2019届高三文科数学一轮复习导学案(教师用书)：第9章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率、直线方程

第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫作直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的取值范围为[0，π). 2．直线的斜率
(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan_θ.
(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1
x 2－x 1.
3．直线方程的几种形式
(1)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条
直线都存在斜率．
(2)根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围．
(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． (4)由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B
.
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )
(4)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )
(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2．(教材习题改编)直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°
D ．120°
解析：选B 设直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为α，k ＝tan α＝3，且0°≤α<180°，∴α＝60°.
3．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )
A ．1
3
B ．－1
3
C ．－3
2
D ．23
解析：选B 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋7＝2，
b ＋1＝－2，
解得a ＝－5，b ＝－
3，从而可知直线l 的斜率为
－3－17＋5
＝－1
3.
4．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为______.
解析：k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －3
5－4
＝a －3.
由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案：4
5．(教材习题改编)过点P (2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为______________. 解析：当纵、横截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时， 设直线方程为x a ＋y
a ＝1，
则2a ＋3
a ＝1，解得a ＝5. 所以直线方程为x ＋y －5＝0. 答案：3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0
直线的倾斜角与斜率 [明技法]
求倾斜角的取值范围的2个步骤及1个注意点 (1)2个步骤：
①求出斜率k ＝tan α的取值范围；
②利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． (2)1个注意点：
求倾斜角时要注意斜率是否存在． [提能力]
【典例】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭
⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤
π6，π3 B ．⎣⎡⎦⎤
π4，π3 C ．⎣⎡⎦⎤π4，π2
D ．⎣⎡⎦⎤π4，2π3
(2)若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π
4，则y 等于________．
解析：(1)k ＝2cos α，α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，∴cos α∈⎣⎡⎦
⎤12，32，
1≤k ≤3，∴1≤tan θ≤3(θ为倾斜角)． 由于0≤θ＜π，∴π4≤θ≤π
3
.
(2)由k ＝－3－2y －12－4＝tan 3π
4＝－1.得－4－2y ＝2，∴y ＝－3.
答案：(1)B (2)－3 [刷好题]
1．经过点P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2，1)的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角α的范围是________．
解析：方法一 如图所示，k P A ＝－2－(－1)
1－0
＝－1，
k PB ＝
1－(－1)
2－0
＝1，由图可观察出： 直线l 倾斜角α的范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π∪⎣⎡⎦⎤
0， π4.
方法二 由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＋1＝kx ，即kx －y －1＝0.∵A ，B 两点在直线的两侧或其中一点在直线l 上，∴(k ＋2－1)(2k －1－1)≤0，即2 (k ＋1)(k －1)≤0，∴－1≤k ≤1.∴直线l 的倾斜角α的范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π∪⎣⎡⎦⎤0， π4.
答案：⎣⎡⎭⎫3π4，π∪⎣⎡⎦⎤
0， π4
2．(2018·常州模拟)若ab ＜0，则过点P ⎝⎛⎭⎫0，－1b 与Q ⎝⎛⎭⎫1
a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．
解析：k PQ ＝－1
b －00－1a ＝a
b <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值
范围为⎝⎛⎭⎫
π2，π.
答案：⎝⎛⎭⎫
π2，π
直线方程 [明技法]
1．求直线方程的方法
(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．
(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程．
2．直线方程求法中2个注意点
(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．
[提能力]
【典例】 根据下列条件，分别写出直线的方程： (1)经过点A (－3,2)，B (－3,5)； (2)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010
； (3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.
解：(1)显然A 、B 的横坐标相同，故直线AB 与y 轴平行，其方程为x ＝－3. (2)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝
10
10
(0≤α＜π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±1
3.
故所求直线方程为y ＝±1
3(x ＋4)．
即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.
(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，
则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.
由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝3
4
.
故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. [刷好题]
求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P (3,2)且在两坐标轴上的截距相等；
(2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－1
4倍．
解：(1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝2
3x ，即2x －3y ＝0.
若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y
a ＝1，
∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2
a ＝1，
∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，
综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)设所求直线的斜率为k ， 依题意k ＝－14×3＝－3
4.
又直线经过点A (－1，－3)，
因此所求直线方程为y ＋3＝－3
4(x ＋1)，
即3x ＋4y ＋15＝0.
直线方程的综合应用 [析考情]
直线及其方程在高考中单独命题的较少，通常与其他知识结合起来进行考查，有两种常见方式：一是与导数结合，求曲线的斜率、倾斜角和切线方程等；二是与圆、圆锥曲线结合，考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系等．
[提能力]
命题点1：与直线方程有关的最值问题
【典例1】 (2018·潍坊模拟)直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点，当|OA |＋|OB |最小时，求直线l 的方程．
解：依题意，直线l 的斜率存在且斜率为负， 设直线l 的斜率为k ，
则直线l 的方程为y －4＝k (x －1)(k ＜0)． 令y ＝0，可得A ⎝⎛⎭⎫1－4
k ，0； 令x ＝0，可得B (0,4－k )．
|OA |＋|OB |＝⎝⎛⎭⎫1－4k ＋(4－k )＝5－⎝⎛⎭⎫k ＋4k ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－k ＋4－k ≥5＋4＝9.
∴当且仅当－k ＝4
－k
且k ＜0，
即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值．这时直线l 的方程为2x ＋y －6＝0. 命题点2：由直线方程解决参数问题
【典例2】 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围． (1)证明：直线l 的方程是k (x ＋2)＋(1－y )＝0，
令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2，y ＝1，
∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．
(2)解：由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－
1＋2k
k
，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则⎩⎨
⎧
－1＋2k k ≤－2，
1＋2k ≥1，
解得k ＞0；
当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.
[悟技法]
处理直线方程综合应用的2大策略
(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．
(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
[刷好题]
1．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．
解：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)， 直线l 1在y 轴上的截距为2－a ， 直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，
所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．
2．如图所示，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝1
2x 上时，求直线AB 的方
程．
解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－3
3
，∴l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33
x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， ∴AB 的中点C ⎝
⎛⎭
⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝1
2x 上，且A 、P 、B 三点共线， 得⎩⎨⎧
m ＋n 2＝12·m －3n
2
，m －0m －1＝n －0
－3n －1，
解得m ＝3，∴A (3，3)． 又P (1,0)，∴k AB ＝k AP ＝
3
3－1＝3＋32.
∴l AB ：y ＝3＋3
2(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。