江苏省苏州市南京师范大学苏州实验学校2020届高三数学上学期模拟考试试题(一)

江苏省苏州市南京师范大学苏州实验学校2020届高三数学上学期模
拟考试试题（一）
数学(满分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 已知集合A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝________．
2. 若复数z满足
z
a＋2i
＝i(i为虚数单位)，且实部和虚部相等，则实数a的值为________．
3. 某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组的人数为________．
(第3
题) (第4题)
4. 如图是某算法的伪代码，输出的结果S的值为________．
5. 现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从中随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为________．
6. 在等差数列{a n}中，a4＝10，前12项的和S12＝90，则a18的值为________．
7. 在平面直角坐标系xOy中，已知A是抛物线y2＝4x与双曲线x2
4
－
y2
b2
＝1(b>0)的一个交
点．若抛物线的焦点为F，且FA＝5，则双曲线的渐近线方程为____________________．
8. 若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象经过点(π
6
，2)，且相邻两条对称
轴间的距离为π
2
，则f(
π
4
)的值为________．
9. 已知正四棱锥PABCD的所有棱长都相等，高为2，则该正四棱锥的表面积为________．
10. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x 2
－5x ，则不等式f(x －1)>f(x)的解集为________．
11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若在圆M ：(x －4)2
＋(y －m)2
＝4上存在唯一一点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________．
12. 已知AD 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的高，点P 在DA 的延长线上，且满足(PB →
＋PC →)·AD →＝4 2.若AD ＝2，则PB →·PC →
的值为________．
13. 已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧|x ＋3|， x≤0，
x 3－12x ＋3，x>0.设g(x)＝kx ＋1，且函数y ＝f(x)－g(x)的图象经
过四个象限，则实数k 的取值范围是________．
14. 在△ABC 中，若sin C ＝2cos Acos B ，则cos 2
A ＋cos 2
B 的最大值为________． 二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
设向量a ＝(cos α，λsin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中λ>0，0<α<β<π
2
，且a ＋b 与a －b 互相垂直．
(1) 求实数λ的值；
(2) 若a·b ＝4
5，且tan β＝2，求tan α的值．
16. (本小题满分14分)
如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝AC ，A 1C⊥BC 1，AB 1⊥BC 1，D ，E 分别是AB 1和BC 的中点．求证：
(1) DE∥平面ACC1A1；
(2) AE⊥平面BCC1B1.
某公园内有一块以O为圆心，半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝120°，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都
不超过60米．设∠OAB＝α，α∈(0，π
3
)．问：对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的离心率为
2
2
，且椭圆C短轴的一
个顶点到一个焦点的距离等于 2.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设经过点P(2，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，点Q(m，0)．
①若对任意直线l总存在点Q，使得QA＝QB，求实数m的取值范围；
②设F为椭圆C的左焦点，若点Q为△FAB的外心，求实数m的值．
已知函数f(x)＝ln x－2x－2
x－1＋2a
，a>0.
(1) 当a＝2时，求函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程；
(2) 若对任意x∈[1，＋∞)，不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(3) 若函数f(x)存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数a的取值范围．
已知数列{a n}各项均为正数，且对任意n∈N*，都有(a1a2…a n)2＝a n＋1
1a n－1
n＋1.
(1) 若a1，2a2，3a3成等差数列，求a2
a1
的值；
(2) ① 求证：数列{a n}为等比数列；
② 若对任意n∈N*，都有a1＋a2＋…＋a n≤2n－1，求数列{a n}的公比q的取值范围．
2020届高三年级第二次模拟考试(十) 数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b a 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110－1，AB ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2141.
(1) 求a ，b 的值； (2) 求A 的逆矩阵A －1
.
B. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，
y ＝3t ＋2(t 为参数)，曲线C 的参数方程
为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，
y ＝3sin θ(θ为参数)，P 是曲线C 上的任意一点．求点P 到直线l 的距离的最大值．
C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分) 解不等式：|2x －1|－x≥2.
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A开始到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B集中，设C是其中的一个交叉路口点．
(1) 求甲经过点C的概率；
(2) 设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分布和数学期望．
23. (本小题满分10分)
平面上有2n(n≥3，n∈N*)个点，将每一个点染上红色或蓝色．从这2n个点中，任取3个点，记3个点颜色相同的所有不同取法的总数为T.
(1) 若n＝3，求T的最小值；
(2) 若n≥4，求证：T≥2C3n.
数学参考答案
1. {x|1<x<4}
2. －2
3. 18
4. 16
5. 35
6. －4
7. y ＝±23
3x 8. 3 9. 4＋4 3
10. (－2，3) 11. ±21 12. 2 13. ⎝⎛⎭⎫－9，1
3
14.
2＋1
2
15. (1) 由a ＋b 与a －b 互相垂直，可得(a ＋b )·(a －b )＝a 2
－b 2
＝0， 所以cos 2
α＋λ2
sin 2
α－1＝0.(2分) 又因为sin 2
α＋cos 2
α＝1， 所以(λ2
－1)sin 2
α＝0.(4分) 因为0<α<
π2
，所以sin 2α≠0，所以λ2
－1＝0. 又因为λ>0，所以λ＝1.(6分) (2) 由(1)知a ＝(cos α，sin α)．
由a·b ＝45，得cos αcos β＋sin αsin β＝4
5，
即cos(α－β)＝4
5.(8分)
因为0<α<β<
π2，所以－π
2
<α－β<0， 所以sin(α－β)＝－1－cos 2
（α－β）＝－35.(10分)
所以tan(α－β)＝
sin （α－β）cos （α－β）＝－3
4
，(12分)
因此tan α＝tan(α－β＋β)＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝1
2.(14分)
16. (1) 连结A 1B ，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1且AA 1＝BB 1， 所以四边形AA 1B 1B 是平行四边形． 又因为D 是AB 1的中点， 所以D 也是BA 1的中点．(2分)
在△BA 1C 中，D 和E 分别是BA 1和BC 的中点，所以DE ∥A 1C. 又因为DE
平面ACC 1A 1，A 1C 平面ACC 1A 1，
所以DE ∥平面ACC 1A 1.(6分)
(2) 由(1)知DE ∥A 1C ，因为A 1C ⊥BC 1， 所以BC 1⊥DE.(8分)
又因为BC 1⊥AB 1，AB 1∩DE ＝D ，AB 1，DE 平面ADE ，所以BC 1⊥平面ADE.
又因为AE
平面ADE ，所以AE ⊥BC 1.(10分)
在△ABC 中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点， 所以AE ⊥BC.(12分)
因为AE ⊥BC 1，AE ⊥BC ，BC 1∩BC ＝B ， BC 1，BC
平面BCC 1B 1，
所以AE ⊥平面BCC 1B 1.(14分)
17. 过点O 作OH 垂直于AB ，垂足为H. 在直角三角形OHA 中，OA ＝20，∠OAH ＝α， 所以AH ＝20cos α，因此AB ＝2AH ＝40cos α.(4分) 由图可知，点P 处的观众离点O 最远．(5分) 在三角形OAP 中，由余弦定理可知
OP 2＝OA 2＋AP 2
－2OA·AP·cos ⎝
⎛⎭⎫α＋2π3(7分)
＝400＋(40cos α)2
－2×20×40cos α·(－12cos α－32sin α)
＝400(6cos 2
α＋23sin αcos α＋1) ＝400(3cos 2α＋3sin 2α＋4) ＝8003sin ⎝
⎛⎭
⎫
2α＋
π3＋1 600.(10分) 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以当2α＝π6，即α＝π
12时，
(OP 2
)max ＝8003＋1 600， 即OP max ＝203＋20.(12分)
因为203＋20<60，所以观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米．(13分) 故对于任意α，上述设计方案均能符合要求．(14分) 18. (1) 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2， 所以b 2
＝a 2
－c 2
＝1，
所以椭圆C 的方程为 x 2
2＋y 2
＝1.(2分)
(2) 解法一：设直线的方程为y ＝k(x －2)，
代入椭圆C 的方程，消去y ，得(1＋2k 2
)x 2
－8k 2
x ＋8k 2
－2＝0. 因为直线l 交椭圆C 于两点，
所以Δ＝(－8k 2)2
－4(1＋2k 2
)(8k 2
－2)>0， 解得－
22<k<2
2
.(4分) 设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 2
1＋2k 2，x 1x 2＝8k 2
－2
1＋2k 2.
①设AB 的中点为M(x 0，y 0)，
则x 0＝x 1＋x 22＝4k 2
1＋2k 2，y 0＝k(x 0－2)＝－2k
1＋2k 2.(6分)
当k ≠0时，因为QA ＝QB ，所以QM ⊥l ， 即k QM ·k＝－
2k
1＋2k
2－04k
2
1＋2k
2－m ·k＝－1. 解得m ＝2k
2
1＋2k
2.(8分)
当k ＝0时，可得m ＝0，符合m ＝2k
2
1＋2k 2.
因此m ＝2k
2
1＋2k 2.
由0≤k 2
＝
m 2（1－m ）<12，解得0≤m<1
2
.(10分)
②因为点Q 为△FAB 的外心，且点F(－1，0)， 所以QA ＝QB ＝QF.
由⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋1）2
＝（x －m ）2
＋y 2
，x 2
2＋y 2
＝1，(12分) 消去y ，得x 2－4mx －4m ＝0， 所以x 1，x 2也是此方程的两个根， 所以x 1＋x 2＝4m ，x 1x 2＝－4m.(14分) 又因为x 1＋x 2＝8k 2
1＋2k 2，x 1x 2＝8k 2
－21＋2k
2，
所以8k 21＋2k 2＝－8k 2
－21＋2k 2，解得k 2
＝18，
所以m ＝2k 2
1＋2k 2＝15
.(16分)
解法二：①设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点为M(x 0，y 0)．
依题意⎩⎨⎧x 2
12
＋y 2
1＝1，x
22
2＋y 22
＝1，
两式作差，
得y 1－y 2x 1－x 2×y 0x 0＝－12(x 0≠0)． 又因为
y 1－y 2x 1－x 2＝k AB ＝y 0－0
x 0－2
， 所以y 2
0＝－12x 0(x 0－2)．
当x 0＝0时，y 0＝0，
符合y 2
0＝－12x 0(x 0－2)．(ⅰ)(4分)
又因为QA ＝QB ，所以QM ⊥l ，
所以(x 0－m)(x 0－2)＋(y 0－0)(y 0－0)＝0， 即y 2
0＝－(x 0－m)(x 0－2)．(ⅱ)(6分) 由(ⅰ)(ⅱ)，解得x 0＝2m ， 因此y 2
0＝2m －2m 2
.(8分)
因为直线l 与椭圆C 相交，所以点M 在椭圆C 内， 所以（2m ）2
2＋(2m －2m 2
)<1，解得m<12.
又y 2
0＝2m －2m 2≥0，所以0≤m ≤1. 综上，实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，1
2.(10分)
②因为点Q 为△FAB 的外心，且点F(－1，0)， 所以QA ＝QB ＝QF.
由⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋1）2
＝（x －m ）2
＋y 2
，x 2
2＋y 2
＝1消去y ， 得x 2
－4mx －4m ＝0.(ⅲ)(12分)
当y 0≠0时，则直线l 为y ＝－x 0
2y 0(x －2)，代入椭圆的方程，
得(2y 2
0＋x 2
0)x 2
－4x 2
0x ＋4x 2
0－4y 2
0＝0.
将(ⅰ)代入上式化简得x 2
－2x 0x ＋3x 0－2＝0.(ⅳ)
当y 0＝0时，此时x 0＝0，x 1＝－2，x 2＝2也满足上式．(14分) 由①可知m ＝x 02，代入(ⅲ)化简得x 2
－2x 0x －2x 0＝0.(ⅴ)
因为(ⅳ)(ⅴ)是同一个方程， 所以3x 0－2＝－2x 0，解得x 0＝2
5，
所以m ＝x 02＝1
5
.(16分)
19. (1) 当a ＝2时，f(x)＝lnx －
2x －2x ＋3，f′(x)＝1x －8（x ＋3）2，则f′(1)＝1
2
. 又因为f(1)＝0，所以函数f(x)的图象在x ＝1处的切线方程为y ＝1
2(x －1)，
即x －2y －1＝0.(2分)
(2) 因为f(x)＝ln x －2x －2
x －1＋2a ，
所以f′(x)＝1x －4a
（x －1＋2a ）
2
＝x 2
－2x ＋4a 2
－4a ＋1x （x －1＋2a ）2＝（x －1）2
＋4a 2
－4a x （x －1＋2a ）2
，(4分) 且f(1)＝0.因为a>0，所以1－2a<1. ①当4a 2
－4a ≥0，即a ≥1时，
因为f′(x)>0在区间(1，＋∞)上恒成立， 所以函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增． 当x ∈[1，＋∞)时，f(x)≥f(1)＝0， 所以a ≥1满足条件．(6分) ②当4a 2－4a<0，即0<a<1时，
由f′(x)＝0，得x 1＝1－2a －a 2
∈(0，1)， x 2＝1＋2a －a 2
∈(1，＋∞)， 当x ∈(1，x 2)时，f′(x)<0，
则函数f(x)在区间(1，x 2)上单调递减，
所以当x ∈(1，x 2)时，f(x)<f(1)＝0，这与x ∈[1，＋∞)时，f(x)≥0恒成立矛盾， 所以0<a<1不满足条件．
综上，实数a 的取值范围为[1，＋∞)．(8分) (3) ①当a ≥1时，
因为函数f′(x)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立， 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)不存在极值， 所以a ≥1不满足条件；(9分) ②当1
2
<a<1时，1－2a<0，
所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由f′(x)＝0，得x 1＝1－2a －a 2
∈(0，1)， x 2＝1＋2a －a 2
∈(1，＋∞)． 列表如下：
由于函数f(x)在区间(x 1，x 2)是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意， 所以1
2<a<1不满足条件．(11分)
③当a ＝1
2时，由f′(x)＝0，得x ＝2.
列表如下：
此时函数f(x)仅存在极小值，不合题意， 所以a ＝1
2
不满足条件．(12分)
④当0<a<1
2时，函数f(x)的定义域为(0，1－2a)∪(1－2a ，＋∞)，
且0<x 1＝1－2a －a 2
<1－2a ， x 2＝1＋2a －a 2
>1－2a. 列表如下：
所以函数f(x)存在极大值f(x 1)和极小值f(x 2)，(14分) 此时
f(x 1)－f(x 2)＝ln x 1－
2x 1－2x 1－1＋2a －ln x 2＋2x 2－2x 2－1＋2a ＝ln x 1
x 2
－
4a （x 1－x 2）
（x 1－1＋2a ）（x 2－1＋2a ）
.
因为0<x 1<1－2a<x 2，
所以ln x 1
x 2<0，x 1－x 2<0，x 1－1＋2a<0，x 2－1＋2a>0，
所以f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， 所以0<a<1
2
满足条件．
综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，1
2.(16分)
20. (1) 因为(a 1a 2)2
＝a 3
1a 3，所以a 2
2＝a 1a 3， 因此a 1，a 2，a 3成等比数列．(2分)
设公比为t ，因为a 1，2a 2，3a 3成等差数列， 所以4a 2＝a 1＋3a 3，即4×a 2a 1＝1＋3×a 3
a 1，
于是4t ＝1＋3t 2
，解得t ＝1或t ＝13，
所以a 2a 1＝1或1
3
.(4分)
(2) ①因为(a 1a 2…a n )2
＝a n ＋11a n －1
n ＋1， 所以(a 1a 2…a n a n ＋1)2
＝a n ＋21a n n ＋2， 两式相除得a
2
n ＋1
＝a 1·a n
n ＋2
a n －1n ＋1
，
即a n ＋1
n ＋1＝a 1a n n ＋2，(*)(6分) 由(*)，得a n ＋2
n ＋2＝a 1a n ＋1
n ＋3，(**) (*)(**)两式相除得a n ＋2
n ＋2a n ＋1n ＋1＝a n ＋1
n ＋3
a n n ＋2，
即a 2n ＋2
n ＋2＝a n ＋1n ＋1a n ＋1
n ＋3， 所以a 2n ＋2＝a n ＋1a n ＋3，
即a 2n ＋1＝a n a n ＋2，n ≥2，n ∈N *
，(8分) 由(1)知a 2
2＝a 1a 3，所以a 2
n ＋1＝a n a n ＋2，n ∈N *
， 因此数列{a n }为等比数列．(10分) ②当0<q ≤2时，
由n ＝1时，可得0<a 1≤1， 所以a n ＝a 1q
n －1≤2
n －1
，
因此a 1＋a 2＋…＋a n ≤1＋2＋…＋2n －1
＝2n
－1，
所以0<q ≤2满足条件．(12分) 当q>2时，
由a 1＋a 2＋…＋a n ≤2n
－1，得a 1（1－q n
）1－q
≤2n
－1，
整理得a 1q n ≤(q －1)2n
＋a 1－q ＋1.(14分) 因为q>2，0<a 1≤1，所以a 1－q ＋1<0， 因此a 1q n
<(q －1)2n
，即⎝⎛⎭⎫q 2n <q －1a 1
， 由于q 2>1，因此n<log q 2q －1a 1，与任意n ∈N *
恒成立相矛盾，
所以q>2不满足条件．
综上，公比q 的取值范围为(0，2]．(16分) 21. A. (1) 因为A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2b a 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110－1，AB ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2141，
所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝1，a ＝4，a －3＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，
a ＝4.(4分)
(2) 因为|A |＝2×3－1×4＝2，(6分)
所以A
－1
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32
－
12
－4
2
22
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
3
2
－
12－2
1.(10分) B. 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，
y ＝3t ＋2
(t 为参数)，化为普通方程为3x －y ＋2＝0.(2分)
设点P(cos θ，3sin θ)，
则点P 到直线l 的距离d ＝|3cos θ－3sin θ＋2|（3）2
＋1
＝
⎪⎪⎪
⎪
6cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋22
，(6分)
取θ＝－
π
4时，cos ⎝
⎛⎭⎫θ＋π4＝1，此时d 取最大值，
所以距离d 的最大值为
6＋2
2
.(10分) C. 当x ≥1
2时，由2x －1－x ≥2，得x ≥3.(4分)
当x<12时，由1－2x －x ≥2，得x ≤－1
3.(4分)
综上，原不等式的解集为{x|x ≥3或x ≤－1
3}．(10分)
22. (1) 设“甲从进口A 开始到出口B 经过点C ”为事件M ，
甲选中间的路的概率为13，在前面从岔路到达点C 的概率为1
2，这两个事件相互独立，所以选
择从中间一条路走到点C 的概率为P 1＝13×12＝1
6
.(2分)
同理，选择从最右边的道路走到点C 的概率为P 2＝13×12＝1
6.
因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥， 所以P(M)＝P 1＋P 2＝16＋16＝1
3
.
故甲从进口A 开始到出口B 经过点C 的概率1
3.(4分)
(2) 随机变量可能的取值X ＝0，1，2，3，4，(5分) 则P(X ＝0)＝C 04
×⎝⎛⎭⎫130×⎝⎛⎭⎫234
＝16
81
，
P(X ＝1)＝C 14
×⎝⎛⎭⎫131×⎝⎛⎭⎫233
＝32
81
，
P(X ＝2)＝C 24
×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232
＝24
81
，
P(X ＝3)＝C 34
×⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫231
＝8
81
，
P(X ＝4)＝C 44
×⎝⎛⎭⎫134×⎝⎛⎭⎫230
＝1
81
，(8分)
概率分布为：
数学期望E(X)＝0×16
81＋1×
32
81
＋2×
24
81
＋3×
8
81
＋4×
1
81
＝
4
3
.(10分)
23. (1) 当n＝3时，共有6个点，
若染红色的点的个数为0或6，
则T＝C36＝20；
若染红色的点的个数为1或5，
则T＝C35＝10；
若染红色的点的个数为2或4，
则T＝C34＝4；
若染红色的点的个数为3，则T＝C33＋C33＝2；
因此T的最小值为2.(3分)
(2) 首先证明：任意n，k∈N*，n≥k，有C k n＋1>C k n.
证明：因为C k n＋1－C k n＝C k－1
n>0，所以C k
n＋1>C
k
n.
设这2n个点中含有p(p∈N，p≤2n)个染红色的点，①当p∈{0，1，2}时，
T＝C32n－p≥C32n－2＝（2n－2）（2n－3）（2n－4）
6
＝4×（n－1）（n－2）（2n－3）
6
.
因为n≥4，所以2n－3>n，
所以T>4×n（n－1）（n－2）
6
＝4C3n>2C3n.(5分)
②当p∈{2n－2，2n－1，2n}时，T＝C3p≥C32n－2，
同理可得T>2C3n.(6分)
③当3≤p≤2n－3时，
T＝C3p＋C32n－p，
设f(p)＝C3p＋C32n－p，3≤p≤2n－3，当3≤p≤2n－4时，
f(p＋1)－f(p)＝C3p＋1＋C32n－p－1－C3p－C32n－p＝C2p－C22n－p－1，显然p≠2n－p－1，
当p>2n－p－1即n≤p≤2n－4时，f(p＋1)>f(p)，
当p<2n－p－1即3≤p≤n－1时，f(p＋1)<f(p)，
即f(n)<f(n＋1)<…<f(2n－3)；f(3)>f(4)>…>f(n)；因此f(p)≥f(n)＝2C3n，即T≥2C3n.
综上，当n≥4时，T≥2C3n.(10分)。