荆州市2007-2008学年下学期高一期末试题(数学理)

湖北省荆州市07－08学年下学期高一期末考试
数 学（理）
注意事项：
1.本试卷三大题21道小题，满分150分，考试用时120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填在试卷答题卡上。

3.第1至10小题选出答案后，用2B 铅笔把答案卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

第11至21题用钢笔或圆珠笔在答题卡上作答，答在试题卷上的无效。

4.考试结束，只交答题卡。

本科目考试时间：2008年6月27日15：00--17：00
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案卡上对应题目的答案标号涂黑，多涂、不涂或涂错均得0分。

1.设全集U =R ，集合{|0}A x x =<，{|||1}B x x =>，则集合()U A
B ð等于
.A φ .B {|1x -≤0}x < .C {|0x x <≤1} .D {|1x -≤x ≤1}
2.若1cos()2πα-=-
，则3sin()2
π
α+等于
.A 2-
.B 12 .C 2± .D 1
2
- 3.已知ABC ∆，则“sin cos A B >”是“ABC ∆是锐角三角形”的
.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件
4.有以下四种变换方式：①向左平行移动
4
π
个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的12倍；②向右平行移动8
π
个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的12倍；③每个点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平行移动8
π
个单位长度；④每个点的横坐标缩短为
原来的12倍，再向左平行移动8
π
个单位长度。

其中能将函数sin y x =的图象变为函数
sin(2)4
y x π
=+的图象的是
.A ①和④ .B ①和③ .C ②和④ .D ②和③
5. 已知定义域为R 的函数()f x 在(4,)+∞上为增函数，且函数(4)y f x =+为偶函数，则
.A (2)(5)f f > .B (2)(6)f f > .C (3)(6)f f > .D (3)(7)f f >
6.
已知sin cos θθ+=
，且2
π
≤θ≤34π，则cos2θ的值等于 .
A 5-
.B 24
25
.
C 5- .
D 10 7.已知函数()l o g (
01)a f x x a a =>≠且，
其反函数为1
()f x -，若1(2)9f -=，则
1
()(6)
2
f f +的值为 .A 2 .B 1 .C 12 .D 1
2
-
8.已知平面向量(1,1)=a ,(1,1)=-b ,(1,2)=-c ，则向量
13
22
-a b 与c .A 垂直 .B 不垂直也不平行 .C 平行且同向 .D 平行且反向
9.已知单位向量、12e e 的夹角为60，向量=+12a e e ，2=-21b e e ，则向量a 与b 的夹角是
.A 30 .B 60 .C
120 .D
150
10.如图，设O 为ABC ∆的内心，当5A B A C ==，6BC =时，
(,)A O A B B C λμλμ=+∈R ，则λμ+的值为
.A 34 .B 1316 .C 78 .D 1516
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中相应的横线上。

11．函数sin cos y x x =+的单调递增区间是 。

12．已知{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，若415S =，公比2q =，则8S = 。

13．sin 50(1tan 60tan10)+= 。

14．已知1cos 7α=
，13cos()14αβ-=，且02
π
βα<<<，则β= 。

15．已知元素为实数的集合A 满足条件：若a A ∈，则
11a
A a
+∈-，那么集合A 中所有元素的乘积为 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本大题满分12分） 设(0,
)4π
ϕ∈，函数2()sin ()f x x ϕ=+，且3
()44
f π= ⑴求ϕ的值；
⑵若[0,
]2
x π
∈，求()f x 的最大值及相应的x 值
17．（本大题满分12分） 函数()2a
f x x x
=-
的定义域为(0,1]（a 为实数） ⑴若函数()y f x =在定义域上是减函数，求a 的取值范围； ⑵若()5f x >在定义域上恒成立，求a 的取值范围 18．（本大题满分12分） 在ABC ∆中，若1
tan 3
A =
,150C =,BC ⑴求AB 的长；
⑵求ABC ∆的面积。

19．（本大题满分12分）
已知αβ、是锐角三角形的两个内角，且3sin()5αβ+=, 1sin()5
αβ-= ⑴求证:tan 2tan αβ=； ⑵求tan β的值。

20．（本大题满分13分）
已知各项为实数的数列{}n a 为等差数列。

（n N *
∈）
⑴若13a =，公差1d =，且2
123m a a a a +++
+≤48，求正整数m 的最大值；
⑵设1221m m m S a a a +++=++
+，m N *∈，对于给定的正整数m ，若22111m a a ++=，求S
的最大值（用含m 的式子表示）。

21．（本大题满分14分）
已知向量(s i n ()x ωϕ=+a ，(1,cos())x ωϕ=+b ，(0,||)4
π
ωϕ><
，函数
()()()f x =+-a b a b ，()y f x =的图象的相邻两对称轴之间的距离为2，且过点
7(1,)2
M 。

⑴求()f x 的解析式；
⑵求(0)(1)(2)(3)(2008)f f f f f +++++的值；
⑶将函数()y f x =的图象按向量(,)m n =d 平移，使平移后的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的向量d 。

参考答案及评分说明
一、选择题
BDBAA
ABDCD
二、填空题 11．3[2,2]()44k k k ππππ-
+∈Z ； 12. 255； 13. 1 ； 14. 3
π
； 15. 1- 。

三、解答题
16．解：⑴∵2113
()sin ()[1cos(2)](1sin 2)442224
f πππϕϕϕ=+=-+=+= （2分） ∴1
sin 22
ϕ= ∵(0,)4π
ϕ∈，∴2(0,)2
π
ϕ∈ ∴26
πϕ=
，
12
πϕ=
（6分）
⑵由（1）得2
11
()sin ()cos(2)12262f x x x π
π=+
=-++ ∵0≤x ≤2π，∴6
π
≤26x π+≤76π
当26x ππ+=，即512x π=时，cos(2)6
x π+取得最小值1-
∴()f x 在[0,
]2
π上的最大值为1，
此时512
x π
= （12分） 17．解：⑴任取12,(0,1]x x ∈，且12x x <，则12()()f x f x >恒成立 即1212
()(2)0a
x x x x -+
>恒成立 即122a x x <-恒成立 而122(2,0)
x x -∈-，所以
a
≤
2-
（6分）
⑵ 若()5f x >在定义域(0,1]上恒成立，即
225x x a ->在(0,1]x ∈时恒成立
又2
2
525
()252()[3,0)4
8
g x x x x =-=--∈- 则
a
的取
值
范
围
为
(,3)-∞-
（12分）
18．解：⑴由22sin 1tan cos 3sin cos 1
A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，得2
21sin 10
9cos 10A A ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（2分） ∵ABC ∆中，150C =，∴90A <
因
此
sin 10
A =
（4分） 由正弦定理得，
sin sin AB BC
C A
=
则
sin15010
10
AB =
，∴AB =（6
分）
⑵由余弦定理得22
2
2
51
cos 210
AC AC AB BC A AC AB AC
+-+-===
∴AC =，又AB
最大，∴AC = （10分）
∴1110331033
sin 2222108
ABC S AC AB A ∆--=== （12
分）
19．⑴证明：∵3sin()5αβ+=
, 1sin()5
αβ-= ∴3sin cos cos sin 51sin cos cos sin 5αβαβαβαβ⎧
+=⎪⎪⎨⎪-=
⎪⎩
即2sin cos 5
1cos sin 5αβαβ⎧=⎪⎪⎨
⎪=
⎪⎩
tan 2tan αβ⇒= ∴tan 2tan αβ= (6分) ⑵解：∵αβ、是锐角三角形的两个内角，∴2
π
αβπ<+<
故4cos()5αβ+=-，∴3
tan()4
αβ+=- （8分） 即
tan tan 31tan tan 4
αβαβ+=-
-
将tan 2tan αβ=代入上式并整理得：
22tan 4tan 10ββ--=
解得2tan 2
β=
（12分） 20．解：⑴由2
123m a a a a ++++≤48，
可得2
11123m a a a a a a -++++
+≤48，又13,1a d ==
∴(1)
632
m m m -++
≤48 整理得2
584m m +-≤0
∴12-≤m ≤7
即正整数m 的最大值7 （6分）
（2）由22
111m a a ++=
不妨假设1cos a x =，1sin m a x += （7分）
∵{}n a 成等差数列∴公差sin cos x x
d m
-= （9
分）
12211(1)m m m m S a a a S m md ++++=++
+=++ （10
分）
11(1)()
(1)2
m m a a m m d +++=
++
(1)(cos sin )sin cos (1)
2m x x x x
m m m
++-=++ 3(1)1sin cos 22
m m x x ++=+
)x ϕ=+
1)sin()m x ϕ=
++ （12分）
∴1)m +≤S 1)m +
于是S 1)m + （13分） 21．解
：
⑴
2
2
(
)
(
f x ω
ϕ
=+-a
b a
cos(22)3x ωϕ=-++
由题意知，周期2222T πω=
=⨯，∴4π
ω= 又图象过M 点，∴73cos(2)22
π
ϕ=-+
即1sin 22ϕ=，∵44
ππϕ-<< ∴2,6
12
π
π
ϕϕ=
⇒=
∴()3cos()26
f x x π
π
=-+
（4分）
⑵()y f x =的周期4T =
又11
(0)(1)(2)(3)(3)(3)(3)(3)122222
f f f f +++=-+++++-= ∴
(0)(1)(2)(3)(2008)502[(0)(1)(2)(3)](2008)f f f f f f f f f f +++++=++++
50212(0)6027f =⨯+= （8分） （3）函数()y f x =的图象按向量(,)m n =d 平移后所得图象的表达式为
()3cos[()]26g x x m n ππ
=--++
cos()3262
m x n πππ=-+-++ （10分）
∵()g x 的图象关于坐标原点成中心对称，所以()g x 是奇函数
∴30()6
22n k m k πππ
π+=⎧⎪
∈⎨-=+⎪⎩Z 于是1
3,2()3
n m k =-=-+
||d ==
∵k ∈Z ，∴0k =时，||d
，此时23
m =- 故长度最小的向量2•(,3)3
=--d 。

（14分）。