高考数学文科一轮复习题组训练：第八篇解析几何(人教A版)_3

第5讲 椭 圆
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2
＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 ( )．
A ．23
B ．6
C ．43
D ．12
解析 由椭圆的定义知：|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a (F 是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a ＝4 3. 答案 C
2．(2014·广州模拟)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为4
5，则k 的值为
( )．
A ．－21
B ．21
C ．－19
25或21
D.19
25或21 解析 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，
由c a ＝45，即
5－k 3＝45，解得k ＝－19
25；
若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，
由c a ＝4
5，即k －5
4＋k
＝4
5，解得k ＝21. 答案 C
3．(2014·韶关模拟)已知椭圆x 210－m ＋y 2
m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m
等于
( )．
A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
解析 将椭圆的方程转化为标准形式为
y 2(m －2)
2
＋
x 2(
10－m )
2
＝1，
显然m －2＞10－m ，即m ＞6，且(m －2)2－(10－m )2＝22，解得m ＝8.
答案 D
4．(2014·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为 ( )．
A.x 28＋y 2
6＝1 B.x 216＋y 2
6＝1 C.x 28＋y 2
4＝1
D.x 216＋y 2
4＝1
解析 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点(2，3)在椭圆上知4a 2＋3
b 2＝1.
又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， 则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|， 即2a ＝2·2c ，c a ＝12，
又c 2＝a 2－b 2，联立解得a 2＝8，b 2＝6. 答案 A
5．(2013·辽宁卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝4
5，则C
的离心率为
( )．
A.3
5 B.5
7 C.4
5
D.67
解析 如图，设|AF |＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝4
5
.
解得x ＝6，∴∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，∠F AF 1＝∠F AB ＋∠FBA ＝90°，△F AF 1是直角三角形，所以|F 1F |＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，∴c a ＝57. 答案 B 二、填空题
6．(2014·青岛模拟)设椭圆x 2m 2＋y 2
n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为1
2，则此椭圆的方程为________．
解析 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴m 2－n 2＝4①，e ＝12＝2
m ，∴m ＝4，代入①得，n 2
＝12，∴椭圆方程为x 216＋y 2
12＝1.
答案 x 216＋y 2
12＝1
7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 解析 由题意知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，PF 1→⊥PF 2→， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4
c 2， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2， ∴2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2. ∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，
∴S△PF1F2＝1
2|PF1|·|PF2|＝1
2×2b
2＝b2＝9.
∴b＝3. 答案 3
8．(2013·福建卷)椭圆Γ：x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为
2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
解析因为直线y＝3(x＋c)过椭圆左焦点，且斜率为3，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，
故|MF1|＝c，|MF2|＝3c
由点M在椭圆上知，c＋3c＝2a.
故离心率e＝c
a ＝2
3＋1
＝3－1.
答案3－1
三、解答题
9．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．
解(1)依题意得|F1F2|＝2，
又2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，
∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a.∴a＝2，c＝1，b2＝3.
∴所求椭圆的方程为x2
4＋
y2
3＝1.
(2)设P点坐标为(x，y)，
∵∠F2F1P＝120°，
∴PF1所在直线的方程为y＝(x＋1)·tan 120°，即y＝－3(x＋1)．
并注意到x ＜0，y ＞0，可得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝－8
5，y ＝335.
∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·335＝33
5.
10．(2014·绍兴模拟)如图，椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．已知点M ⎝
⎛⎭⎪⎫
3，22在椭圆上，且点M 到两焦点距离之和为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设与MO (O 为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A ，B (A ，B 不重合)，求OA →·OB →
的取值范围．
解 (1)∵2a ＝4，∴a ＝2， 又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫
3，22在椭圆上，
∴34＋1
2b 2＝1，解得b 2＝2， ∴所求椭圆方程x 24＋y 2
2＝1.
(2)由题意知k MO ＝6
6，∴k AB ＝－ 6. 设直线AB 的方程为y ＝－6x ＋m ，
消去y ，得13x 2－46mx ＋2m 2－4＝0，
Δ＝(46m )2－4×13×(2m 2－4)＝8(12m 2－13m 2＋26)＞0， ∴m 2＜26，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝46m
13，x 1x 2＝2m 2－413，
则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝7x 1x 2－6m (x 1＋x 2)＋m 2
＝3m 2－2813∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2813，5013.
∴OA →·OB
→的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－2813，5013. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2014·潍坊模拟)已知椭圆：x 24＋y 2
b 2＝1(0＜b ＜2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )． A ．1 B.2 C.3
2
D. 3
解析 由题意知a ＝2，所以|BF 2|＋|AF 2|＋|AB |＝4a ＝8，因为|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，所以|AB |的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，32，B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－c ，－32，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝9
4b 2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3. 答案 D
2．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a
2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为
( )．
A.1
2 B.2
3 C.3
4 D.45
解析
令c ＝
a 2－
b 2.如图，据题意，|F 2P |＝|F 1F 2|，∠F 1PF 2＝30°，∴∠F 1F 2P ＝120°，
∴∠PF 2x ＝60°，
∴|F 2P |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫
3a 2－c ＝3a －2c .
∵|F 1F 2|＝2c ，∴3a －2c ＝2c ，
∴3a ＝4c ，∴c a ＝34，即椭圆的离心率为3
4. 答案 C 二、填空题
3．(2014·陕西五校联考)椭圆x 2a 2＋y 2
5＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B .若△F AB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________． 解析
设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .
又△F AB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ， 当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立． 此时4a ＝12，则a ＝3.
故椭圆方程为x 29＋y 2
5＝1，所以c ＝2， 所以e ＝c a ＝2
3. 答案
23
三、解答题
4．(2014·河南省三市调研)已知圆G ：x 2
＋y 2
－2x －2y ＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b
＞0)的右焦点F 及上顶点B .过椭圆外一点M (m,0)(m ＞a )作倾斜角为5
6π的直线l 交椭圆于C ，D 两点． (1)求椭圆的方程；
(2)若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围． 解 (1)∵圆G ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0经过点F ，B ， ∴F (2,0)，B (0，2)， ∴c ＝2，b ＝2，
∴a 2＝b 2＋c 2＝6，椭圆的方程为x 26＋y
22＝1.
(2)由题意知直线l 的方程为y ＝－3
3(x －m )，m ＞6， 由⎩⎪⎨
⎪⎧
x 26＋y 22＝1，
y ＝－3
3(x －m )，
消去y ，得2x 2－2mx ＋(m 2－6)＝0. 由Δ＝4m 2－8(m 2－6)＞0， 解得－23＜m ＜2 3. ∵m ＞6，∴6＜m ＜2 3.
设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－6
2，
∴y 1y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33(x 1－m )·
⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3
3(x 2－m )＝13x 1x 2－m 3(x 1＋x 2)＋m 23. ∵FC →＝(x 1－2，y 1).FD →＝(x 2－2，y 2
)，
∴FC →·FD →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝43x 1x 2－m ＋63(x 1＋x 2)＋m 23＋4＝2m (m －3)3.
∵点F 在圆E 内部， ∴FC →·FD →＜0， 即
2m (m －3)
3
＜0， 解得0＜m ＜3. 又6＜m ＜23， ∴6＜m ＜3.
故m 的取值范围是(6，3)．。