学生参与改题有利于培养学生思维能力

点 P ,使得| PF1| 是 P 到 l 的距离 d 与| PF2 | 的比例
中项. 若存在 , 说明存在的条件 ; 若不存在 , 说明理
由.
同学们用类似的方法很快得出 , 当 e ∈[ 2 - 1 ,
1) 时 ,点 P 是存在的 ,当 e ∈(0 , 2 - 1) 时 ,点 P 不存 在.
T :对抛物线如何 ? S 1 :抛物线只有一个焦点 ,不存在类似情形. S 2 :如果把 F1 , F2 看成与抛物线焦点 F 重合 , 由| PF1| 2 = d| PF2| 得 | PF| = d , 满足抛物线定义 , 所以对抛物线也可看成有类似情况. T : S2 的说法是有一定道理的. 通过大家讨论 , 我们发现圆锥曲线有许多相似的情形 , 这体现了数 学中的美 ,数学中的美大家在今后学习中要注意慢 慢体会 . 例 2 中师生从一个具体问题改为一个探索问 题 ,而后向知识的横向发展 ,这有利于学生掌握知识 间的横向联系 ,有利于学生思维的横向发展. 学生参与对题目的改造 , 事实有利于培养学生 思维能力. 学生参与例习题的改造必须在老师指导 下进行 ,不管上新课还是复习课 , 都可以进行 , 在复 习课上进行就更能显示作用. 让学生养成这样的习 惯 ,对一个题目解法研究之后 ,还要看一看此题在我 们现有知识范围内能否被改造成新题. 对题目的改 造是一项改造性劳动 ,改题过程是培养能力的过程 , 是知识升华的过程. 当然 ,如何让学生参与题目的改 造能更好地体现在教学中 ,还待进一步探索.
© 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
,当
m
>
n
> 0 时 ,上述解
法才正确.
收稿日期 :2000 - 04 - 27 作者简介 :陈亮军 (1966 —) ,男 ,江苏姜堰市人 ,姜堰市溱潼中学一级教师 ,学士.
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线左半支上求一点 P ,使得| PF1| 是 P 到 l 的距离 d 与| PF2| 的比例中项. 若存在 ,说明存在的条件 ;若不 存在 ,说明理由.
这样将一个具体问题改变为一个探索性问题 , 同学们对新的题目进行讨论并解题 , 不少同学沿用
上述解题方法得到
x0 =
a2 ( a + c) c ( a - c)
生共同改造 ,向知识的纵深处发展 ,这有利于学生对
知识深层次的理解 ,有利于学生思维向高层次发展.
例2
已知双曲线
x2 25
-
y2 144
=
1
的左右焦点分别为
F1 , F2 ,左准线为 l ,在双曲线
左半支上求一点 P, 使得
| PF1| 是 P 到 l 的距离 d 与
| PF2| 的比例中项.
教师与学生一起分析 ,设
.
大多数同学在求
出 x0 之后 , 将 x0 代入双曲线方程求 y20 时 , 发现计
算比较繁琐.
T :同学们思考一下 , 是否一定要用 y20 ≥0 的条
件来作为 P 点存在的条件 ? (稍停顿一会儿) 注意点
P 在左支上.
S :因为点
P 在左支上 ,当
x0 =
a2 ( a + c) c ( a - c)
n m
t gθ …在 图
1
中我们作的焦点在 x 轴上的椭圆 ,此时 0 < k < 1 ,而
椭圆的焦点可能在 x 轴或 y 轴上 ,如果限制 k ∈(0 ,
1 ] ,矩形的最大面积又将如何 ?
变题 2 过原点作直线
l1 ,
l2
分别交椭圆
x2 m2
+
y2 n2
=1
(m
>0,
n>0, m
≠n) 于
A
,B,
S AB CD
=
4 n2
m2 n2 + m2
k k2
=
4 m2 n2
m2 k
+
n2 k
≤2 m n ,
所以当
k
=
n m
时
,
S
max
= 2 mn.
S 2 : 此方法较繁 , 可设 A ( mcosθ, nsinθ) ,θ ∈
π (0 , 2 )
,
S ABCD = 4 m nsinθcosθ= 2 m nsin2θ,所以当θ
≤-
a , e ∈(1 ,1 + 2 ]时 , 点 P 是存在的 , 当 e ∈( 1 + 2 ,
+ ∞) 时 ,点 P 就不存在.
T :我们对双曲线情况已经解决了 ,圆锥曲线有
许多相似性质 ,试问椭圆上是否也有类似情况 ?
变题
2
对椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1
(a>
b > 0) 的左 、右
焦点分别为 F1 , F2 , 左准线为 l , 能否在椭圆上求一
mn ) , ∴ m2 + n2
S AB CD =
4 m
m2 2+
n2 n2
.
T :同学们 , 我们知道正方形是特殊的矩形 , 能
否求椭圆内接矩形面积的最大值 ?
变题
1
已知椭圆
x2 m2
+
y2 n2
=1( m
>0, n >0,
m
≠n) ,求椭圆内接矩形面积的最大值.
S 1 :设 A C 方程为 y = kx ( k > 0) , …,
m2 +
n2 , 则
S max =
4 m
m2 2+
n2 n2
.
T :经过大家对椭圆内接矩形面积最大值的探
讨 ,问题得到圆满解决. 请思考一下能否求椭圆内接
任意平行四边形面积的最大值 ? 这个问题留给同学
们课后研究. (同学们课后经过解题得出椭圆内接任
意平行四边形面积最大值仍为 2 m n. )
在例 1 中教师从一个简单的问题出发 , 经过师
|
P F2 |
= ( a2 c
x0)
e
=
(
25 13
-
x0)
13 5
.
据|
PF1| 2 =
d|
P F2 |
, ∴ x0 =
-
225 52
,
∴
y20
=
144
[
(
4 52
)
2
-
1]
<0,
∴
P 点不存在.
这样在师生的共同努力下 , 对本题进行了完整
的解答 ,解题过程相当清楚. 但如果此题研究就这样
结束的话 ,效果一般 , 并无特色 , 要更好地培养学生
例
1
已 知 椭 圆
x2 m2
+
y2 n2
=
1
(m
> 0, n > 0, m
≠
n) ,求椭圆内接正方形的面
积.
教师与学生一起分析 ,
根据椭圆的对称性 , 内接正
方形的边应平行于椭圆的对
图 1 例 1 图
称轴 (如图 1) , A C 方程应为 y = x , 它与椭圆方程联
立求 出 A 点 坐 标 ( mn , m2 + n2
C, D
四点 ,若
l1 , l2
倾斜角为 θ,π-
θ,θ∈(
0
,
π 4
] ,求矩形
A B CD
的面积 S 的最大值.
刚才的 S 1 :用前例中方法可得 , S 的最大值仍
为 2 mn.
S 5 :不对 ! 因为 m > 0 , n > 0 , m ≠n , 又 k ∈(0 ,
1
]
,
k
不一定取到
n m
这个值
2001 年第 1 期 数 学 通 讯
13
T :那么当 n > m > 0 时呢 ?
S 6 :当 n > m > 0 时 , 证明关于 k 的函数 m2 k +
n2 在区间 k
k
∈(0 ,1 ]上是单调递减的
……那么当
k
=
1 时 , m2 k +
n2 有 最 小 值 为 k
的思维能力 ,应对此题继续进行下去.
T :本题是在特定的双曲线上找不到一点 P 使
| PF1| 2 = d| PF2| ,请问是否存在这样的双曲线满足
| PF1| 2 = d| PF2| 呢 ?
这时同学们编出下列题 :
变题
1
已双曲线
x2 a2
-
y2 b2
=1
( a > 0 , b > 0)
的左 、右焦点分别为 F1 , F2 ,左准线为 l ,能否在双曲
图 2 例 2 图
P( x0 , y0) ,
∴
x
2 0
25
-
y20 144
=
1
, 据条件|
PF1| 2 =
d|
P F2 |
…
同学们分别给出了几种解法 , 其中有些同学用
双曲线第二定义的解法比较简洁 ,介绍如下 :
∵|
P F1 |
=
de
=
13 5
d
,
d= -
a2 c
-
x0 = -
25 13
-
x0 ,
12
数 学 通 讯 2001 年第 1 期
学生参与改题有利于培养学生思维能力
陈亮军
(姜堰市溱潼中学 ,江苏 225508)
中图分类号 :O12 - 42 文献标识码 :A 文章编号 :0488 - 7395 (2001) 01 - 0012 - 02
对题目进行改造我们并不陌生. 在全国高考试 题中 ,我们常常发现有些题目是由旧题改造而来的. 通过对旧题的改造 , 可以消除学生对高考数学题目 的神秘感 ,有利于培养学生思维能力. 但是多数情况 下 ,教师都是偏重于将学生做过的题目加以改造 , 再 让学生去练习 ,这样做可以增强学生的思维能力 , 提 高解题能力 ,但如果把改题的过程让学生直接参与 , 则不仅符合以学生为主体的教学原则 , 而且有利于 加深学生对知识的理解 , 有利于加强学生知识的横 向与纵向的联系 , 有利于调动学生探索问题的积极 性 ,可使学生感到出题与解题的乐趣 ,感到数学的内 在美 ,更有利于提高学生思维品质. 笔者在教学实践 中让学生直接参与对例习题的改造 , 将题目的改造 过程有计划地展示给学生 ,效果十分明显.
=
π 4
时
,
S
max
=
2
m
n.
T : 请问当面积最大时 ,矩形是否为正方形 ?
S3
:
因为 θ=
π 4
, 此时矩形为正方形 .
S 4 :不对 ,因为椭圆参数方程的参数θ不是直线
的倾斜角α, 所以此时矩形不是正方形 .
T :注意 , 椭圆参数方程的参数 θ与倾斜角α是
有区别的 ,它们之间的关系为
t gα =