北京月坛中学-九年级上数学期中考试试题及答案.doc

北京市月坛中学2015-2016学年度第一学期九年级数学期中试题
（考试时间120分钟 满分120分）
班级:_______ 姓名:______ 成绩:______
一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1．如果5 : x =3 : 2，那么x 的值是( ) A ．
152 B ．215
C ．
310 D ． 10
3
2. 已知∠A 是锐角，且sinA=
2
2
，那么∠A 等于（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°
3. 抛物线y=(x+2)2
-3的对称轴是( )
A ．直线x ＝-3
B ．直线x ＝3
C ．直线x ＝-2
D ．直线x ＝2
4．若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为1︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为（ ） A ．1∶3 B ．1∶9 C ．1∶3 D ．3∶1 5． 已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=4
3
，BC=8，则AC 等于（ ） A ．6 B ．
32
3
C ．10
D ．12 6. 如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（ ）
A B C D 7.
将抛物线2
3y x =
如何平移得到抛物线2
3(5)1y
x =-+（ ）
A ．向左平移5个单位，向下平移1个单位 B.向左平移5个单位，向上平移1个单位 C ．向右平移5个单位，向下平移1个单位 D.向右平移5个单位，向上平移1个单位 8. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，当0y <时，
x 的取值范围是（ ）
A ．13x -<<
B ．3x >
C ．1x <-
D ．3x >或1x <-
P
9. 如图为二次函数2
y ax bx c =++的图象，此图象与x 轴的交点坐标分别为（1,0-）、（3，0）.下列说法正确的个数是 （ ） ①0ac < ②0a b c ++>
③方程2
0ax bx c ++=的根为11x =-，23x =
④当1x >时，y 随着x 的增大而增大
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10．如图，矩形ABCD 中，BC =4，AB =3，E 为边AD 上一点，DE =1，
动点P 、Q 同时从点C 出发，点P 沿CB 运动到点B 时停止，点 Q 沿折线CD —DE —EB 运动到点B 时停止，它们运动的速度都
是1cm/秒．设P 、Q 同时出发t 秒时，△CPQ 的面积为y cm 2
． 则y 与t 的函数关系图象大致是( )
二、填空题（本题共18分, 每小题3分）
11．若二次函数122-+=m x y 的图象经过原点，则m 的值是_________。

12．如图，∠
DAB
＝∠CAE ，要使△ABC ∽△ADE ，则补充 的一个条件可以是 （只需写出一个正确答案即可）．
13．如图，DE 与BC 不平行，当=AB （ ）
（ ）（ ）
时，ΔABC 与ΔADE 相似。

C
A B C D
14．如图，在河两岸分别有A 、B 两村，现测得A 、B 、D 在一条直
线上，A 、C 、E 在一条直线上，BC//DE ，DE=90米，BC=70米， BD=20米。

则A 、B 两村间的距离为 米. 15. 若
4
32z y x ==（x , y , z 均不为0）
，则z z
y x -+2的值 为 .
16. 我们定义：“四个顶点都在三角形边
上的正方形是三角形的内接正方形” ． 已知：在Rt△ABC 中，∠C =90°， AC=6，BC=3．
（1）如图1，四边形CDEF 是△ABC 的内接正方形，
则正方形CDEF 的边长a 1是 ；
（2）如图2，四边形DGHI 是（1）中△EDA 的内接正方形，则第2个正方形DGHI 的边长
a 2= ．
三、解答题
（本题共72分，第17-26题，每小题5分.第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17.
18. 已知二次函数的解析式是2
23y x x =-- （1）用配方法．．．
将2
23y x x =--化成 y =
a (x -
h) 2 +
k 的形式；
（2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；
（3）当x 为何值时，函数值y<0 .
︒+︒-︒+︒60tan 30cos 60sin 45sin 22图1 图2
G
I H F A
B C
D
E F A
B
C
D
E
19. 已知：如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，sinA=
5
4
，AB=13，CD=12 求:AC,AD,DB 的长和tanB 的值.
20. 如图，某人在点A 处测量树高，点A 到树的距离AD 为21米，将一长为2米的标杆BE 在与点A 相距3米 的点B 处垂直立于地面，此时，观察视线恰好经过标 杆顶点E 及树的顶点C ，求此树CD 的高．
21.二次函数2
y ax bx c =++的部分对应值如下表：
（1）二次函数图象所对应的顶点坐标为 . （2）当4x =时,=y .
22. 已知抛物线y=x 2
-2x-8，
（1）试说明该抛物线与x 轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B （A 在B 的左边），且它的顶点为P ，
求△ABP 的面积
23．如图，在△ABD 和△AEC 中，E 为AD 上一点，
若∠DAC =∠B ，∠AEC =∠BDA. 求证：AE ·AB=AC ·BD.
D
C
B
A E C
B
A
24. 如图，在△ACD 中，B 为AC 上一点，且C ADB ∠=∠，4=AC ，2=AD ，
求AB 的长．
25. 如图, 在正方形网格中，△ABC 的顶点和O 点都在格点上． （1）在图1中画出与△ABC 关于点O 对称的△A ′B ′C ′；
（2）在图2中以点O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2倍(只需画出一种即可). 解:
26. 如图，二次函数32
1++=bx ax y 的图象与x 轴相交于
点A （－3，0）、B （1，0），交y 轴点C ， C 、D 是二次函数图象上的关于对称轴的对称点，一次函数n mx y +=2的图象经过B 、D 两点．
（1）求二次函数的解析式及点D 的坐标；
（2）根据图象直接写出12y y >时，x 的取值范围．
27．已知二次函数32)1(22
2--++-=k k x k x y 与x 轴有两个交点． （1）求k 的取值范围；
（2）当k 取最小的整数时，求抛物线
32)1(22
2--++-=k k x k x y 的解析式.
（3）将(2)中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，
得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线m x y +=有三个不同
公共点时m 的值．
28． 如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD, ∠
D 重合),
ＰＥ⊥ＢＰ，ＰＥ交ＤＣ于点Ｅ．
（１）△ABP 与△DPE 是否相似？请说明理由； （２）设ＡＰ＝x ，ＤＥ=y ，求y 与x 之间的函数
关系式,并指出自变量x 的取值范围； （3）请你探索在点P 运动的过程中，四边形ABED 能否构成矩形？如果能，求出AP 的长； 如果不能，请说明理由；
A B
D P
E C
29．定义一种变换: 平移抛物线F 1得到抛物线F 2, 使F 2经过F 1的顶点A .
设F 2的对称轴分别交F 1、 F 2于点D 、 B , 点C 是点A 关于直线BD 的对称点. (1) 如图1, 若F 1: y = x 2
, 经过变换后, 得到F 2: y = x 2
+ bx , 点C 的坐标为(2,0), 则: ① b 的值等于 ; ② 四边形ABCD 的面积为 ;
(2) 如图2,若F 1: c ax y +=2, 经过变换后,点B 的坐标为(2, c -1), 求出△ABD 的面积; (3) 如图3,若F 1: 3
7
32312+-=
x x y , 经过变换后, AC =32, 点P 是直线AC 上的动点, 则点P 到点D 的距离和到直线AD 的距离之和的最小值为______________ .
图1 图2 图3
草稿纸
九年级数学期中考试答题纸（2015、11）
北京月坛中学2014-2015年学年度第一学期九年级数学期中试题答案
一．选择题 (本题共30分，每小题3分）
DBCBA BDACB
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．
21 12. ∠B=∠D 或∠C=∠AED 或AB:AD=AC:AE 13. AE AB =AC
AD 14. 70 15.1 16. a 1= 2 a 2= 3
4
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分.第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17. 解： -----4分
-----1分
18. 解：(1)y=(x-1)2
-4; --------2分 (2)略 -------2分 （3）-1<x<3 ------1分 19. 解： sinA=AC
CD -----1分 AC=15 -----1分
AD=9 -----1分 DB=4 -----1分 tanB=3-----1分
20．解：∵ CD⊥A D ，EB⊥AD，
∴ EB∥CD. ------1分 ∴ △ABE∽△ADC． ------1分 ′ ∴ AD
AB CD EB =．
------1分
∵ EB=2，AB=3，AD=21， ∴
21
3
CD 2=
． -----1分 ∴ CD=14．
答：此树高为14米． ------1分
21. 解：（1）（1，-4）------3分 （2）5y = ------2分
22. 解： y =x 2
-2x -8 a=1, b=-2, c=-8 △=4+32>0 有两个交点-------2分 S=27-----3分
()
23323
232222
+=+-+⋅
=︒+︒-︒+︒60tan 30cos 60sin 45sin 22
23. 证明： ∵∠DAC =∠B ，∠AEC =∠BDA. -------1分
∴△ABD ∽△CAE -------2分 ∴
AE AC
BD BA
=
. -------2分 24．证明：∵C ADB ∠=∠，------1分 ∠A=∠A ，------1分
∴△ADB ∽△ACD ， ------1分
∴
AC AD AD AB =------1分 ∴4
2
2=AB ∴AB=1------1分
25．解：（1）------3分 （2）------2分
26. 解：(1) y 1=-x 2
-2x+3 ------2分 D(-2,3) ------2分 (2) -2<x<1 ------1分
27. 解：（1）由题意，得01616)32(4)1(42
2
>+=---+=∆k k k k ，------1分 ∴1->k ． ∴k 的取值范围为1->k ． ------1分 （2）∵1->k ，且k 取最小的整数，∴0=k ．------1分
∴4)1(3222
--=--=x x x y ，------1分
（3）翻折后所得新图象如图所示.
平移直线m x y +=知: 直线位于1l 和2l 时，它
与新图象有三个不同的公共点．------1分
① 直线位于1l 时，此时1l 过点)0,1(-A ，
∴m +-=10，即1=m ． ------1分 ② 当直线位于2l 时，此时2l 与函数
)31(322
≤≤-++-=x x x y 的图象有一个公共点， ∴方程322
++-=+x x m x ，
即032
=+--m x x 有两个相等实根，∴0)3(41=--=∆m ， 即4
13
=
m ． ------1分
当413=
m 时，2121==x x 满足31≤≤-x ， 由①②知1=m 或413=m ． 28．解： (1) △ABP 与△DPE 相似------3分 (2) y=x x 2
5
212+-
(0<x<5) ------2分 (3) 存在，AP=1或AP=4 ------2分
29．解：(1) －2；2； ------2分 (2) ∵ 2F ： y ＝a (x －2)2
＋c －1，而A （0，c ）在2F 上，可得a ＝
4
1
． ∴ DB ＝（4a ＋c ）－（c －1）＝2， ∴ ABD S ∆＝2． ------2分 （3）当点C 在点A 的右侧时（如图1）， 设AC 与BD 交于点N ，抛物线3
732312+-=
x x y ，配方得2)1(31
2+-=x y ，
其顶点坐标是A （1，2）， ∵ AC ＝
点C 的坐标为)2321(，
+． ∵2F 过点A ， ∴2F 解析式为1)31(3
1
2+--=x y ， ∴ B （)1,31+， ∴ D （)3,31+，
∴ 1==ND NB ，∵ 点A 与点C 关于直线BD 对称，
∴DB AC ⊥，且NC ，AN =
∴ 四边形ABCD 是菱形． ∴ PD ＝PB ．
作AD PH ⊥交AD
于点H ， 则PD ＋PH ＝PB ＋PH ． 要使PD ＋PH 最小， 即要使PB ＋PH 最小，
此最小值是点B 到AD 的距离， 即△ABD 边AD 上的高h ． ∵DN ＝1，AN ＝3，AC DB ⊥，∴DAN ∠＝30°， 故ABD △是等边三角形． ∴ .32
3
==AD h ∴ 最小值为3． ------2分
当点C 在点A 的左侧时（如图2），同理， 最小值为3． 综上，点P 到点D 的距离和到直线AD 的距离之和
的最小值为3． ------2分。