走不尽的莫比乌斯环

莫比乌斯环的由来
趣味莫比乌斯环
其实这位执事官并不是变 了什么魔术 ，他只是将纸条扭转 弯曲成了一个莫比乌斯环 ，使它 具有了莫比乌斯环单侧曲面的 特性。莫比乌斯环是由德国的 数学家莫比乌斯和约翰•李斯丁 发 现 的 。 将 一 根 纸 条 扭 转 180 度后 ，将两端粘贴起来做成的纸 环就是莫比乌斯环。它是一种 单侧的、不可定向的曲面。这样 的纸环只有一个面 ，假如我们在 莫比乌斯环状的公路上行走 ，会 永远走不到尽头 ，因为我们根本 分 不 出 哪 里 是 起 点 ，哪 里 是 终 点 ，就像处在一个无尽的循环当 中，就像念诵回文诗一样。
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制作莫比乌斯环的过程非常简单 ，只需将一个纸 条的一端旋转 180 度再首尾相连即可。但如果我们把 得到的纸环剪开就会发现许多奇妙的现象。 假如我们把一个普通的纸环 ，沿中线剪开 ，我们会得到两个纸环。但如果我们 把一个莫比乌斯环沿中线剪开 ，我们会得到什么呢？
剪开后 ，居然没有一分为二 ，而是变成了一个大环。那如果将莫比乌斯纸环沿 着三等分线剪开 ，又会得到什么呢？
个的 2 倍，但随着 N 的变化，得到的 2 个纸环宽度也会产生相应的变化，具体见下表：
分割份数
剪开后环个数 长 度 宽 度 扭转度数 环相连关系 单/双侧曲面
N=2
1
2割
N 大于 2
2
2a
b/N
4π
相连
a
b(N-2)/N π
相连
双侧 单侧
莫比乌斯环看似是一个简单的纸环 ，却蕴藏着无尽的奥秘。它的发现使拓扑学有了长足的发展。拓扑学(topology) 是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持一些性质不变的学科。通俗来讲 ，拓扑就是无论我变成什么形状 ，我 还是我。
宽度 b/N b/N b/N
扭转度数 环相连关系 单/双侧曲面
4π
相连
双侧
π
相连
单侧
4π
相连
双侧
如果我们变换分割方式，沿着 1/2、1/3 线分割，从得到的莫比乌斯环结构中我们又会发现新的规律：
通过分割我们发现，沿着 1/N 线分割(N 大于 2)，永远只会得到两个相互套连的纸环，而且其中一个纸环的长度为另一
莫比乌斯环的规律
感兴趣的话大家可以继续往下试验 ，我们会发现莫比乌斯环等分后得到的 环数以及环的周长存在着一定的规律：
假设原来的莫比乌斯环长度为 a，宽度为 b，扭转度数为 π（π 为 180 度）
N 等分
分割份数 N=2m(N 为偶数)
剪开后环个数 m
N=2m+1(N 为奇数) m+1
长度 2a a(1 个) a(m 个)
如果沿着莫比乌斯环 3 等分处剪开，会在剪完 2 个圈后又回到原点，形成一大 一小相互套连的两个环 ，大环周长是原莫比乌斯环的两倍 ，小环周长与原莫比乌斯 环相同。
科学 24 小时 Science in 24 hours 2019 年第 12 期
如果我们进一步实验，将莫比乌斯环沿 4 等分线剪开，我们会发现下面的现象： 居然剪出了两个互相链接的纸环，展开 2 个纸环并拉直，可以看出 2 个纸环是一 样长的。将莫比乌斯环沿 5 等分线剪开，则可以剪出 3 个互相链接的纸环，展开 3 个 纸环并拉直，可以看出其中 2 个环一样长，另一个环长度是其他两环的一半。将莫比 乌斯环沿 6 等分线剪开，可以剪出 3 个互相链接的纸环，展开 3 个环可以看到，3 个环 一样长。
莫比乌斯环在生活中的应用也很多，如动力机械的传送皮带是单面的话，可磨损面积就很有限，而采用莫比乌斯环的形 状就可以增大磨损面积，降低报废率。同样，莫比乌斯环还可以应用于减缓橡胶老化，延长针式打印机的色带使用周期等。
所以 ，科学的奇妙现象就在我们身边 ，只要有善于观察的眼睛和勤思考的大脑 ，就能发现并利用它。
爱 · 青春 Ai Qingchun
文/顾 冰
很久以前 ，有个小偷在偷一个农民的财物时被当场捕获并送到了县衙 ， 县官发现小偷竟是自己的侄子 ，于是写了一张小纸条给执事官 ，交由他去办 理。纸条的正面写着 ：小偷应当放掉 ；反面写着 ：农民应当关押。聪明正直的 执事官将纸条扭转了一下 ，用手指将两端捏在一起 ，然后向大家宣布 ：根据县 太爷的命令 ，应当放掉农民 ，关押小偷。县太爷得知后大怒 ，责问执事官为何 违背他的命令 ，执事官将纸条捏在手上给县太爷看 ，从“应当”二字读起 ，的确 是关押小偷 ，放掉农民。县太爷再仔细地看了看纸条 ，的确是自己的字迹 ，也 没有被涂改 ，县官不知其中奥秘 ，只好自认倒霉。
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