材料力学第四版课件 第九章 压杆稳定

µl —相当长度 µ —长度因数
5.说明 5.说明 （1）相当长度 µ l 的物理意义 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就 压杆失稳时， 是压杆的相当长度 是压杆的相当长度µ l . µ l是各种支承条件下，细长压杆失稳时， 是各种支承条件下，细长压杆失稳时 失稳时， 挠曲线中相当于半个波长的正 曲线的一段长 相当于半个波长的正弦 挠曲线中相当于半个波长的正弦曲线的一段长 度. （2）惯性矩 I 若杆端在各个方向的约束情况相同（如球 若杆端在各个方向的约束情况相同（ 应取最小的形心主惯性矩， 铰）， I 应取最小的形心主惯性矩，即在 Iy 、 Iz 中选取较小的一个计算临界力. 中选取较小的一个计算临界力.
x x
880 1000
y y z
z
880
x
x
F
880 1000
880 z F
l
y y z
分析： 分析： 1）杆件在两个方向的约束情况不同； 杆件在两个方向的约束情况不同； （ （2）计算出两个方向的临界压力；最 计算出两个方向的临界压力； 后取较小的一个作为压杆的临界压力. 后取较小的一个作为压杆的临界压力.
① 强度 构件的承载能力 ② 刚度 ③ 稳定性
工程中有些 构件具有足够 的强度、刚度, 的强度、刚度, 却不一定能安 全可靠地工作. 全可靠地工作.

二、工程实例
三、失稳破坏案例 案例1 20世纪初 世纪初， 案例1 20世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库 Cooper） 柏（Theodore Cooper）在圣劳伦斯河上建造魁 比克大桥(Quebec Bridge)1907年 29日 比克大桥(Quebec Bridge)1907年8月29日，发生 稳定性破坏，85位工人死亡 位工人死亡， 稳定性破坏，85位工人死亡，成为上世纪十大 工程惨剧之一. 工程惨剧之一.
x F
l m w y B x y m m B
F M(x)= -Fw (x)= m x
= 压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 w=
该截面的弯矩 M(x) = −Fw 杆的挠曲线近似微分方程
f (x)
EIw = M(x) = −Fw（a)
''
F M(x)=-Fw (x)= m x y B m
令
''
F k = E I
案例2 1995年 案例2 1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百 29日下午 日下午， 货大楼，由于盲目扩建、加层， 货大楼，由于盲目扩建、加层，致使大楼四五 层立柱不堪重负而产生失稳破坏使大楼倒塌， 层立柱不堪重负而产生失稳破坏使大楼倒塌， 502人 930人 失踪113人 死502人，伤930人，失踪113人.
A
B
a
C d
杆A
µ = 2 µl = 2a 杆B µ = 1 µl = 1.3a
杆C µ = 0.7 µl = 0.7×1.6a = 1.12a A杆先失稳. 杆先失稳.
例2：已知一内燃机、空气压缩机的连杆为细长 已知一内燃机、空气压缩机的连杆为细长 内燃机 压杆.截面形状为工字钢形，惯性矩I =6.5× 压杆.截面形状为工字钢形，惯性矩Iz=6.5×10 4 mm4,Iy=3.8×10 4 mm4，弹性模量E=2.1×10 5 =3.8× 弹性模量E=2.1× MPa.试计算临界力F MPa.试计算临界力Fcr.
取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力. 中小的一个计算临界力. 若杆端在各个方向的约束情况不同（ 若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱 形铰）， ），应分别计算杆在不同方向失稳时的 形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的 临界压力. 为其相应中性轴的惯性矩. 临界压力. I 为其相应中性轴的惯性矩. x 即分别用 Iy ，Iz 计算出两个 y 临界压力. 临界压力. 然后取小的一个作为压 z 杆的临界压力. 杆的临界压力.
§9–1 压杆稳定的概念
一、引言 第二章中，轴向拉、 第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为
F max σmax = N ≤[σ] A
实际上, 实际上,受压杆件的承载能力并不总是取决 于轴向压缩的抗压强度, 于轴向压缩的抗压强度,而是与受压时变弯有 当加的轴向压力达到一定数值时, 关.当加的轴向压力达到一定数值时,虽然正应 力还没有达到许用值， 力还没有达到许用值，但是杆件可能会突然发 生明显的弯曲变形,而丧失承载能力. 生明显的弯曲变形,而丧失承载能力.
λ
F = A⋅ σcr cr
二、 欧拉公式的适用范围 范围内， 只有在 σcr ≤ σp 的范围内，才可以用欧拉 公式计算压杆的临界压力 公式计算压杆的临界压力 Fcr（临界应力 σcr ）. 故 可得 若令
σcr =
πE
2
λ
2
≤ σp
π2E λ≥ σp
E λ1 = π σp
则λ ≥ λ1即为欧拉公式的适用范围，这种压 即为欧拉公式的适用范围， 杆称为大柔度杆或细长杆. 杆称为大柔度杆或细长杆.
的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如， λ1 的大小取决于压杆材料的力学性能. 例如， 对于Q235钢 =206GPa， 200MPa， 对于Q235钢，可取 E=206GPa，σp = 200MPa， 得
E 206×10 λ1 = π =π ≈100 6 σp 200×10
9
当 λ ＜λ1 但大于某一数值 λ2时，压杆不能 应用欧拉公式，而需采用经验公式. 应用欧拉公式，而需采用经验公式.
2.其它支座条件下的欧拉公式 2.其它支座条件下的欧拉公式 表9-1 各种支承条件细长压杆的欧拉公式 各种支承条件细长压杆的欧拉公式
Fcr Fcr
l l 2l l/2 l l/4
Fcr
l/4
Fcr
0.7l 0.3l
l
µ =1
欧拉公式
µ =2
π EI F = cr (µl)2
2
µ = 0.5
µ = 0.7
三. 常用的经验公式 直线公式 σcr = a − bλ ≤σs 或 令
a −σs λ≥ b a −σs λ2 = b
式中： 是与材料有关的常数，可查表得出. 式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出. λ2 是对应 直线公式的最低线. 直线公式的最低线 的最低线. 用经验公式计算. 用经验公式计算. 的杆称为中柔度杆 中柔度杆， λ2 ≤ λ < λ1的杆称为中柔度杆，其临界应力
2
得 w + k w = 0 (b)
2
(b)式的通解为 式的通解为
w = Asinkx + Bcoskx (c)
（A、B为积分常数） 为积分常数）
边界条件 x = 0,
x = l,
由公式(c) 由公式(c)
w=0 w=0
x
F
Asin0+ Bcos0 = 0 →B = 0
Asinkl = 0
讨论： 讨论： 若
例1 图示各杆均为圆形截面细长压杆. 已知各 图示各杆均为圆形截面细长压杆. 杆的材料及直径相等. 问哪个杆先失稳? 杆的材料及直径相等. 问哪个杆先失稳?
F F 1.6 a F
1.3 1.3a
A
B
a
C d
π EI 解：分析 F = cr (µl)2 临界压力小的先失稳
2
F
F 1.6 a
F
1.3a
F π EI cr σcr = = 2 A (µl) A
F π EI πE 2 πE I cr = = ⋅i = 令 i= 则 σcr = 2 2 2 A (µl) A (µl) (µl / i) A
2 2 2
2
πE µl 则 σcr = 2 令λ=
2
i
i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径. 压杆横截面对中性轴的惯性半径. λ 称为压杆的柔度（长细比），它集中地 称为压杆的柔度（长细比）， 压杆的柔度 ），它 和杆端约束条件 条件、 反映了压杆的长度 l 和杆端约束条件、截面尺 寸和形状等因素 临界应力的影响. 越大， 等因素对 寸和形状等因素对临界应力的影响. λ 越大， 越小，压杆越容易失稳. 相应的 σcr 越小，压杆越容易失稳. 若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条 件不同， 件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度 λ，并按较大者计算压杆的临界应力 σcr 。
四、压杆稳定的基本概念 1.平衡的稳定性 1.平衡的稳定性
2.压杆的稳定性 2.压杆的稳定性
F < F —稳定平衡状态 稳定平衡状态 cr
临界平衡状态 F = F —临界平衡状态 cr
F > F —不稳定平衡状态 不稳定平衡状态 cr
关键是确定压杆的临界力 关键是确定压杆的临界力 Fcr
§9-2 两端绞支细长压杆的临界压力
2
x F
m w B
m x
πx 挠曲线方程为 w = δ sin l
y
挠曲线为半个波长的正弦曲线. 挠曲线为半个波长的正弦曲线. δ为中点处的挠度. 为中点处的挠度.
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
1.细长压杆的形式 1.细长压杆的形式
两 端 铰 支 两 端 固 定 一端 自由 一端 固定 一端 固定 一端 铰支
（3）小柔度杆
λ ≤ λ2
2.临界应力总图 2.临界应力总图
σcr
σP
σcr = σs σ = a − bλ cr σs
σcr = πE
2
λ
2
λ2
λ1
λ
例3 压杆截面如图所示. 两端为柱形铰链约 压杆截面如图所示. 轴失稳可视为两端固定， 束，若绕 y 轴失稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为两端铰支. 已知，杆长l 轴失稳可视为两端铰支. 已知，杆长l=1m ， 材料的弹性模量E=200GPa， =200MPa. 材料的弹性模量E=200GPa，σp=200MPa. 求 z 压杆的临界力. 压杆的临界力. 解： E