黑龙江哈尔滨重点中学高三12月月考数学理科试题

黑龙江哈尔滨重点中学高三12月月考数学理科试题
注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题5分，共计60分）
1、若集合{
{}2|,|2,M x y N y y x x R ==
==-∈,则M
N = （ ）
A.[0,)+∞
B.[2,)-+∞
C.∅
D.[2,0)- 2.如图，执行程序框图后，输出的结果为（ ）
A ．8
B ．10
C ．12
D ．32
3.复数
21i
a bi i
=+-（i 是虚数单位，a 、b R ∈），则（ ） A ．1a =，1b = B ．1a =-，1b =- C ．1a =-， 1b = D ．1a =，1b =- 4.已知(1,2)a =-，(2,)b m =，若a b ⊥，则||b =（ ）
A ．
1
2
B ．1
C 5.下面四个条件中，使a>b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a>b ＋1 B ．a>b －1 C ．a 2>b 2
D ．a 3>b 3
6.已知约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x≥1，x ＋y －4≤0，
kx －y≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k
的值为( )
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．－2
7. 某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则
该几何体的
表面积为（ ）
A ．219cm π+
B ．2224cm π+
C ．2104cm π+
D ．2134cm π++
8.已知点P 是抛物线y 2=2x 上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A ．
B ．3
C ．
D ．
9.若函数()()22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线12x π=对称，且当12172123x x π
π⎛⎫
∈-
- ⎪⎝⎭
，，，12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +等于（ ）
A
B D 10.双曲线mx 2
﹣y 2
=1（m ＞0）的右顶点为A ，若该双曲线右支上存在两点B ，C 使得△ABC 为等腰直角三角形，则实数m 的值可能为（ ）
A ．
B ．1
C ．2
D ．3
11.已知函数f(x)＝|x －2|＋1，g(x)＝kx ，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )
A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1
C. (1，2)
D. (2，＋∞)
12．设函数())(2R a a x e x f x ∈-+=，e 为自然对数的底数，若曲线x y sin =上存在点()00,y x ，使得()()00y y f f =，则a 的取值范围是（ ）
A 、[]
e e ++--1,11 B 、[]e +1,1 C 、[]1,+e e D 、[]e ,1 二、填空题（每小题5分，共计20分）
13.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的体积是 cm 3
．
14.若直线l 1：2x －5y ＋20＝0，l 2：mx －2y －10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为__________。

15.《九章算术》中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有恒厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，则m 的值为，问何日相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进―尺，以后毎天加倍；小老鼠第一天也进―尺，以后每天减半，如果墙足够厚，n S 为前天两只老鼠打洞之和，则n S = 尺． 16．对于函数f(x)，若存在区间A
[m,n]，使得(){},y y f x x A A =∈=，则称函数f(x)为“可等域函数”，区间A
为函数f(x)的一个“可等域区间”．给出下列4个函数： ①()sin 2
f x x π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
；②()221f x x =-；③()12x f x =-；④()()2log 22f x x =-． 其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题10分）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB ＝3b 。

(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积。

18.（本题12分）
已知等比数列{a n }中，首项a 1＝3，公比q>1，且3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0(n ∈N *)。

(1)求数列{a n }的通项公式。

(2)设⎩⎨⎧⎭⎬
⎫b n ＋13a n 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n }的通项公式和前n 项和S n 。

19.（本题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，
2AD =，AC CD ==
（1）求证：PD ⊥平面PAB ；
（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；
20.（本题12分）设f(x)＝a(x －5)2
＋6lnx ，其中a ∈R ，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)。

(1)确定a 的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值。

21. （本题12分）已知O 为坐标原点，椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为21F F ，，右顶点为A ,
上顶点为B , 若|||,||,|2AB OF OB 成等比数列，椭圆C 上的点到焦点2F 的最短距离为26-.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设T 为直线3-=x 上任意一点，过1F 的直线交椭圆C 于点Q P 、，且01=⋅TF ，求|
||
|1PQ TF 的最小值.
22．（本题12分）设函数f(x)＝e mx
＋x 2
－mx.
(1)证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；
(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤e －1，求m 的取值范围．
理科数学参考答案
一、选择题（每题5分，共计60分）
12．A 曲线y sinx =上存在点()00,y x ，∴00[sin 11]y x =∈-，．函数())(2R a a x e x f x ∈-+=在[11]-，上单调递增．下
面证明00()f y y =．假设00()f y c y =>，则()000(())()f f y f c f y c y =>=>，不满足00(())f f y y =．同理假设
00()f y c y =<，则不满足00(())f f y y =．综上可得：00()f y y =．令函数()2x
f x e x a x =+-=，化为x a e x =+．令
()([]1)1x g x e x x =+∈-，．()10x g x e '=+>，∴函数()g x 在1
[]1x ∈-，单调递增．∴()111e g x e --≤≤+．∴a 的
取值范围是1
11e e --++⎡⎤⎣⎦，．故选：A ． 二、填空题（每题5分，共计20分）
13. 4 14．－5 15.1
1
212n
n --+ 16. ②③ 三、解答题 17.（10分）
18.（12分）解：(1)因为3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0(n ∈N *
)， 所以3(a n ·q 2＋a n )－10a n ·q＝0， 即3q 2－10q ＋3＝0， 又q>1，所以q ＝3，
因为a 1＝3，所以a n ＝3n
(2)因为⎩⎨⎧⎭⎬
⎫b n ＋13a n 是首项为1，公差为2的等差数列，
所以b n ＋1
3a n ＝1＋2(n －1)，
即{b n }的通项公式为b n ＝2n －1－3n －1。

前n 项和S n ＝－(1＋3＋32
＋…＋3
n －1
)＋[1＋3＋…＋(2n －1)]＝－1
2(3n －1)＋n 2
19.（12分）（1）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥， 所以⊥AB 平面PAD ，所以PD AB ⊥， 又因为PD PA ⊥，所以⊥PD 平面PAB ；
)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A -.
设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则
⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅,0,0PC n 即⎩
⎨⎧=-=--,02,
0z x z y 令2=z ，则2,1-==y x . 所以)2,2,1(-=.
又)1,1,1(-=，所以3
3
,cos
<
. 所以直线PB 与平面PCD
20.（12分）
＝8a －6，故
a ＝12。

(2)由(1)知，f(x)＝1
2(x －
5)2
＋6lnx(x ＞0)， f′(x)＝x －5＋6
x ＝
－
－
x。

令f′(x)＝0，解得x 1＝2，x 2＝3。

当0＜x ＜2或x ＞3时，f′(x)＞0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x ＜3时，f′(x)＜0，故f(x)在(2,3)上为减函数。

由此可知f(x)在x ＝2处取得极大值f(2)＝9
2＋6ln2，在x ＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln3。

21.（12分）解：（1）易知||||||22AB OB OF =，222b a b c +=，3
6
=
a c ① 而26-=
-c a ②
又222c b a +=，得2,6==
b a ，
故椭圆C 的标准方程为12
62
2=+y x .
（2）由（1）知)0,2(1-F ，∵01=⋅TF ，故TF ⊥1，设),3(m T -， ∴1||21+=
m TF ，直线1TF 的斜率为m -，
当0≠m 时，直线PQ 的斜率为
m
1
，直线PQ 的方程为2-=my x ； 当0=m 时，直线PQ 的方程为2-=x ，也符合方程2-=my x .
当且仅当1
2122
+=
+m m ，即1±=m 时，等号成立.
∴
||||1PQ TF 的最小值为3
3
. 22．（12分）解：(1)证明：f′(x)＝m(e mx
－1)＋2x.
若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f′(x)<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f′(x)>0. 若m<0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx
－1>0，f′(x)<0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx
－1<0，f′(x)>0. 所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知，对任意的m ，f(x)在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故f(x)在x ＝0处取得最小值．所
以对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，|f(x 1)－f(x 2)|≤e －1的充要条件是
⎩
⎪⎨
⎪⎧f （1）－f （0）≤e －1，f （－1）－f （0）≤e －1， 即⎩
⎪⎨⎪
⎧e m
－m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1. ① 设函数g(t)＝e t －t －e ＋1，则g′(t)＝e t
－1. 当t<0时，g′(t)<0；当t>0时，g′(t)>0.故g(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
又g(1)＝0，g(－1)＝e －1＋2－e<0，故当t ∈[－1，1]时，g(t)≤0. 故当m ∈[－1，1]时，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立； 当m>1时，由g(t)的单调性，知g(m)>0，即e m －m>e －1； 当m<－1时，g(－m)>0，即e －m ＋m>e －1. 综上，m 的取值范围是[－1，1]．。