55闭环系统的频域性能指标

对应的频率称为带宽频率 b
0
3dB
0.707( j0)
b

即当 b 时， 20lg ( j) 20lg ( j0) 3 3
此时，(0, b )称为系统的带宽。
带宽定义表明，对于高于带宽频率的正弦输入信号，系统输出将呈 现较大的衰减。
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1
带宽是频域中一项非常重要的性能指标，对于一阶和二阶系统，带宽 和系统参数之间具有解析关系。
5-5 闭环系统的频域性能指标
闭环频率特性性能指标常用的有下列两项：
1.谐振峰值 Mr：系统闭环频率特性幅值的最大值。
2.系统带宽和带宽频率 b 。 控制系统的频带宽度(0, b ) ：
L( )
Mr
( j0)
Hale Waihona Puke 当系统的闭环幅频特性下降到频率为0
时的分贝值以下3分贝，也是 0.707(时j0，)
（1）一阶系统
(s) 1 Ts 1
根据带宽定义：
20lg ( jb ) 20lg
1
1
20lg
1 T 2 2
2
b
求得：
b

1 T
带宽与时间常数 T 成反比。即系统的单位阶跃响应的速度和带宽 成正比。
b T (ts 4T ) 响应速度越快
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2
（2）二阶系统
带宽与自然频率 n 成正比，与阻尼比 成反比。
根据时域分析中二阶系统上升时间和过渡时间与参数的关系可 知，系统的单位阶跃响应的速度和带宽成正比。
b ts 响应速度越快
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3
根据对一阶系统和二阶系统分析可知，系统的单位阶跃响应的速 度和带宽成正比。对于任意阶次的控制系统均成立。
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带宽指标取决于下列因素：
1、对输入信号的再现能力。
大的带宽相应于快的响应速度。
2、对高频噪声必要的滤波特性。
为了使系统能够精确地跟踪任意输入信号，系统必须具 有大的带宽。但是，从噪声的观点来看，带宽不应当太大。 因此，对带宽的要求是矛盾的，好的设计通常需要折衷考虑。 具有大带宽的系统需要高性能的元件，因此，元件的成本通 常随着带宽的增加而增大。
M ()
G( j) 1 G( j)

A()
1
[1 A2 () 2A() cos ()]2

[
1
1
－cos ()]2＋sin2 ()
A()
一般情况，在 M () 的极大值附近， () 变化较小，且使 M () 为 极值的谐振频率 r 常位于c 附近。
阅0读7:4例6 5-14
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高阶系统：
开环频域指标与时域指标不存在解析关系，常用MATLAB软件计算。 或用以下近似估算：
0.16 0.4( 1 1) sin
(350 900 )
ts

K c
式中：
K 2 1.5(
1
1) 2.5( 1
1) 2
sin
谐振峰值 M r L()
3dB
0

谐振频率
r
b

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因系统开环相频特性表示为： () 180 0 ()
开环频率特性表示为： G( j) A( )e j[1800 ()] A()[ cos () j sin ()]
闭环幅频特性：
cos (r ) cos (c ) cos
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由系统闭环幅频特性，求得，当系统在 极值。
A() 1 cos ()
时，M () 为
Mr
M (r )
1
sin (r )

1
sin
控制系统的设计中，一般先根据控制要求提出闭环频域指标 b
和 M r ，再确定相角裕度 和选择合适的截止频率 c ，然后根据 和 c 选择校正网络的结构并确定参数。
(s)
n2
s 2 2 n s n 2
( j)
1
(1
2

2 n
)2

4
2
2

2 n
根据带宽定义：
20 lg ( jb ) 20 lg ( j0) 3 0 3 20 lg
1 2
代入上式，求得：
1
b n[(1 2 2 ) (1 2 2 )2 1]2
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4
二、闭环系统频域指标和时域指标的转换
由于闭环系统频域指标 b M
系统开环频域指标相角裕度
r
需要通过闭环频率特性加以确定，而
和截止频率 c 可以利用已知的开环对
数频率特性曲线确定，且 和c在很大程度上决定了系统的性能， 因此工程上常用 和 c来估算系统的时域性能指标。
sin
(35o 90o )
上述公式一般偏于保守，即实际性能比估计结果要好。
控制系统在进行初步设计时，使用经验公式，可以保证系统达
到性能指标的要求且留有一定的余地。
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典型二阶系统估算时域指标方法：
（1）确定相角裕度 （2）根据 查P22,图5-42对应的 （3）由 计算得到 % ，ts
n
由 c定义（P199式（5-99））
c n(
1
4 4 1 2 2 ) 2
相角裕度：

1800
G( jc )
arctan2n c
arctan[2
(
4
4
1

2
2
1
)2
]
可见，典型二阶系统的相角裕度 与阻尼比 存在一一对应关系。
为使系统具有良好的动态性能，一般希望 300 ~ 700
（1）系统闭环和开环频域指标的关系 系统开环指标截止频率 c与闭环指标带宽频率b 之间关系：成正比
由前面分析知，b与系统响应速度成正比关系，因此 c 也可用来衡
量系统的响应速度，且也与系统响应速度成正比关系。
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系统闭环频率特性幅值的最大值称为谐振峰值 Mr
由于系统闭环振荡性能指标 Mr 和开环指标相角裕度 都能表征系统 的稳定程度，因此，建立 Mr 和 的近似关系。
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（2）开环频域指标和时域指标的关系
对于典型的二阶系统：
R(s)
需确定 和 c 与 的关系。
wn2
_ s(s 2wn )
C(s)
G( j)

2 n


2 n
(900 arctan )
j( j 2 n ) 2 4 2 2
2 n