24.4 第1课时 弧长和扇形面积
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∵ OC＝0.6, DC＝0.3,
∴ OD＝OC- DC＝0.3，
∴ OD＝DC.
又 AD ⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线，
∴AC＝AO＝OC.
从而 ∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚.
有水部分的面积：
S＝S扇形OAB - SΔOAB
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
S弓形=S扇形-S三角形
24.4 弧长和扇形面积
第二十四章 圆
第1课时 弧长和扇形面积
1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点）2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（重点）
目录页
讲授新课
当堂练习
课堂小结
新课导入
新课导入
教学目标
教学重点
图片欣赏
我们在小学学习了圆的面积和扇形的面积，也学习了圆的周长，那么圆上一部分的长，也就是一条弧的长怎么去求呢？现在重新学习圆的面积和扇形面积，比以前是不是有了更深的要求呢？ 下面我们就来学习本节内容.
如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）
解：∵n=60，r=10cm，∴扇形的面积为
扇形的周长为
2.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇= .
试一试
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）
构建脉络
弧长
扇形
定义
公式
阴影部分面积求法：整体思想
弓形
公式
S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
割补法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Thanks
讲授新课
典例精讲
归纳总结
1
知识点
弧长公式
思考：我们知道，弧是圆的一部分吗，弧长就是圆周长的一部分，想一想，如何计算圆周长？圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？
问题1 半径为R的圆,周长是多少？
问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?
问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?
圆心角占
周角的比例
扇形面积占
圆面积的比例
扇形的面积
=
扇形面积公式
半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
___大小不变时，对应的扇形面积与 __ 有关， ___ 越长，面积越大.
圆心角
半径
半径
圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大.
圆心角
半径
圆心角
总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.
问题 扇形的面积与哪些因素有关？
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？
解：设半径OA绕轴心O逆时针 方向旋转的度数为n°.
解得 n≈90°
因此，滑轮旋转的角度约为90°.
练一练
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
O
B
A
圆心角
2
知识点
扇形面积公式
下列图形是扇形吗？
判一判
√
×
×
×
√
问题1 半径为r的圆,面积是多少？
A
3.如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是 .
4.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
A
B
D
C
E
5. 如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.
解 由图可知，由于∠A'CB'=60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA' =120°，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA' 的长.∵等边三角形ABC的边长为10cm，∴弧AA' 所在圆的半径为10cm.∴l弧AA'
答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为
课堂小结
归纳总结
合作探究
算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为____.
知识要点
弧长公式
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.
答：管道的展直长度为2970mm．
(1)应用公式时“n”和“180”不应写单位．(2)题目若没有写明精确度，可以用含“π”的式子 表示弧长．(3)在弧长公式中，已知l，n，R中任意两个量， 都可求出第三个量．
弧、弧长、弧的度数间的关系：弧相等表示弧长、弧的度数都相等；度数相等的弧，弧长不一定相等；弧长相等的弧，弧的度数不一定相等．易错警示：在弧长公式l＝ 中，n表示1°的n倍，180表示1°的180倍，n，180不带单位．
讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
阴影部分.
D
(2)
(3)
(2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？
线段DC.过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C.
(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？
阴影部分面积=扇形OAB的面积- △OAB的面积
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC.
S弓形=S扇形+S三角形
知识要点
弓形的面积公式
当堂练习
当堂反馈
即学即用
2. (甘孜州)如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心 角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是 ( ) A．π－2 B．π－4 C．4π－2 D．4π－4
∴ OD＝OC- DC＝0.3，
∴ OD＝DC.
又 AD ⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线，
∴AC＝AO＝OC.
从而 ∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚.
有水部分的面积：
S＝S扇形OAB - SΔOAB
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
S弓形=S扇形-S三角形
24.4 弧长和扇形面积
第二十四章 圆
第1课时 弧长和扇形面积
1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点）2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（重点）
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当堂练习
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教学目标
教学重点
图片欣赏
我们在小学学习了圆的面积和扇形的面积，也学习了圆的周长，那么圆上一部分的长，也就是一条弧的长怎么去求呢？现在重新学习圆的面积和扇形面积，比以前是不是有了更深的要求呢？ 下面我们就来学习本节内容.
如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）
解：∵n=60，r=10cm，∴扇形的面积为
扇形的周长为
2.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇= .
试一试
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）
构建脉络
弧长
扇形
定义
公式
阴影部分面积求法：整体思想
弓形
公式
S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
割补法
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典例精讲
归纳总结
1
知识点
弧长公式
思考：我们知道，弧是圆的一部分吗，弧长就是圆周长的一部分，想一想，如何计算圆周长？圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？
问题1 半径为R的圆,周长是多少？
问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?
问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?
圆心角占
周角的比例
扇形面积占
圆面积的比例
扇形的面积
=
扇形面积公式
半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
___大小不变时，对应的扇形面积与 __ 有关， ___ 越长，面积越大.
圆心角
半径
半径
圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大.
圆心角
半径
圆心角
总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.
问题 扇形的面积与哪些因素有关？
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？
解：设半径OA绕轴心O逆时针 方向旋转的度数为n°.
解得 n≈90°
因此，滑轮旋转的角度约为90°.
练一练
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
O
B
A
圆心角
2
知识点
扇形面积公式
下列图形是扇形吗？
判一判
√
×
×
×
√
问题1 半径为r的圆,面积是多少？
A
3.如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是 .
4.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
A
B
D
C
E
5. 如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.
解 由图可知，由于∠A'CB'=60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA' =120°，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA' 的长.∵等边三角形ABC的边长为10cm，∴弧AA' 所在圆的半径为10cm.∴l弧AA'
答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为
课堂小结
归纳总结
合作探究
算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为____.
知识要点
弧长公式
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.
答：管道的展直长度为2970mm．
(1)应用公式时“n”和“180”不应写单位．(2)题目若没有写明精确度，可以用含“π”的式子 表示弧长．(3)在弧长公式中，已知l，n，R中任意两个量， 都可求出第三个量．
弧、弧长、弧的度数间的关系：弧相等表示弧长、弧的度数都相等；度数相等的弧，弧长不一定相等；弧长相等的弧，弧的度数不一定相等．易错警示：在弧长公式l＝ 中，n表示1°的n倍，180表示1°的180倍，n，180不带单位．
讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
阴影部分.
D
(2)
(3)
(2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？
线段DC.过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C.
(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？
阴影部分面积=扇形OAB的面积- △OAB的面积
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC.
S弓形=S扇形+S三角形
知识要点
弓形的面积公式
当堂练习
当堂反馈
即学即用
2. (甘孜州)如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心 角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是 ( ) A．π－2 B．π－4 C．4π－2 D．4π－4