云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学(文)试题

云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学2020-2021学年高二下学
期期中考试数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{1,3,5}A =，{2,3,4,6}B =，则A
B =（ ） A ．{3}
B ．{1,2,3,4,5,6}
C ．{|16}x x
D ．{1,2,4,5,6}
2．已知复数z 满足53iz i =+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点落在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．为了解某校老年、中年和青年教师的身体状况，已知老、中、青人数之比为3:7:5，现用分层抽样的方法抽取容量为n 的样本，其中老年教师有18人，则样本容量n =（ ） A ．54 B ．90 C ．45 D ．126
4．有一段演绎推理是这样的：“幂函数a y x =在(0,)+∞上是增函数；已知1y x =是幂函数；则1y x
=在(0,)+∞上是增函数”，其结论显然是错误的，这是因为（ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．非以上错误 5．下列直线中，与函数()ln f x x x =+的图象在1x =处的切线平行的是（ ） A ．210x y ++=
B ．210x y -+=
C ．210x y --=
D ．210x y --=
6．长、宽分别为a ，b 的矩形的外接圆的面积为
()224a b π+，将此结论类比到空间中，
正确的结论为（ ）
A ．长、宽、高分别为a ，b ，c
B ．长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的外接球的表面积为
()2224a b c π++ C ．长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的外接球的体积为()3334a b c π++
D ．长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的外接球的表面积为()222a b c π++
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．46
B ．48
C ．50
D ．52
8．执行如图所示的程序框图，如果输入的11x =，则输出的y =（ ）
A ．1-
B ．0
C ．2
D ．3
9．将函数sin 23y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移
6π个单位长度，则所得图象对应的函数的解析式为（ ） A ．cos4y x =-
B ．sin 4y x =-
C ．cos y x =
D ．cos y x =-
10．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．16
11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22
22:1y x C a b
-=(0,0)a b >>的一条渐近线与圆22(2)(1)1x y -+-=相切，则b a
=（ ） A ．43 B ．34 C ．169 D ．916
12．已知定义在(,0)-∞上的函数()f x 满足22()()f x xf x x '+<-，(1)f e -=，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A ．1()f e e
->
B ．21()f e e ->
C ．1()f e e -<
D ．31()f e e -<
二、填空题 13
．已知向量1,2AB ⎛= ⎝⎭，312AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，则BAC ∠=______.
14．已知实数x ，y 满足1,290,0,x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪-⎩
则4z x y =-的最小值为______.
15．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.
根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程ˆ0.6754.9y
x =+.
现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为______.
16．球O 被平面α所截得的截面圆的面积为π，且球心到αO 的体积为______.
三、解答题
17．为了调查人们喜爱游泳是否与性别有关，随机选取了50个人进行调查，得到以下列联表：
能否在犯错误概率不超过0.001的前提下认为喜爱游泳与性别有关系？
附表及公式：
2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d
=+++. 18．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知
2cos 2sin sin cos A B C B =+，且sin 1B ≠.
（1）求角C ；
（2）若5sin 3sin B A =，且ABC ∆，求ABC ∆的周长. 19．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，225n S n n =+.
（1）证明：数列{}n a 为等差数列，并求n a ；
（2）设23n n b S n =-，求数列n n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T . 20．在如图所示的几何体中，DE AC ，AC ⊥平面BCD ，24AC DE ==，2BC =，1DC =，60BCD ∠=︒.
（1）证明：BD ⊥平面ACDE ；
（2）过点D 作一平行于平面ABE 的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面ABE 之间的几何体的体积.
21．已知椭圆22
22:
1(0)x y M a b a b
+=>>的一个焦点F 与抛物线2:4N y x =的焦点重合，且M 经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
. （1）求椭圆M 的方程；
（2）已知斜率大于0且过点F 的直线l 与椭圆M 及抛物线N 自上而下分别交于A ，B ，
C ，
D ，如图所示，若8AC =，求AB CD -.
22．已知函数21()ln ()2
f x a x x a a =-+∈R . （1）若(1)0f =，求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最小值与最大值； （2）若()0f x ，求a 的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
直接利用集合并集的定义求解即可.
【详解】
因为集合{1,3,5}A =，{2,3,4,6}B =，
所以，由集合并集的定义可得A
B ={1,2,3,4,5,6}，故选B. 【点睛】
研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 或属于集合B 的元素的集合. 2．D
【分析】
原等式两边同乘以i -，从而可得35z i =-，进而可得结果.
【详解】
因为53iz i =+，
所以(53)35z i i i =-+=-，
复数z 在复平面内对应的点(3,5)-为第四象限的点，故选D
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3．B
【分析】
根据分层抽样的概念即可求解．
【详解】 依题意得318357
n ⨯=++，解得90n =，即样本容量为90. 故选B
【点睛】
本题考查分层抽样的应用，属基础题．
4．A
【分析】
分别判断大前提、小前提、以及推理形式是否正确即可.
【详解】
因为“幂函数a y x =在(0,)+∞上是增函数”是错误的，
所以得到结论错误，结论错误的原因是大前提错误，故选A.
【点睛】
本题主要考查三段论的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.
5．B
【解析】
()11f =，()1'1f x x
=+, ∴()'12f =
∴函数()ln f x x x =+的图象在1x =处的切线方程为210x y --=
与其平行的直线可以为：210x y -+=
故选B
点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．
6．D
【分析】
类比为求长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的外接球的表面积即可.
【详解】
“矩形的外接圆的面积”在类比中对应的是“长方体的外接球的表面积”，
长、宽、高分别为a ，b ，c ，
故其表面积为()2
2224a c b ππ=+⎝+⎭,故选D. 【点睛】 本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.
7．B
【分析】
由三视图可知，该几何体为四棱锥，棱锥的底面是边长为4的正方形，一条长为3的侧棱与底面垂直，求出底面及四个侧面的面积即可得结果.
【详解】
该几何体是如图所示的一个四棱锥P ABCD -，
棱锥的底面是边长为4的正方形，一条长为3的侧棱与底面垂直，
4个侧面都是直接三角形，由所给数据可得 该几何体表面积为34542444822S ⨯⨯⎛⎫=⨯++⨯=
⎪⎝⎭
，故选B . 【点睛】
本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.
三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
8．D
【分析】
执行框图，依次写出每次循环所得x 和y 的值，并进行判断，即可得结果．
【详解】
输入x=11
第一次循环：9x =，18y =；
第二次循环：7x =，14y =；
第三次循环：5x =，10y =；
第四次循环：3x =，6y =；
第五次循环：1x =，2y =；
第六次循环：10x =-<，退出循环，输出()213y =--=.
【点睛】
本题考查循环结构的程序框图，方法是依次写出每次循环所得x 和y 的值，并进行判断，属基础题．
9．D
【解析】
分析：依据题的条件，根据函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，得到相应的函数解析式，利用诱导公式化简，可得结果.
详解：根据题意，将函数sin 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的函数图像对应的解析式为sin()3y x π=-
， 再将所得图象向右平移6
π个单位长度， 得到的函数图像对应的解析式为sin()cos 63y x x ππ
=--=-，故选D. 点睛：该题考查的是有关函数图像的变换问题，在求解的过程中，需要明确伸缩变换和左右平移对应的规律，影响函数解析式中哪一个参数，最后结合诱导公式化简即可得结果. 10．B
【解析】
解法一：由排列组合知识可知，所求概率24213
P C =
=； 解法二：任取两个数可能出现的情况为（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）；符合条件的情况为（1,3）、（2,4），故1
3
P =
. 【学科网考点定位】本题考查古典概型的概率运算，考查学生的基本运算能力. 11．B 【分析】
符合条件的渐近线方程为0by ax -=，与圆相切，即d=r ，代入公式，即可求解 【详解】
双曲线C 的渐近线方程为0by ax ±=，与圆相切的只可能是0by ax -=，所以圆心到直线
的距离
1r ==，得34a b =，所以
3
4
b a =，故选B ． 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，考查分析推理，计算化简的能力，属基础题． 12．C 【解析】 【分析】
构造函数2
()()g x x f x =，由2
2()()f x xf x x '
+<-可得()g x 在(,0)-∞上单调递增，由此
()(1)g e g -<-，从而可得结论.
【详解】
令2
()()g x x f x =，
则()()2()()g x x f x xf x ''=+.
因为当0x <时，2
2()()0f x xf x x '+<-<， 此时()0g x '>，于是()g x 在(,0)-∞上单调递增， 所以()(1)g e g -<-，
即2
()f e e e -<，故1
()f e e
-<
，故选C
【点睛】
利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 13．
6
π
【解析】 【分析】
由题意利用两个向量的夹角公式，求得BAC ∠的值． 【详解】
解：向量12AB ⎛= ⎝⎭，312AC ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝
⎭，则
112222cos 11AB AC BAC AB AC ⨯+⋅∠===
⨯⋅，
6
BAC π
∴∠=
故答案为：6
π
． 【点睛】
本题主要考查两个向量的夹角公式，属于基础题． 14．1- 【解析】
试题分析：由数形结合得，直线4z x y =-经过点()1,5A 时，取得最小值为4151⋅-=-. 考点：线性规划. 15．68 【解析】
试题分析：设表中有一个模糊不清数据为m ，由表中数据得：307
30,5
m x y +==
，由最
小二乘法求得回归方程0.6754.9y x ∧
=+将307
30,5
m x y +==，代入回归方程，得68m =．
考点：线性回归方程 16．
256
3
π 【分析】
先求出截面圆的半径，利用勾股定理可求得球的半径，再利用球的体积公式可得结果. 【详解】
设截面圆的半径为r ，球O 的半径为R ， 则2r ππ=，∴1r =，
∴22216R r =+=， ∴4R =，球O 的体积为3
4256
3
3
R ππ=，故答案为2563π. 【点睛】
本题主要考查球的性质以及球的体积公式，属于中档题.球的截面问题，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用
性质222
1R r OO =+.
17．能在犯错误概率不超过0.001的前提下认为喜爱游泳与性别有关系. 【解析】 【分析】
由表中数据，利用公式求出2K 的观测值，根据所给表格与临界值比较，从而可得结论. 【详解】
由表中数据得2K 的观测值2
050(241466)25
12.5302030202
k ⨯⨯-⨯===⨯⨯⨯.
∴12. 5>10.828，
∴能在犯错误概率不超过0.001的前提下认为喜爱游泳与性别有关系. 【点睛】
本题主要考查独立性检验的应用，属于基础题. 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据
制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()
2
2
n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查
表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断. 18．（1）23
C π
=（2）15 【分析】
（1）由cos cos()A B C =-+，利用两角和的余弦公式化简原式，可得1
cos 2C =-
，从而
可得结果；（2）由5sin 3sin B A =，利用正弦定理可得53b a =，由ABC ∆的面积为4
，可得15ab =，求得,a b 的值，再根据余弦定理求出c 的值，从而可得结果. 【详解】
（1）由2cos 2cos()2sin sin cos A B C B C B =-+=+， 得2cos cos cos B C B -=. ∵sin 1B ≠，∴cos 0B ≠， ∴1cos 2C =-
，∴23
C π
=. （2）∵5sin 3sin B A =， 所以，由正弦定理可得53b a =.
又因为ABC ∆，
∴
1sin 2ab C ==
，∴15ab =，∴5a =，3b =. 由余弦定理得2222cos 49c a b ab C =+-=，∴7c =. 故ABC ∆的周长为53715++=. 【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定
要熟记两种形式：（1）2
2
2
2cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc
+-=，同时还要熟练
掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住
30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
19．（1）见证明，43n a n =+；（2）()
747n n
T n =+
【分析】
（1）当2n 时，求得143n n n a S S n -=-=+，再利用等差数列的定义可得结论；（2）先由
2
25n S n n =+可得2
47n b n n =+，由此可得
1
(43)(47)
n n n a b n n =++11144347n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭
，利用裂项相消法可得结果. 【详解】
（1）当2n 时，143n n n a S S n -=-=+，
当1n =时，117a S ==，也满足43n a n =+，故43n a n =+. ∵14n n a a +-=，∴数列{}n a 是首项为7公差为4的等差数列.
（2）∵2
2347n n b S n n n =-=+，∴1(43)(47)n n n a b n n =++11144347n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭
， ∴1111111471111154347n T n n ⎛⎫=
-+-+⋯+- ⎪++⎝⎭11147477(47)
n
n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义与通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)
()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭；
（2）
1
k
=
； （3）()()1
111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭
；
（4）等差数列{}n a ，
1111111n n n n a a d a a +++⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 20．(1)证明见解析；
(2)
6
.
【解析】
分析：（1）由余弦定理结合勾股定理可证明BD CD ⊥，利用线面垂直的性质可证明
AC BD ⊥，由线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面ACDE ；（2）取AC 的中点F ，BC 的中点M ，连接,,DF DM MF ，截面DFM 即为所求，由（1）可知，BD ⊥平面ACDE ，FC ⊥平面CDM ， 由“分割法”利用棱锥的体积公式可得结果.
详解：（1）证明：在BCD ∆中，2221212cos603BD =+-⨯⨯=. 所以222BC BD DC =+，所以BCD ∆为直角三角形，BD CD ⊥. 又因为AC ⊥平面BCD ，所以AC BD ⊥. 而AC CD C ⋂=，所以BD ⊥平面ACDE .
（2）取AC 的中点F ，BC 的中点M ，连接,,DF DM MF ，平面DFM 即为所求. 理由如下： 因为,DE
AC DE AF =，所以四边形AEDF 为平行四边形，所以DF AE ，从而DF
平面ABE ，
同理可证FM 平面ABE .
因为FM DF F ⋂=，所以平面DFM 平面ABE . 由（1）可知，BD ⊥平面ACDE ，FC ⊥平面CDM .
因为()241132
B ACDE V -+⨯=
⨯=
111
sin60
232F CDM V -⨯⎛⎫
=⨯⨯= ⎪
⎝⎭
，
所以，所求几何体的体积V =
=
点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几
何体为柱体椎体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.
21．（1）22
143
x y +=（2）32||||7AB CD -=
【解析】 【分析】
（1）求出抛物线的焦点坐标可得1c =，将31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
代入椭圆方程，结合性质222a b c =+ ，
列出关于a 、b 的方程组，求出a 、b 即可得结果；
（2）设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =->，代入2
4y x =，得(
)
22
2
2
240k x k x k -++=，结合韦达定理、抛物线的定义，利用8
AC =可得1k =，再将1y x =-代入22143
x y +=，利用弦长公式求出24||7BD =
，再由AB CD AC BD -=-可得结果.
【详解】
（1）2
:4N y x =的焦点F 的坐标为(1,0)，所以1c =，
所以22221
9141a b
a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得24a =，23b =. 所以椭圆M 的方程为22
143
x y +=.
（2）设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =->，代入2
4y x =，得()
2222240k x k x k -++=，
设()11,A x y ，()22,C x y ，则2
1222
244
2k x x k k
++==+， 因为1224
||248AC x x k
=++=+
=，0k >，所以1k =. 将1y x =-代入22
143
x y +=，得27880x x --=.
设()33,B x y ，()44,D x y ，则3487x x +=
，348
7x x =-， 所以
24||7
BD ==，
故2432877
AB CD AC BD -=-=-=. 【点睛】
本题主要考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.
22．（1）max ()0f x =；min ()2ln 23f x =-（2）[0,2] 【分析】
（1）求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，
()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间，根据单调性求得函数的最大值，比较
1(2),2f f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的大小即可求得最小值；（2）分三种情况讨论，可判断0a =符合题意，0
a <
不合题意，当0a >时，利用导数求出max ()f x f =，由0f ≤，解不等式可得结果. 【详解】
（1）∵1
(1)102
f a =-+
=，∴2a =. ∴()2212()2x f x x x x
-'=-=，2()2ln 1f x x x =-+，
令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >. ∴max ()(1)0f x f ==. 又13(2)2ln 232ln 224f f ⎛⎫⎛
⎫-=---+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭154ln 204=-<， ∴1(2)2f f ⎛⎫
<
⎪⎝⎭
，min ()(2)2ln 23f x f ==-. （2）当0a =时，2
()0f x x =-<，符合题意.
当0a >时，令()0f x '=，得x （负根舍去），
令()0f x '>，得0x <<
；令()0f x '<，得x >
∴()f x 在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减.
∴max ()f x f =ln ln 022a a a a =+=，∵0a >，∴ln 0a
， ∴01a
<
，∴02a <. 当0a <时，2
1
()ln 2
f x a x x a =-+在(0,)+∞上单调递减， 且ln y a x =与2
1
2
y x a =-
的图象在(0,)+∞上只有一个交点，设此交点为()00,x y ， 则当()00,x x ∈时，()0f x >，故当0a <时，不满足()0f x . 综上，a 的取值范围为[0,2]. 【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立
（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值
()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合
题意的参数范围.。