2)i iX X N σ+-，2211()()2i i i i E X X D X X σ++-=-=122221111()2(1)n i i i E E X X n k kσσσ-+==-=-∑故2(1)k n =-．(2) 2111(1)(0,)i i jj in X X X X N n n nσ≠--=--∑ 2212i n E X X x dx n σ∞-∞-⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭⎰220122n x dx n σ∞-⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭⎰111n i i EE X X k k σσ==-===∑所以k =12.设θ是参数θ的无偏估计,且有()0,D θ>证明2θ不是2θ的无偏估计. 解 2222()[]()E D E D θθθθθθ=+=+>.13.设从均值为μ,方差为20σ>的总体中,分别抽取容量为12,n n 的两个独立样本.1X 和2X 分别是两样本的均值.试证,对于任意,(1),a b a b +=12Y aX bX =+都是μ的无偏估计,并确定常数,a b 使()D Y 达到最小.解 1212()()EY E aX bX aEX bEX a b a b μμμμ=+=+=+=+=2222222121212()()()a b D Y D aX bX a b n n n n σσσ=+=+=+即在条件1a b +=下,求2212a b n n +的最小值.令2212(1)()a a L a n n -=+，求导得12()22(1)0dL a a a da n n -=-解得112n a n n =+，212n b n n =+．14.设分别自总体21(,)N μσ和22(,)N μσ中抽取容量为12,n n 的两个独立样本.其样本方差分别2212,S S .试证,对于任何常数2212,(1),a b a b Z aS bS +==+都是2σ的无偏估计,并确定常数,a b 求求()D Z 达到最小.解 22222212()EZ aES bES a b a b σσσσ=+=+=+=.利用222(1)(1),1,2i i i n S n i χσ--=得422(),1,21ii D S i n σ==-，所以22222241212()()()2()11a b D Z a D S b D S n n σ=+=+--即在1a b +=下，求221211a b n n +--的最小值,求得11212n a n n -=+-，21212n b n n -=+-.15.设总体X 的密度函数为111,(;)220,x f x θθθ⎧-≤≤+⎪=⎨⎪⎩其它θ-∞<<∞,12,,,n X X X 为其样本.(1)求参数θ的极大似然估计; (2)证明X 及()(1)()12n X X +都是θ的无偏估计量,问哪个较有效? 解 (1) 似然函数为1211()1,,,,22n L X X X θθθ=-≤≤+ (1)()11()1,22n L X X θθθ=-≤≤≤+即满足条件()(1)1122n X X θ-≤≤+的任何θ都能使()1L θ=而达到最大值，从而θ的极大似然估计是整个区间()(1)11[,]22n X X -+，一般取(1)()1()2n X X θ=+．(2) EX EX θ==，211111()()()122212D X D X n n nθθ==+-+=． (1)X 的密度为11111(),(;)2220,n n x x f x θθθθ-⎧-+-≤≤+⎪=⎨⎪⎩其它()n X 的密度为1111(),(;)2220,n n n x x f x θθθθ-⎧-+-≤≤+⎪=⎨⎪⎩其它(1)()(,)n X X 的密度为2111(1)(),(,)220,n n n n y x x y f x y θθ-⎧---≤≤≤+⎪=⎨⎪⎩其它(1)()11,1212n n n EX EX n n θθ=-++=+-++2222(1)()121121()(),()()22122212n n n n n EX EX n n n n θθθθ=++-+=+-+-++++ 22(1)(1)(1)2()[](2)(1)nD X EX EX n n =-=++ 22()()()2()[](2)(1)n n n nD X EX EX n n =-=++12211(1)()22111()(1)()()()222yn n E X X xyn n y x dxdy n θθθθθ+---=--=+-++⎰⎰(1)()211()()(1)22n n EX EX n θθ=+-++(1)()(1)()(1)()2211(,)()2(1)(1)(2)n n n n Cov X X E X X EX EX n n n n =-=-=++++所以(1)()1()2n E E X X θθ=+= (1)()(1)()(1)()11()()[()()2(,)]44n n n D D X X D X D X Cov X X θ=+=++22212[]4(1)(2)(1)(2)(1)(2)12(1)(2)n n n n n n n n n n =++++++++=++当 1n >时，112(1)(2)12n n n <++，故()(1)()12n X X +较X 有效．16.设总体X 的密度函数为1,0(0)(;)0,x f x θθθθ⎧<<>⎪=⎨⎪⎩其它123,,X X X 为其样本,试证(3)43X 及(1)4X 都是参数θ的无偏估计,问哪个较有效? 解 考虑一般情形，设12,,,n X X X 为样本，比较()1n n X n+和(1)(1)n X +．(1)X 的密度为11(),0(;)0,n n n x x f x θθθθ-⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它 ()n X 的密度为1,0(;)0,n n n nx x f x θθθ-⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它由此算得(1)()1,11n n EX EX n n θθ==++ 所以(1)()1((1)),()n n E n X E X nθθ++== 又有2222(1)()2,(1)(2)2n nEX EX n n n θθ==+++22222(1)(1)(1)(1)((1))(1)()(1)[()]2n D n X n D X n EX EX n θ+=+=+-=+ 22222()()()()221(1)(1)1()()[()](2)n n n n n n n D X D X EX EX n n n n n θ+++==-=+ 故()1n n X n +较(1)(1)n X +有效，实际上()1n n X n+是θ的最小方差无偏估计．17.设总体X 服从指数分布,其密密函数为,0(;)0,0x e x f x x λλλ-⎧≥=⎨<⎩(0)λ> 12,,,n X X X 为其样本(2)n ≥.(1) 求λ的极大似然估计λ；(2) 求k ,使k λλ*=为λ的无偏估计；(3) 求1θλ=的置信水平为1α-的双侧置信区间.解 (1) 似然函数为 1()inX n nX i L e e λλλλλ--===∏似然方程为 ln ()0L nnX λλλ∂=-=∂ 解得1Xλ=． (2) 22(2)Y nX n λχ=1201(1)1210111()2()2(1)112()2(1)2(1)yn n y n n n n E y e dy Yy n n ye dy n n n ∞---∞----=ΓΓ-==ΓΓ--⎰⎰1112()2()21n E kE kEk n E nk E k X n X Y n λλλλλλλ======-*由此得1n k n -=． (3) 因22(2)nXn χθ，由222212{(2)(2)}1nXP n n ααχχαθ-<<=-得的置信水平为1α-的双侧置信区间为2222122(,)(2)(2)nX nXααχαχα-．18.随机地从一批零件中抽取16个,测得长度(单位:cm)为2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 设零件长度的分布为正态,试求总体均值μ的90%的置信区间:(1)若0.01σ=；(2)若σ未知.解 设X 为零件长度，则2(,)XN μσ．(1) 当0.01σ=已知时，μ的90%的置信区间为2211(,)(2.125 1.65,2.125 1.65)(2.121,2.129)X X αα--+== (2) 当σ未知时，μ的90%的置信区间为2211((15),(15))(2.125 1.7531,2.125 1.753(2.1175,2.1325)X X αα---+=+=19.对方差2σ已知的正态总体来说,问需抽取容量n 为多大的样本,才能使总体均值μ的置信水平为100(1)%α-的置信区间的长度不大于2δ?解 均值μ的置信水平为100(1)%α-的置信区间为2211(,)X X αα---要其长度212L αδ-=≤，得 22221n u ασδ-≥． 由此得20.在一批铜丝中,随机抽取9根,测得其抗拉强度为:578 582 574 568 596 572 570 584 578 设抗拉强度服从正态分布,求2σ的置信水平为0.95的置信区间.解 设X 为抗拉强度，则2(,)XN μσ,2σ的置信水平为0.95的置信区间是2222221(1)(1)874874,,(33.76,271.56)(1)(1)17.535 2.18n S n S n n ααχχ-⎛⎫--⨯⨯⎛⎫⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭21.随机地取某种炮弹9发做试验,得炮口速度的样本标准11(/)s m s =,设炮口速度服从正态分布.求这种炮弹炮口速度之标准差σ的0.95置信区间.解 设X 炮弹炮口速度,则2(,)XN μσ,标准差σ的0.95置信区间为(7.4,21.1)⎫⎪==⎪⎭. 22.随机地从A 批导线中抽取4根,并从B 批导线中抽取5根测得其电阻Ω为设测试数据分别服从正态分布21(,)N μσ和22(,)N μσ,且它们相互独立,又2σ未知,试求12μμ-的0.95置信区间.解 12μμ-的0.95置信区间为22121211()(2)()(2)X Y t n n S X Y t n n S αα--⎛--+--++- ⎝经计算得2626121234,5,0.14125,8.2510,0.1392, 5.2102.5510w n n X S Y S S ---====⨯==⨯==⨯查表得 2120.9751(2)(7) 2.3646t n n t α-+-==，最后算得区间是(0.002,0.006)-.23.设两位化验员,A B 独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作10次测定,其测定值的样本方差依次为220.5419,0.6065A B S S ==.设22,A B σσ分别为A 、B所测定的测定值总体的方差,且总体均为正态分布.求方差比22A B σσ的置信水平为0.95的置信区间.解 方差比22A B σσ的置信水平为0.95的置信区间为2222221212111,(1,1)(1,1)A AB B S S S F n n S F n n αα-⎛⎫ ⎪ ⎪----⎝⎭·· 0.541910.5419, 4.03(0.222,3.601)0.6065 4.030.6065⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭.A 批导线 0.143 0.142 0.143 0.137B 批导线0.140 0.142 0.136 0.138 0.14024.从一大批货物中随机抽100件进行检查,发现次品16件,求这批货物次品率p 的0.95置信区间.解 将 20.97510.16, 1.96,100X u u n α-==== 代入下式得222112110.10092u n p X u n u n αα--⎛ =+-= +⎝222122110.24422u n p X u n u nαα--⎛=++= +⎝所求区间为12(,)(1009,0.2442)p p =.25.在某一地区中,随机对100名成年居民作民意测验,有80%的居民支持粮食调价,求在该地区的所有居民中,支持粮食调价的0.95与0.99的置信区间.解 令1,0,i X ⎧=⎨⎩第i 个居民支持提价第i 个居民不支持提价1,2,,100i =．20.97510.80, 1.96,100X u u n α-====.222221112111()(1)0.80.20.16n n n ni i i i i i S X X X X X X n n n X X X X ====-=-=-=-=-=⨯=∑∑∑所求的0.95置信区间为0.9750.975,(0.7216,0.8784)X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 0.99置信区间为0.9950.995,(0.6968,0.9032)X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 也可用24题的方法来求，但结果会有点差异．26.从一批某种型号的电子管中抽出10只,计算得样本平均寿命1200X =小时,标准差45S =小时.求这批电子管的期望寿命的单侧置信下限以及标准差的单测置信上限,置信水平为0.95(设电子管寿命服从正态分布)．解 设X 为电子管的使用寿命, 则2(,)X N μσ.μ的置信水平为0.95单侧置信区间为1(1),X n α-⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭其中单侧置信下限为0.95(9)1200 1.83311173.9X ==；标准差σ的置信水平为0.95单侧置信区间为0,⎛⎝74.04==．习题八1.某电器元件平均电阻值一直保持2.64Ω,今测得采用新工艺生产36个元件的平均阻值为2.61Ω,假定在正常条件下,电阻值服从正态分布,而且新工艺不改变电阻的标准差.已知改变工艺前的标准偏差为0.06Ω,问新工艺对产品的电阻值是否有显著性影响(0.01)α=?解 设X 为新工艺生产的电器元件的电阻值，则20(,)X N μσ,00.06σ=.要检验的假设为0: 2.64H μ= vs 1: 2.64H μ≠检验统计量为X U =，拒绝域为21U u α-≥．经计算得3U ===因0.9953 2.58U u =≥=，故拒绝0H ，即新工艺对产品的电阻值有显著影响．2.一种元件,要求其使用寿命不得低于1000(小时).现在从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950(小时).已知该种元件寿命服从标准差100σ=(小时)的正态分布,试在显著性水平0.05下确定这批元件是否合格.解 设X 为元件的使用寿命，则2(,)XN μσ,100σ=．要检验的假设为01000H μ≥： vs 11000H μ<：检验统计量为X U =，拒绝域为1U u α-≤-．经计算得2.5X U ===-因0.952.5 1.65U u =-<-=-，拒绝0H ，在显著性水平0.05下这批元件不合格．3.某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态2(,)N μσ,其中40σ=(kg/cm 2),现在一批这种钢索的容量为9的一个样本测得断裂强度平均值为X ,与以往正常生产的μ相比,X 较μ大20(kg/cm 2).设总体方差不变,问在0.01α=能否认为这批钢索质量显著提高?解 设X 为钢索的断裂强度，且2(,)XN νσ,40σ=.要检验0H νμ≤： vs 1H νμ>：检验统计量为X U=，拒绝域为1U u α-≥．经计算得1.5X U ===因0.991.5 2.33U u =<=，不拒绝0H ,这批钢索质量没有显著提高.4.正常人的脉搏平均为62次/分,今对某种疾病患者10人,测其脉搏为54 68 65 77 70 64 69 72 62 71 (次/分).设患者的脉搏次数X 服从正态分布,试在显著性水平0.05α=下,检验患者的脉搏与正常人的脉搏有无差异?解 脉搏次数2(,)XN μσ,2σ未知．要检验的假设为062H μ=： vs 162H μ≠： 检验统计量为X T=，拒绝域为21(1)T t n α-≥-．经计算得210,67.2,40.18n X S ===， 2.59T ===因0.9752.59 2.2622(9)T t =>=，拒绝0H ,患者的脉搏与正常人的脉搏差异显著．5.测定某种溶液中的水分,它的10个测定值给出0.452%X =,0.035%S =.设总体为正态分布2(,)N μσ,试在显著性水平0.05α=下检验假设:(1) 00.5%H μ≥： vs 1:5%H μ< (2) 0:0.04%H σ≥ vs 1:0.04%H σ<解 (1)检验统计量为X T =，拒绝域为1(1)T t n α-≤--．经计算得4.334X T ===-因0.954.334 1.8331(9)T t =-<-=-，拒绝0H ．(2)检验统计量为222(1)n S χσ-=，拒绝域为22(9)αχχ≤．经计算得22222(1)9(0.00035) 6.89(0.0004)n S χσ-⨯=== 因220.056.89 3.325(9)χχ=>=，故接受0H ．6.使用A (电学法)与B (混合法)两种方法来研究冰的潜热,样品都是－0.72℃的冰块,下列数据是每克冰从－0.72℃变成－0℃水的过种中的吸热量(卡/克):方法A :79.98, 80.04, 80.02, 80.03, 80.03, 80.04, 80.04 79.97, 80.05, 80.03, 80.02, 80.00, 80.02方法B :80.02, 79.94, 79.97, 79.98, 79.97, 80.03, 79.95, 79.97 假定用每种方法测得的数据都服从正态分布,且它们的方差相等.检验0H ：两种方法的总体均值相等(0.05)α=.解 设方法A 的测定值为X ,方法B 的测定值为Y ,则21(,)XN μσ，22(,)YN μσ．要检验012:H μμ= vs 112:H μμ≠检验统计量为X YT =，拒绝域为 2121(2)T t n n α-≥+-．经计算得2424121213,8,80.02, 5.74510,79.98,9.8410n n X S Y S --====⨯==⨯0.0269w S ==3.309T ===因 0.9753.309 2.0930(19)T t =≥=，拒绝0H ，两种方法的总体均值有显著差异．7.今有两台机床加工同一种零件,分别取6个及9个零件测其口径,得到数据：126,,,X X X 及29,,,Y Y Y ,计算得66211204.6,6978.93iii i XX====∑∑99211370.8,15280.173i ii i Y Y====∑∑假定零件口径服从正态分布,给定0.05α=,问是否可以认为这两台机床加工零件方差无显著性差异?解 设机床A 加工的零件口径为X ，机床B 加工的零件口径为Y ，则211(,)XN μσ，222(,)Y N μσ．要检验22012:H σσ= vs 22112:H σσ≠检验统计量为2122S F S =，拒绝域为2121(1,1)F F n n α-≥--或212(1,1)F F n n α≤--． 经计算得1222222111111222222222216,(1)6978.936(34.1) 2.07,0.4149,(1)15280.1739(41.2) 3.213,0.402n i i n i i n n S X n X S n n S Y n Y S ===-=-=-⨯===-=-=-⨯==∑∑21220.414 1.0300.402S F S ===因 0.0250.9750.97511(5,8) 1.030 4.82(5,8)(8,5) 6.76F F F F ==<=<=，接受0H ，可以认为这两台机床加工零件方差无显著性差异．8.为校正试用的普通天平,把在该天平上称为100克的10个试样在计量标准天平上进行称量,得如下结果:99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5, 99.2假设在天平上称量的结果服从正态,问普通天平称量结果与标准天平称量结果有无显著差异(0.05)α=?解 设X 为标准天平称量结果，则2(,)XN μσ．要检验0:100H μ= vs 1:100H μ≠检验统计量为X T =，拒绝域为21(1)T t n α-≥-．经计算得10,99.9, 1.169,0.271n X S T ======因 0.9750.271 2.2622(9)T t =<=，接受0H ，普通天平称量结果与标准天平称量结果无显著差异．9.加工某一机器零件,根据其精度要求,标准差不得超过0.9,现从该产品中抽取19个样本,得样本标准差 1.2S =,当0.05α=时,可否认为标准差变大?(假定零件尽寸服从正态分布).解 设X 为零件尽寸, 则2(,)XN μσ．要检验220:(0.9)H σ≤ vs 221:(0.9)H σ> 检验统计量为2220(1)n S χσ-=，拒绝域为221(1)n αχχ-≥-．经计算得22222(1)18(1.2)32(0.9)n S χσ-⨯=== 因 220.953228.869(18)χχ=>=，拒绝0H ，认为标准差变大．10.某种罐头在正常情况下,按规格平均净重379g,标准差为11g,现在抽查10盒,测得重量为(单位:g)370.74 372.80 386.43 398.14 369.21 381.67 367.90 371.93 386.22 393.08试根据抽样结果,说明平均净重和标准差是否符合规格要求.假定罐头重量服从正态分布.(提示:检验00:379,:11,0.05H H μσα=≤=).解 设X 为罐头净重，则2(,)XN μσ．要检验01:379H μ= vs 11:379H μ≠ 和 02:11H σ≤ vs 12:11H σ> 对于01H ,检验统计量为X T =，拒绝域为21(1)T t n α-≥-．对于02H ,检验统计量为2220(1)n S χσ-=，拒绝域为221(1)n αχχ-≥-．经计算得222220379.812,10.792,0.238(1)9(10.792)8.66311X S T n Sχσ=====-⨯===因 0.9750.238 2.2622(9)T t =<=，接受01H ；又220.958.66316.919(9)χχ=<=，接受02H ．因此平均净重和标准差都符合规格要求．11.测得,A B 两批电子器件的样本的电阻为(单位:Ω):A :0.140 0.138 0.143 0.142 0.144 0.137 B :0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140设,A B 两批器件的电阻分别服从221122(,),(,)N N μσμσ.试问,能否认为,A B 两总体服从相同的正态分布?解 要检验220112:H σσ= vs 221112:H σσ≠ 和 0212:H μμ= vs 1212:H μμ≠01H 的检验统计量2122S F S =，拒绝域2121(1,1)F F n n α-≥--或212(1,1)F F n n α≤--. 在接受01H 的条件下再对02H 作检验,否则不需要对02H 作检验.02H 的检验统计量为X YT =，拒绝域为 2121(2)T t n n α-≥+-．经计算得3312232123220.141, 2.810,0.1385, 2.6610(2.810) 1.11(2.6610)X S Y S S F S ----==⨯==⨯⨯===⨯取0.20α=,因0.100.900.9011(5,5) 1.11 3.45(5,5)(5,5) 3.45F F F F ==<=<=,接受01H.32.73110w S -===⨯1.586T ===取0.10α=,因0.951.586 1.8125(10)T t =<=,接受02H .认为,A B 两总体服从相同的正态分布.12.从城市的某区中抽取16名学生测其智商,平均值为107,样本标准差为10,而从该城市的另一区抽取的16名学生的智商平均值为112,标准差为8,试问在显著性水平0.05α=下,这两组学生的智商有无差异? 假定学生的智商服从正态分布.解 设这两区学生的智商分别为X 和Y ，则221122(,),(,)X N Y N μσμσ.先要220112:H σσ= vs 221112:H σσ≠再接受01H 的条件下再检验0212:H μμ= vs 1212:H μμ≠01H 的检验统计量2122S F S =，拒绝域2121(1,1)F F n n α-≥--或212(1,1)F F n n α≤--． 实际计算结果为22122210 1.56258S F S ===．因0.9751.5625 2.86(15,15)F F =<=，故接受01H ．02H 的检验统计量X YT =，拒绝域2121(2)T t n n α-≥+-．实际计算结果为 1.562T ==，因0.9751.562 2.0423(30)T t =<=， 接受02H ，在显著性水平0.05α=下,这两组学生的智商无显著差异．13.某香烟厂生产两种香烟,独立地随机抽取容量相同的烟叶标本测其尼古丁含量的毫克数,实验室分别作了六次测定,数据记录如下:甲: 25 28 23 26 29 22 乙: 28 23 30 25 21 27假定两种香烟的尼古丁含量服从方差相等的正态分布.在显著性水平0.05α=下,这两种香烟的尼古丁含量有无显著性差异?解 设甲香烟的尼古丁含量为X ，乙香烟的尼古丁含量为Y ，则21(,)XN μσ，22(,)YN μσ．要检验012:H μμ= vs 112:H μμ≠ 检验统计量X YT =，拒绝域2121(2)T t n n α-≥+-．实际计算结果为221225.5,7.5,25.67,11.07,3.05,0.097wX S Y S S T ========因0.9750.097 2.2281(10)T t =<=,接受0H ,两种香烟的尼古丁含量无显著差异．14.对一台设备进行寿命试验,记录10次无故障工作时间,并从小到大排列得400, 480, 900, 1350, 1500, 1660, 1760, 2100, 2300, 2400已知设备的无故障工作时间服从指数分布.能否认为此设备的无故障工作时间的平均值低于1500小时(0.05)α=.解 设备的无故障工作时间记为X ,则X 服从指数分布,密度为,0(;)0,0x e x f x x λλλ-⎧>=⎨≤⎩无故障工作时间的平均值1EX λ=.要检验01:1500H λ≥vs 11:1500H λ< 检验统计量为X ,拒绝域为210(2)2n X n αχλ-≥．实际计算结果为2210.9500(2)(20)31.4115001485,23562220n X n n αχχλλ-⨯===≈ 因210(2)148523562n X n αχλ-=<=,接受0H ,认为平均无故障工作时间低于1500小时.15.根据验收标准,一批产品不合格率p 超过2%,则拒收,不超2%,则接收.现随机抽验了200件,发现6件不合格品,问这批产品应否接收(0.05)α=?解 一般认为一批产品的数量很大,因此可以看成是有放回抽样．令1,0,i i X i ⎧=⎨⎩第次出现次品第次出现正品1,2,,200i =，则可以认为12200,,,X X X iid (1,)b p ,p 是不合格率.要检验00:2%H p p ≤ vs 1:2%H p >可用大样本u 检验.检验统计量为X U =,拒绝域为1U u α-≥.而1.01X U ===因0.951.01 1.65U u =<=,接受0H ,可以接收这批产品．16.在15题条件下,出现几件不合格品时,拒收这批产品? 解 在15题中,如果出现7件不合格品,则 3.5%X =,此时1.515X U ===因0.951.515 1.65U u =<=,接受0H .如果出现8件不合格品,则4%X =,这时2.02X U ===因0.952.02 1.65U u =>=,拒绝0H ,拒收这批产品．所以8n ≥． 注:上述两题也可用R.A.Fisher 的显著性检验方法来解答．17.一种特殊药品的生产厂家声称,这种药能在8小时内解除一种过敏的效率为90%,在有这种过敏的200人中,使用药品后,有160人,在8小时内解除了过敏,试问生产厂家的说法是否真实(0.01)α=?解 令1,0,i i X i ⎧=⎨⎩第人在8小内解除了过敏第人在8小内未解除过敏1,2,,200i =，可以认为12200,,,X X X iid (1,)b p ,p 是这种药能在8小时内解除过敏的效率.要检验 00:90%H p p ≥ vs 1:90%H p <用大样本u 检验.检验统计量为X U =,拒绝域为1U u α-≤-.而4.714X U ===-因0.994.714 2.33U u =-<-=-,拒绝0H ,生产厂家的说法不真实.18.从选区A 中抽取300名选民的选票,从选区B 抽取200名选民的选票,在这两组选票中,分别有168票和96票支持某位候选人,试在显著性水平0.05α=下,检验两个选区之间是否存在差异?解 这是比率的比较问题．要检验的假设为 012:H p p = vs 112:H p p ≠1p 是选区A 该位候选人的支持率，2p 是选区Ｂ该位候选人的支持率．由条件知121212121216896300,0.56,200,0.483002000.528, 1.756n p n p n p n p p U n n ======+====+因0.9751.756 1.96U u =<=,接受0H ，两个选区之间无显著差异．19.设总体1216~(,4),,,,X N X X X μ为其样本.考虑如下检验问题:0:0H μ= vs 1:1H μ=-(1) 试证下述三个检验的Ⅰ类风险同为0.05α=；{}12 1.645V X =≤- {}2 1.52 2.125V X =≤≤ {}{}32 1.962 1.96V X X =≤-≥(2) 通过计算它们的Ⅱ类风险,说明哪个检验最好?解 (1)当0H成立时 2(0,1)X U X N ==，Ⅰ类风险分别为{}01()2 1.645( 1.645)0.05H H P V P X =≤-=Φ-={}02() 1.52 2.125(2.125)(1.5)0.05H H P V P X =≤≤=Φ-Φ={}{}03()2 1.962 1.96(1.96)1(1.96)0.05H H H P V P X P X =≤-+≥=Φ-+-Φ=(2)当1H 成立时 2(1)(0,1)X U X N ==+，Ⅱ类风险分别为111{2 1.645}{2(1)0.355}1(0.355)0.362H H P X P X β=>-=+>=-Φ≈11112{2 1.5}{2 2.125}{2(1) 3.5}{2(1) 4.125}(3.5)1(4.125)1H H H H P X P X P X P X β=<+>=+<++>=Φ+-Φ≈113{1.962 1.96}{0.042(1) 3.96}(3.96)(0.04)0.484H H P X P X β=-<<=<+<=Φ-Φ≈由此可见{}12 1.645V X =≤-最优．20.一骰子掷了120次,得下列结果:问这个骰子是否均匀(0.05)α=?解 设X 为抛骰子出现的点数，则要检验的假设为 01:{},1,2,3,4,5,66H P X i i ===检验统计量为2621()i i i i n np np χ=-=∑，拒绝域为221(5)αχχ-=.实际计算结果为2266211()(20) 4.820i i i i i in np n np χ==--===∑∑ 因220.954.811.071(5)χχ=<=,接受0H ,认为这个骰子是均匀的． 21.:试问这个分布能否看作泊松分布(0.05)α=?解 设X 为电话站在一小时内接到的呼叫次数,则要检验的假设为 0:{},0,1,2,!iH P X i e i i λλ-===在0H 之下,λ的极大似然估计为 1260i iX in λ===∑.由于5X ≥才出现3次,故将X 的取值分为6组,计算,0,1,2,3,4,5i p i =,其中22,0,1,2,3,4,5!i i p e i i -==计算结果见下表对于0.05α=,2210.95(1)(4)9.488k m αχχ---==,因220.950.17719.488(4)χχ=<=, 接受0H ,电话站在一小时内接到的呼叫次数服从Poisson 分布．22.从一批滚珠中随机抽取了50个,测得它们的直径为:(单位:mm)15.0 15.8 15.2 15.1 15.9 14.7 14.8 15.5 15.6 15.3 15.1 15.3 15.0 15.6 15.7 14.8 14.5 14.2 14.9 14.9 15.2 15.0 15.3 15.6 15.1 14.9 14.2 14.6 15.8 15.2 15.9 15.2 15.0 14.9 14.8 14.5 15.1 15.5 15.5 15.1 15.1 15.0 15.3 14.7 14.5 15.5 15.0 14.7 14.6 14.2是否可认为这批滚珠直径服从正态分布?(0.05α=,用皮尔逊2χ 检验和W 检验)23.某医院欲比较异梨醇口服液(试验组)和氢氯噻嗪+地塞米松(对照组)降低颅内压的疗效.将:在显著性水平0.01α=下，两组降低颅内压的疗效是否有显著差异？24.调查339名50,得下表:试问吸烟者与不吸烟者的慢性气管炎患病率是否有所不同(0.05)α=?25.试问疗效与年龄是否有关?26.自动车床加工轴,从成品中抽取11根,并测得它们的直径(单位:mm)如下:10.52,10.41,10.32,10.18,10.64,10.77,10.82,10.67,10.59,10.38,10.49试检验这批零件的直径是否服从正态分布?(0.05α=,用W 检验).27.用两种材料的灯丝制造灯泡,今分别随机抽取若干个进行寿命试验,其结果如下:甲(小时) 1610 1650 1680 1700 1750 1720 1800 乙(小时) 1580 1600 1640 1640 1700试用秩和检验法检验两种材料制成的灯泡的使用寿命有无显著差异(0.05)α=?28.设需要对某一正态总体的均值进行假设检验01:15:15H vsH μμ≥<已知2 2.5σ=,取0.05α=.若要求当1H 中的13μ≤时犯第Ⅱ类错误的概率不超过0.05β=,求所需的样本容量.29.电池在货架上滞留的时间不能太长.下面给出某商店随机选取的8只电池的货架滞留时间(以天计):108 124 124 106 138 163 159 134设数据来自正态总体2(,)N μσ,μ,2σ未知.(1)试在显著水平0.05α=下,检验假设01:125:125H vsH μμ=>(2)若要求在上述1H 中(125)/ 1.4μσ-≥时,犯第Ⅱ类错误的概率不超过0.1β=,求所需的样本容量.30.某人在甲、乙两台车床上加工某轴类零件.按设计要求,该零件轴颈的直径应为650.230φ±(mm).现从两台车床加工的成品中随机地各取20个,混在一起,测量其实际尺寸与公称尺寸65的偏差为:0.038 0.2400.1240.054-0.061 -0.004 -0.006 0.007 -0.004 0.0010.061 -0.043 -0.035 0.163 -0.008 -0.010 0.006-0.008 0.0240.0070.0280.1080.155-0.159 -0.032 0.003-0.007 -0.018 -0.008 -0.011 -0.060 0.067 -0.025 -0.096 0.2230.004-0.007 -0.007 -0.010 0.014根据经验,在每台车床上加工的轴颈直径的偏差服从均值为零的正态分布.这40个数据可以认为来自均值为零,方差不同的两个正态分布混合而成的分布,因此怀疑它的峰度3κβ>,试在0.05α=下,检验这批数据的正态性假设.习题九1.(1) 求y 对x 的回归方程；(2) 检验回归方程的显著性(0.05α=)； (3) 求y 在65x =处的预测区间(置信水平0.95). 2.随机抽取某地区5个家庭的年收入与年储蓄(千元)资料：(1) 求y 对x 的回归方程01,y x ββ=+并作散点图; (2) 求清费z 对收入x 的回归直线01z x ββ''=+; (3) 比较两回归直线的斜率1ββ'1与的关系. 3.为了确定广告费用与销售额的关系,得统计资料如下(1) 求销售额y 对广告费x 的回归方程; (2) 检验回归方程的显著性(0.05α=);(3) 求当广告费35x =时,销售额y 的点预测与区间预测. 4.对同一个问题,两人分别在作线性回归. 甲:取样本值11(,),1,2,,,i i x y i n = 得回归方程11y a b x =+乙:取样本值(22,i i x y ),1,2,,,i n = 得回归方程22y a b x =+(1) 如何判断这两个回归方程是否相等(给定显著性水平α)? (2) 若相等,如何求一个共同的回归方程?5.某种商品的需求量y ,消费者的平均收入1x 以及商品价格2x 的统计数据如求y 对12,x x 的回归方程.6.某矿脉中13个相邻样本点处,某种金属的含量y 与样本点对原点的距离有如下实测值分别按(1) y a =+ (2) y a b =+㏑x ； (3) b y a x=+. 建立y 对x 的回归方程,并用复相关系数R =. 7.有一架天平,称重时有随机误差()2,0,E D εεεσ==现对实重分别为1234,,,b b b b 的四个物体12341234,,,(,,,),A A A A b b b b 均未知按下述办法称量4次;第一次1234,,,A A A A 都放在天平的右盘上,砝码放在左盘使其平衡,记砝码读数为1y .第k 次1(2,3,4),k k A A =放在天平的右盘上,其余放在左盘中,为使天平达到平衡要放上读数为k y 的砝码,0k y >表示砝码在左盘,0k y <表示砝码在右盘.试求1234,,,b b b b 的最小二乘估计,并求出估计量1234,,,b b b b 的方差.如果对1234,,,A A A A 分别进行称量,需要多少次才能得到同样精度的无偏做计.8.设有线性模型1112122312322y y y βεββεββε=+⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩ 2(0,)(1,2,3)iN i εσ=其中且相互独立.(1) 求1β和2β的最小二乘估计；(2) 导出012:0H ββ==的检验统计量. 9.设,222,1,,,1,,2,1,,0,(),1,2,,2i i m i m im im i i i y i m y i m y i n E D i m nθεθφεθφεεεσ++++=+=⎧⎪=++=⎪⎨=-+=⎪⎪===+⎩ 假定i ε之间互不相关.求θ及φ的LSE θ和φ. 试证当2m n =时，θ与φ互不相关.10.考虑线性模型1222,1,2,,~(0,)i i i i i i y x x i nN ββεεσ=++=⎧⎪⎨⎪⎩且相互独立已知数据{}{}12i i x x 与不成比例,试求12ββ和的最小二乘估计12ββ和相互独立的充要条件.11.设小白鼠的存活日数服从方差相等的正态分布.试问三种菌型的平均存活日数有无显著差异?(0.01α=)12.现有某种型号的电池三批,它们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的,为评价其质量,各随机抽取5试在显著性水平0.05α=下,检验电池的平均寿命有无显著性差异？并求121323,μμμμμμ---及的95%置信区间.这里假定第i 种电池的寿命2~(,)(1,2,3).i i X N i μσ=13.一位教师想要检查三种不同的教学方法的效果,为此随机地选取了水平相当的15位学生.把他们分成三组,每组五人,每一组用一种教学方法.一段时间后,这位教师给这15试问,在显著性水平0.10α=下,这三种教学方法的效果有无显著差异？这里假定学生成绩服从方差相等的正态分布.14.下表记录了三位工人分别在四台不同机器上三天的日产量.假定数据来自方差相等的正态分布.问(1)工人之间的差异是否显著？(2)机器之间的差异是否显著？(3)交互作用是不是显著？(0.05α=)15.一火箭使用了四种燃,三种推进器作射程试验.每种燃料与每种推进器的组合做一次试验(假定不存在交互作用),得火箭射程如下(单位：海里)：假定数据来自方差相等的正态分布,问燃料之间,推进器之间有无显著差异α=)?(0.05。
李永乐经典400题(WORD)
（三）一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）(1) 设f(x)在[0，+）∞连续，0,0,1)(lim >>=+∞→c a x x f x a为常数，则=+∞→⎰-)()(lim 0x f ds s f e ex xcs cx.(2) 曲线1ln 2=+y y x 在点(1,1)处的法线方程是 . (3) 曲线xe x y 1)3(-+=的斜渐近线方程是 .(4)以知),(y x z z =满足),(,s i n )0,(,)0,(,22y x z x y x z e x z x yx x 则=∂∂==∂∂= . (5) 行列式16002630331401---= . (6) 以知向量组T T T a a a )1,6,13,1(,)5,,1,2(,)2,1,1321-+=-=-=ααα，（线性相关，则α= .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 下列命题中正确的是【 】(A) 若连续在连续，则在00)()(x x x f x x x f ==(B) 若0)]()([0lim )(000=--+→=h x f h x f h x x x f 连续，则在(C) 若不连续在不连续，则在连续，在000)()()()(x x x g x f x x x g x x x f === (D) 设连续在则000)(,0)]()([0limx x x f h x f h x f h ==--+→ (8) 当0→x 时，下面几个无穷小量中阶数最高的是【 】 (A)2211x x --+ (B) x x sin tan -(A) 53254x x x -+ (D)⎰-xtdt cos 10sin(9) 设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=,0,,0,1c o s)(22x x x xx x f 则下列结论正确的是 【 】(A) )(x f 有间断点(B) )(x f 在(-+∞∞,)上连续，但在(-+∞∞,)上有不可导的点 (C) )(x f 在(-+∞∞,)上处处可导，但)(x f ‘在(-+∞∞,)上不连续 (D) )(x f 在(-+∞∞,)上连续(10) 设点(0,1)是曲线c bx ax y ++=23的拐点，则系数c b a ,,满足【 】(A) 1,2,1==-=c b a (B) 1,0,0==≠c b a(C) 0,1,1===c b a (D) 1,0,==c b a 可为任意实数(11)微分方程x x x y y sin 4cos 2''-=+满足初始条件1)0()0('==y y 的特解点附近的图形是在0)(==x x f y【 】(A) (B) (C) (D) (12) dxx x xx )sin 1||(21123+-⎰-=【 】 (A)31 (B) 34 (C)1 ( D) 21(13) 设b 为常数，积分dx xx bx x )11(122-+++⎰∞+收敛，则该积分值为 【 】 (A)2ln 21 (B) 3ln 21(C) 2ln (D) ln3 (14)以知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----+a a a a a a a a a a 22141322221,那么，秩r(A)为【 】(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 不能确定，与a 有关三、解答题（本题共9小题，满分94分。
李永乐线性代数考研复习资料。复习提纲+经典例题解答
因为：
是个公式，在等式右边n项中，
的因子，因此若等式左边行列式中 即可，即：
中都不包含 换成C1，只要在等式右边第一项换成
清华大学数学科学系 何坚勇 主讲 并提供文档资料
本节课程内容：
第一章:行列式(续) 5、可用逐行（列）相减方法来化简的行列式 有这样一类行列式，其相邻两行（或两列）之间有部分相 同的元素，而这些相同的元素集中在某个角上，（或左上 角或左下角，或右上角，或右下角），这样当用相邻两行 相减的方法所得到的零元素就集中在某个角上，便于将行 列式化为上、下三角形行列式。 例1.8
ABC Amber CHM Converter Trial version, /abcchm.html
清华大学考研辅导强化班课程 《线性代数》
清华大学数学科学系 何坚勇 主讲 并提供文档资料
例1.11
例1.12
思路：数字较大，直接计算麻烦。观察可知其第2列与第1 列相差不大，第3列与第2列的3倍相近。 例1.13
本题行列式中没有元素1，若直接化成上（下）三角形， 突岢鱿址质 虼讼冉 ?行的（－1）倍加到第1行，得 ½a11=－1，然后再化零。 （七）、利用行列式是一个多项式，可以分解因式的性质 来计算行列式。 若f(x)是x的一个多项式，显然当f(a)=0时，f(x)应有(x －a)的因式，如f(x)＝x2－5x+6,则f(2)＝0,f(3)=0，故f (x)＝K(x－2)(x－3)，再利用x=x0可求出K， 或用某个特定的xm项对比系数定出K。 例1.14
方差分析习题答案
方差分析习题答案【篇一：方差分析习题】lass=txt>班级_______ 学号_______ 姓名________ 得分_________一、单项选择题1、方差分析所要研究的问题是（） a、各总体的方差是否相等 b、各样本数据之间是否有显著差异 c、分类型自变量对数值型因变量的影响是否显著 d、分类型因变量对数值型自变量是否显著2、组间误差是衡量因素的不同水平（不同总体）下各样本之间的误差，它（）a、只包含随机误差b、只包含系统误差c、既包含随机误差也包含系统误差d、有时包含随机误差，有时包含系统误差3、组内误差（） a、只包含随机误差b、只包含系统误差 c、既包含随机误差也包含系统误差d、有时包含随机误差，有时包含系统误差4、在单因素方差分析中，各次实验观察值应（）a、相互关联b、相互独立c、计量逐步精确d、方法逐步改进5、在单因素方差分析中，若因子的水平个数为k，全部观察值的个数为n，那么（）a、sst的自由度为n b 、ssa的自由度为k c、 sse的自由度为n-k-1 d、sst的自由度等于sse的自由度与ssa的自由度之和。
6、在方差分析中，如果拒绝原假设，则说明（）a、自变量对因变量有显著影响b、所检验的各总体均值之间全部相等c、不能认为自变量对因变量有显著影响d、所检验的各样本均值之间全不相等7、在单因素分析中，用于检验的统计量f的计算公式为（） a、ssa/sseb、ssa/sst c、msa/msed、mse/msa8、在单因素分析中，如果不能拒绝原假设，那么说明组间平方和ssa （） a、等于0 b、等于总平方和c、完全由抽样的随机误差所决定d、显著含有系统误差9、ssa自由度为（）a、r-1b、n-1c、n-rd、r-n二、实验分析题1、某公司采用四种颜色包装产品，为了检验不同包装方式的效果，抽样得到了一些数据并进行单因素方差分析实验。
实验依据四种包装方式将数据分为4组，每组有5个观察值，用excel中的数据分析工具，在0.05的显著水平下得到如下方差分析表：方差分析(1)填表：请计算表中序号标出的七处缺失值，并直接填在表上。
考研数学李永乐经典400题
李永乐经典400题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）(1) 设f(x)在[0，+）∞连续，0,0,1)(lim >>=+∞→c a xx f x a为常数，则=+∞→⎰-)()(lim 0x f dss f eex xcscx.(2) 曲线1ln 2=+y y x 在点(1,1)处的法线方程是 . (3) 曲线xe x y 1)3(-+=的斜渐近线方程是 .(4)以知),(y x z z =满足),(,s i n)0,(,)0,(,22y x z x yx z e x z x yx x则=∂∂==∂∂= . (5) 行列式16263030314001---= .(6) 以知向量组TT T a a a )1,6,13,1(,)5,,1,2(,)2,1,1321-+=-=-=ααα，（线性相关，则α= .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 下列命题中正确的是【 】(A) 若连续在连续，则在00)()(x x x f x x x f == (B) 若0)]()([0lim )(000=--+→=h x f h x f h x x x f 连续，则在(C) 若不连续在不连续，则在连续，在000)()()()(x x x g x f x x x g x x x f === (D) 设连续在则000)(,0)]()([0lim x x x f h x f h x f h ==--+→(8)当0→x 时，下面几个无穷小量中阶数最高的是【 】 (A)2211x x --+ (B) x x sin tan -(A) 53254x x x -+ (D)⎰-xtdt cos 10sin(9) 设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=,0,,0,1c o s )(22x x x xx x f 则下列结论正确的是【 】(A) )(x f 有间断点(B) )(x f 在(-+∞∞,)上连续，但在(-+∞∞,)上有不可导的点 (C) )(x f 在(-+∞∞,)上处处可导，但)(x f ‘在(-+∞∞,)上不连续 (D) )(x f 在(-+∞∞,)上连续(10) 设点(0,1)是曲线c bx ax y ++=23的拐点，则系数c b a ,,满足【 】(A) 1,2,1==-=c b a (B) 1,0,0==≠c b a (C) 0,1,1===c b a (D) 1,0,==c b a 可为任意实数(11)微分方程x x x y y s i n 4c o s 2''-=+满足初始条件1)0()0('==y y 的特解点附近的图形是在0)(==x x f y【 】(A) (B) (C) (D) (12) dxx x xx )sin 1||(21123+-⎰-=【 】 (A)31 (B) 34 (C)1 ( D)21(13) 设b 为常数，积分dx xx bx x )11(122-+++⎰∞+收敛，则该积分值为【 】 (A)2ln 21 (B)3ln 21 (C) 2ln (D) ln3(14) 以知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----+a a a a a a a a a a 22141322221,那么，秩r(A)为【 】(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 不能确定，与a 有关三、解答题（本题共9小题，满分94分。
初中数学25题解题技巧
初中数学25题解题技巧嘿，咱来聊聊初中数学 25 题那点事儿哈！这可真是个让人又爱又恨的存在呀。
你想想看，那 25 题就像是个小怪兽，张牙舞爪地等你去挑战。
那咋办呢？咱得有技巧地去对付它呀！首先呢，读题得仔细，一个字一个字地抠，可别像个小马虎似的一扫而过。
这就好比你要去一个陌生的地方，你不得好好看看地图，弄清楚路线呀。
然后呢，分析条件就像侦探破案一样，不放过任何一个蛛丝马迹。
把那些已知条件都串起来，说不定就能找到解题的关键线索啦。
再来说说画图，有时候画个图就像给小怪兽套上了一个金箍，一下子就把它给制服了。
把那些复杂的关系通过图形直观地表现出来，哇塞，那感觉就像找到了宝藏的入口。
还有啊，别死脑筋，一条路走不通咱就换条路呗。
就像你去爬山，正面上不去，咱就绕个道嘛，说不定还能看到不一样的风景呢。
有时候转换一下思路，难题说不定就迎刃而解啦。
比如说，遇到几何问题，咱就想想那些定理、公理，就像手里有了金箍棒，啥妖魔鬼怪都不怕。
要是代数问题呢，那就把那些式子摆弄摆弄，就像搭积木一样，搭出正确的形状。
举个例子哈，有一次我遇到一道特别难的 25 题，我就死磕呀，结果越磕越糊涂。
后来我灵机一动，换了个角度去想，嘿，一下子就找到了解题的方法。
这就像你在黑暗里找东西，找半天找不到，突然有人给你打开了一盏灯，哇，豁然开朗呀！还有哦，平时得多做题，就像练功一样，练得多了，功夫自然就高啦。
看到题就不会手忙脚乱，而是胸有成竹。
总之呢，对付初中数学25 题，咱要有耐心，有细心，还要有智慧。
别被它吓住，咱要勇敢地去挑战它。
相信自己，咱一定能战胜这个小怪兽，取得胜利！加油吧，同学们！让我们在数学的海洋里畅游，把那些难题都一个个攻克掉！难道不是吗？。
2023李永乐数学基础过关660题 数学一
2023李永乐数学基础过关660题数学一1. 引言数学作为一门基础学科，在学习过程中经常会遇到一些难题和概念。
为了帮助同学们更好地掌握数学基础知识，李永乐老师精心编写了一套过关660题的数学习题集。
在本文档中，我们将针对这套习题集进行介绍，并提供一些解题的方法和技巧，希望能够帮助同学们更好地学习和理解数学。
2. 习题集内容概述该数学习题集一共包含660道数学题，主要囊括了数学一学科的各个知识点。
以下是习题集的主要内容概述：•代数和函数•平面几何•空间几何•数论和代数数学•推理与证明每个知识点都有相应数量的习题，并根据难易程度进行了分类。
习题集的目的是帮助同学们逐步熟悉和掌握数学的各个领域，提高数学思维能力和解题能力。
3. 解题方法和技巧解决数学题目需要一定的方法和技巧。
下面将介绍一些常用的解题方法和技巧，希望能对同学们的学习有所帮助。
3.1 列方程法列方程法是解决代数和函数问题时常用的方法。
通过将问题转化为数学方程，然后利用数学方程的性质来解决问题。
例如，对于一个线性方程的问题，可以通过列方程的方法，建立起一个未知数的方程，然后进行求解。
3.2 几何画图法几何画图法是解决几何问题时常用的方法。
通过绘制几何图形，将问题可视化，从而更好地理解和解决问题。
例如，在平面几何中，通过绘制出给定条件的几何图形，可以更清晰地观察到几何关系，从而找到解决问题的方法。
3.3 数论与代数数学方法数论和代数数学方法是解决数论和代数问题时常用的方法。
这些方法涉及到一些数学理论和定理的应用，需要在解题过程中熟练掌握。
例如，欧几里得算法和质因数分解等数论方法，以及代数方程的求解和变形等代数数学方法，都是解决相应问题的重要工具。
4. 总结该习题集对于提高数学基础和解题能力有很大的帮助。
通过针对不同知识点的练习，同学们可以逐步熟悉和掌握各个领域的数学知识，提高数学思维能力和解题能力。
在解题过程中，同学们可以尝试使用不同的方法和技巧，如列方程法、几何画图法、数论与代数数学方法等，来解决问题。
660第25题
660第25题
【实用版】
目录
1.介绍 660 第 25 题的背景和重要性
2.分析题目的难点和关键点
3.提供解题思路和方法
4.总结解题技巧和策略
正文
660 第 25 题是一道备受关注的题目，它涉及的知识点广泛，难度较大，对于很多学生来说，都是一大挑战。
因此，如何有效地解决这道题目，是广大学生关心的问题。
首先，我们需要分析题目的难点和关键点。
660 第 25 题主要考察的是学生的逻辑思维能力和数学应用能力，需要学生对相关知识点有深入的理解和掌握。
同时，题目的难度还在于其复杂的题干和多变的条件，需要学生有良好的阅读理解和分析能力。
针对这样的题目，我们有以下的解题思路和方法。
首先，学生需要仔细阅读题干，理解题目的要求和条件，尤其要注意题目中的隐含条件。
其次，学生需要根据题目的条件，利用相关的知识点和数学方法，逐步推导出答案。
在这个过程中，学生需要保持清晰的思维，灵活运用所学知识，尤其要注意题目的逻辑关系和数学模型。
总的来说，解决 660 第 25 题需要学生有扎实的知识基础，良好的逻辑思维能力和数学应用能力。
同时，学生还需要有耐心和毅力，不怕困难，勇于挑战。
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详解扔鸡蛋问题
详解扔鸡蛋问题你将获得K个鸡蛋，并可以使⽤⼀栋从1到N共有N层楼的建筑。
每个蛋的功能都是⼀样的，如果⼀个蛋碎了，你就不能再把它掉下去。
你知道存在楼层F，满⾜0 <= F <= N任何从⾼于F的楼层落下的鸡蛋都会碎，从F楼层或⽐它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。
每次移动，你可以取⼀个鸡蛋（如果你有完整的鸡蛋）并把它从任⼀楼层X扔下（满⾜1 <= X <= N）。
你的⽬标是确切地知道F的值是多少。
⽆论F的初始值如何，你确定F的值的最⼩移动次数是多少？⽰例 1：输⼊：K = 1, N = 2输出：2解释：鸡蛋从 1 楼掉落。
如果它碎了，我们肯定知道 F = 0 。
否则，鸡蛋从 2 楼掉落。
如果它碎了，我们肯定知道 F = 1 。
如果它没碎，那么我们肯定知道 F = 2 。
因此，在最坏的情况下我们需要移动 2 次以确定 F 是多少。
⽰例 2：输⼊：K = 2, N = 6输出：3本题是⾕歌⽤于⾯试的⼀道经典⾯试题之⼀。
由于本题过于经典，⾕歌公司已经不再将这题作为⾯试的候选题⽬了。
思路假设N=100如果只有⼀个蛋K=1只能从第⼀层开始，⼀层⼀层往上试，最差情况就要扔100次⽆限个蛋K=∞使⽤⼆分查找第⼀个蛋从50楼开始扔，如果碎了，那么临界楼层就在0-50之间，否则就在50-100；第⼆个蛋在25层扔，碎了，在0-25之间，否则在25-50所以要扔的次数M满⾜ 2M>=100,M>=6.64, ⾄少需要7次两个蛋K=2试想⼀下，如果第⼀个蛋在某些情况下碎了，那就只剩下⼀个蛋，退化为第⼀种问题，只能⼀层⼀层往上试，所以第⼀个蛋的作⽤应该在与缩⼩范围，然后⽤第⼆个蛋试两个蛋A,BA：先在第10层扔，没碎就在20层扔，没碎在30层扔……。
也就是依次在10,20，……，100层扔，A最多可以扔10次B：假如A已经确定了范围，在10层没碎，在20层碎了，那么就⽤B在10-20依次尝试。
2021李永乐数一660题(100题)-59页 文字版
数学基础过关 660 题数学一习题册1
李永乐2
王式安3
2019 年 9 月
1
Build time：2020 年 2 月 17 日
清华大学
3
北京理工大学
4
西安交通大学
2
武忠祥4
仅供学习使用，严禁商业使用
–ii/55–
目录
第一部分
1阶
基础过关
1
第一章 高等数学
3
1.1 填空题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
>0
答题
纠错
区域
笔记
–3/55–
仅供学习使用，严禁商业使用
1
√
1 − cos 32 − 1
=
lim
→0 tan(sin ) ln(cos 2)
2
．
答题
纠错
区域
笔记
3
√
e −1 1+− 1−
= lim
=
→0 [ln(1 − ) + ln(1 + )] sin
1+
区域
笔记
–6/55–
．
1.1
填空题
仅供学习使用，严禁商业使用
8
= lim e + 3
2
1
2
→∞
．
=
答题
纠错
区域
笔记
´
= lim
→0
2
9
sin( )
2
d
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4
A
5
B
5
λ1λ2 " λn λ1λ2 λ3λ4
B
n −1
∏λ
i =1
i
1× ( −1) × 2 × 4
8
B*
8 10 −5 1 −8 4 −1 − 7 4 − 1
4
已知 A
*
求 A ________
解答
A
0 −1 1 −1 −3 2 − − 4 5 0 AA* A* A AE
求B
________
解答
B
−6 0 0 6 −12 9 3 1.5 3 −1.5 1.5 −2.25 −3 −3 1.5 6
−1 −1
解法 A
1 * 1 3 * A * −1 A = A = 8 ( A ) = 8 A 2 2
−1
B 两个矩阵均为 N 阶矩阵
且 ( A + B)
2
E
其中 A 为对称矩阵且可逆
求
(A
B + E)
−1
(B
T
A−1 − E )
−1
T
________
T
解答
(B
T
A−1 − E )
( B + A)( B − A)
不必再画蛇添足
−1 −1 ( A−1 )T ( BT )T − E + A B A ( )
2
−1
1 * A = 4 A 2 1 * −1 −1 −1 −1 A BA = 2 AB + 12 E ⇒ 2 ABA = AB + 6 E ⇒ 2 BA = B + 6 A ⇒ 2 B = BA + 6 E 2 ⇒ 2 B − BA = 6 E ⇒ B ( 2 E − A ) = 6 E ⇒ B = 6 ( 2 E − A ) −6 0 0 6 −12 9 3 1.5 −1 B = 6 ( 2E − A) = 3 −1.5 1.5 −2.25 −3 −3 1.5 6 总结 二阶矩阵的转置矩阵的简易公式 不适用于本题
A 1 1 # 1 1 1 # 1 " " % " 1时 1 1 −E # 1
如 r ( A) 2
λE − A
λ n − ∑ aii λ n −1
i =1 *
n
已知 A 为四阶矩阵 A − 1 4
*
且 ( 2 A)
64
求A
________
解答 解法一
( kA)
*
k n −1 A* 84 A* 2A A
Yacyin@Nanjing
第 5 页
2003 年 度 研 究 生 入 学 考 试 系 列 参 考 资 料
Bx = 0 S = r ( B ) 要证明 r ( AB ) = r ( B ) 则只要证明上面两个方程同解即可
如 Bα = 0 ⇒ ABα = A ⋅ 0 = 0 则 式的解亦是 式的解 证明 r ( A) = n 满秩 ⇔ A 的列向量线性无关 ⇔ 如果 k1α1 + k2α 2 + " + knα n = 0 ⇔ 方程 Ax = 0 只有零解 ABy = 0 由 r ( A ) = n 和方程 Ax = 0 只有零解可得 By = 0 则必有 k1 = 0, k2 = 0," , kn = 0
2003 年 度 研 究 生 入 学 考 试 系 列 参 考 资 料
考研数学 线性代数 经典范例 25 题
主讲 清华大学李永乐副教授 地点 东南大学健雄院致知堂 时间 2002 年 1 月 1 日上午 8 整理 Yac Yin
1 已知 A 0 1 # 1
−1
00
12
30
1 0 # 1
此题做到 ( B + A )( B − A ) 这一步即可 原式
−1
(A
E
−1
−1 T −1 T B + A−1 A ) B A ) − ET (
( B + A) ( A + B)
A ( A−1 B − E )
2
( A + B) ( A + B)
原式 总结
−1
( B + A)( B − A)
3
A* 84 A
3
A
n −1
( 2 A)
解法二 3
23 A*
64 84 A
3
( 2 A)
B
*
(2
4
A)
3
64 下同 且均为四阶矩阵 B* 的特
已知 A
B 4
表示 A
B 两矩阵为相似矩阵
征值为 1 解答 解法 A B* B* B
3
1
2 32
求 A AT ________
A AT 原式
A AT
A AT
n
( kA)
−1
1 −1 A k
( kA) ( A + B)
−1 T
T
kAT AT + BT
T
(A )
0
(A )
T
−1
则 r ( B)
________
解答
解法一 与齐次线性方程组挂钩 B 的列向量是 Ax 0 的解 A ( β1 , β 2 ,"" , β n ) 解法二 B 0 A 0 A11 A 21 即 # Ai1 n-1 A12 A22 # Ai 2 " A1 j " A2 j % # " Aij
解法
Yacyin@Nanjing
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2003 年 度 研 究 生 入 学 考 试 系 列 参 考 资 料
A* A A A −1 A A* A
−1
A* A
E
* −1
(A )
A A
A= A ( A* )
用初等行变换求逆 行乘数 交换行 相加减 现简述求解过程如下 10 −5 1 1 0 0 10 −5 1 1 0 0 1 0 0 0 −1 1 −8 4 −1 0 1 0 ⇒ −8 4 −1 0 1 0 ⇒ −8 4 −1 0 1 0 −7 4 −1 0 0 1 1 0 0 0 −1 1 10 −5 1 1 0 0 1 0 0 0 −1 1 1 0 0 0 −1 1 1 0 0 0 −1 1 ⇒ 0 4 −1 0 −7 −8 ⇒ 0 −1 0 1 3 −2 ⇒ 0 1 0 −1 −3 2 0 −5 1 1 10 −10 0 0 1 −4 −5 0 0 0 1 −4 −5 0 5 已知 A
* −1 −1
且仅限于二阶矩阵
a b d −b c d = −c a 9 已知 A 为 m 注意 分析 n 阶矩阵 r ( A) = n
B为n
s 阶矩阵
证明
r ( AB ) = r ( B )
此题的结论可以当作定理记下来 构造下面两个辅助方程组
ABx = 0 S = r ( AB )
( Aβ1 , Aβ 2 ,"" , Aβ n ) ( 0, 0,"" , 0 )
0
运用公式 r ( A ) + r ( B ) ≤ n AB 0
A*
0
0
∃Aij ≠ 0 ,且 n-1 阶不为零
r ( A)
r ( A) + r ( B ) ≤ n r ( B) ≤ 1
B 为 n 阶非零矩阵
r ( B) ≥ 1 r ( B) ≡ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n
解法二
1 2 A 1 1 # 0 1 1 0 −1 ( n − 1) # # 0 0 " 1 " 0 % # " −1
n
A
1 1 ( n − 1) # 1
( −1) ( n − 1)
n −1
特殊解法 A
λ1λ2 " λn
∏λ
i =1
i
Yacyin@Nanjing
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2003 年 度 研 究 生 入 学 考 试 系 列 参 考 资 料
7 已知 A 为 4
3 阶矩阵 且非零
B
且 AB
0
则 Ax
0 的通解是________
解答 解法 又
k1 (
) + k2 ( )
其中
中为任意两个 B 的列向量
r ( A) + r ( B ) ≤ 3 r ( B) = 2
Yacyin@Nanjing
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2003 年 度 研 究 生 入 学 考 试 系 列 参 考 资 料
方程 By = 0 的解亦是方程 ABy = 0 的解 派生一题 已知 AT Aα = 0 且 Aα = 0 求证
α T AT Aα = α T ⋅ 0 = 0
提示
( Aα ) ( Aα ) = 0
T
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" " % "
n −1
1 1 # 0
求 ( 2 A)
−1
________
解答 解法一 原式
( 2 A)
( −1) 2n ( n − 1)
kn A 1 −1 A 2 1 2A 1 0 # 1 " " % "
n n
kA 1 −1 A 2 原式