浙教版七年级下数学经典例题知识点习题

a2
a3
8
76
54
32
1浙教版七年级下册数学第1章平行线知识点及典型例题
【知识结构图】
【知识点归纳】
1、平行线
平行线的概念：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线 用三角尺和直尺画平行线的方法：一贴，二靠，三推，四画 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 2、同位角、内错角、同旁内角
如图：直线a 1 , a 2 被直线a 3 所截，构成了八个角。

在“三线八角”中确定关系角的步骤：
确定前提（三线） 寻找构成的角（八角） 确定构成角中的关系角
知道关系角后， 3、 平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行。

平行线判定方法的特殊情形：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

（2）内错角相等，两直线平行。

（3）同旁内角互补，两直线平行。

4、平行线的性质
（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

简单地说，两直线平行，同位角相等。

（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

简单地说，两直线平行，内错角相等。

（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简单地说，两直线平行，同旁内角互补。

5、图形的平移
平移不改变图形的形状和大小
一个图形和它经过平移所得到的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。

二、知识巩固
(一)区分三种角各自特征和用途
练习1：如图1-1①∠2和∠5的关系是______；
②∠3和∠5的关系是______；
③∠2和______是直线______、______被______所截，形成的同位角；
练习2：如图2，下列推断是否正确？为什么？
（1）若∠1=∠2，则 AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）。

（2）若AB ∥CD ，则∠3=∠4（内错角相等，两直线平行）。

(1-1)
平行线
同位角、内错角、同旁内角
平行线的判定 平行线的性质 图形的平移
(2-2)
（二）平行线判定和性质应用
1．已知，如图2-1，∠1＝∠2，∠A ＝∠F 。

求证：∠C ＝∠D 。

证明：∵∠1＝∠2（已知）
∠1＝∠3（对顶角相等）
∴∠2＝∠ （
）
∴BD ∥ （ ）
∴∠FEM ＝∠D ，∠4＝∠C （ ）
又∵∠A ＝∠F （已知） ∴AC ∥DF （ ）
∴∠C ＝∠FEM （ ） 又∵∠FEM ＝∠D （已证）
∴∠C ＝∠D （等量代换）
2．已知，如图2-2，∠1＝∠2，CF ⊥AB ，DE ⊥AB ，求证：FG ∥BC 。

证明：∵CF ⊥AB ，DE ⊥AB （已知）
∴∠BED ＝900，∠BFC ＝900
（ ） ∴∠BED ＝∠BFC （等量代换） ∴ED ∥FC （ ）
∴∠1＝∠BCF （ ） 又∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝∠BCF （ ）
∴FG ∥BC （ ） 3、如图，已知：∠3=125°，∠4=55°，∠1=118°，求：∠2的度数。

4、如图，已知AD ⊥BC ，EG ⊥BC ，∠E=∠AHE ，求证：AD 平分∠BAC
E
A H
B G D C
（注意书写的规范性和合理性）
三．知识提升利用添辅助线证明与计算
5、如图，已知AB//CD ，∠B=1200，∠C=250
，求∠BEC 的度数。

A B
E
C D
练习如图，已知AB ∥CD,∠AMP=150°,∠PND=60°。

那么MP ⊥PN 吗？
2 1
G
F E D C B A N M
A B C D
E F 4
3 2 1
(2-1) a d b
1 2 3
4 c
A B
C
D E (1-1) E
G
6如图，AD ∥BC ，AB=AD+BC ，E 是CD 的中点. 求证：（1）AE ⊥BE ；
（2）AE 、BE 分别平分∠BAD 及∠ABC.
（通过这两个例题掌握基本添辅助线的方法，构造熟悉方便的基本图形）
四、小结
通过复习，我们进一步了解了平行线的概念，熟练掌握了判断平行线的各种方法，能利用平行线的概念、判定和性质进行简单的推理和计算。

梳理知识点，掌握基本图形，添辅助先学会图形的转化。

五、作业和备选例题 1.例5变式拓展题
(1)如图1-1，若AB//CD, ∠B=n 0
，∠D ＝m 0
，则∠E ＝＿＿＿＿。

A B
(2)如图1-1，若AB//CD,∠B=400，∠E=580
，则∠D=_______。

E
(3)如图1-1，若AB//CD,则∠B+∠E+∠D=________。

C D
(4)如图1-2，若AB//CD,∠=1200，∠D=1450
，则∠E=________。

A B A B A B A B F E E E F F C D C D C D C D ⑸ (1-2) (1-3) (1-4) (1-5)
(5)如图1-3，若AB//CD,∠B=1250，∠D=1400
，则∠BEF=______。

(6) 如图1-4，若AB//CD ，∠BEF=1200，∠F=850
，则∠FGC=________。

(7) 如图，若AB//CD ，∠E=800
，则∠B+∠F+∠D=______。

(8)如图４，已知ＡＢ//CD ，︒=∠36A ，︒=∠120C ，求E F ∠-∠的大小。

2、在下图中,已知直线AB 和直线CD 被直线GH 所截,交点分别为E 、F 点，AEF EFD ∠=∠则 （1）写出//AB CD 的根据; （2）若ME 是AEF ∠的平分线, FN 是EFD ∠的平分线, 则EM 与
FN 平行吗?若平行,试写出根据.
D F A B C D M N
E F
H
G
练习1：已知：如图10，AB//CD ，∠AEB=∠B ，∠CED=∠D ，求证：BE ⊥
DE.
一、选择题：
1、如图，两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是------（ ）
A 、同位角
B 、内错角
C 、对顶角
D 、同旁内角
2.如图，直线a//b ，∠1=400
，∠2的度数为---------------------------------（ ）
A 1400
B 500
C 400
D 1000
3．如图，∠1=600
，∠2=600
，∠3=650。

则∠4的度数为------------------------（ ） A 600
B 650
C 1200
D 115
4、如图，若AB ∥DC ，那么------------------------------------------------（ ）
A 、∠1=∠3
B 、∠2=∠4
C 、∠B=∠
D D 、∠B=∠3
5、已知∠1和∠2是同旁内角，∠1=40°，∠2等于--------------------------（ ） A 、160° B 、140° C 、40° D 、无法确定
6、如图，已知AB ∥ED ，则∠B+∠C+∠D 的度数是----------------------------（ ）
A 、180°
B 、270°
C 、360°
D 、450°
7．下列说法错误的是-----------------------------------------------------（ ）
A 同旁内角互补，两直线平行
B 两直线平行，内错角相等
C 同位角相等
D 对顶角相等
8、一架飞机向北飞行，两次改变方向后，前进的方向与原来的航行方向平行，已知第一次向左拐50°，那么第
二次向右拐---------------------------------------（ ） A 、40° B 、50° C 、130° D 、150°
9．如图，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：（1）∠1=∠5；（2）∠1=∠7； （3）∠2+∠3=180°；（4）∠4=∠7，其中能判定a ∥b 的条件的序号是-------（ ） A ．（1）、（2） B ．（1）、（3） C ．（1）、（4） D ．（3）、（4） 10．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于-----------------（ ）
A 500
B 600
C 750
D 850
11．若∠A 和∠B 的两边分别平行，且∠A 比∠B 的2倍少30°，则∠B 的度数为（ ） A ．30° B ．70° C ．30°或70° D ．100°
D C
B
A N M F E
二、填空题：
12、如图，若a ∥b ，∠1=40°，则∠2= 度； 13．如图，图中的同位角有 对；
14、如图，AD//BC ，∠1=∠2，∠D=1200
，那么∠CAD= 0
； 15．如图，已知∠1=∠2，∠D=78°，则∠BCD=______度．
16．如图，a//b ，∠1=（3x+20）0
，∠2=（2x+10）0
，那么∠3= 0
；
17．如图，要为一段高为5米，水平长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯长至少要 米。

三、解答题：
18、已知，如图13-2，∠1＝∠2，CF ⊥AB ，DE ⊥AB ，说明：FG ∥BC 。

解：∵CF ⊥AB ，DE ⊥AB （已知）
∴∠BED ＝900，∠BFC ＝900
（ ） ∴∠BED ＝∠BFC
∴ED ∥FC （ ） ∴∠1＝∠BCF （ ） 又∵∠1＝∠2（已知） ∴∠2＝∠BCF
∴FG ∥BC （ ）
19、如图，AB ∥CD ，BF ∥CE ，则∠B 与∠C 有什么关系？请说明理由。

20、如图，D 是△ABC 的BA 边延长线上的一点，AE 是∠DAC 的平分线，AE//BC ，
试说明∠B=∠C 。

21、若平行直线EF 、MN 与相交直线AB 、CD 相交成如图所示的图形，则可得同旁内角多少对？
1
2
a
b （第12题）
图13-2
2
1
G
F E
D C
B
A 17题
22、如图，现在甲、乙两所学校准备合并，但被一条马路隔开。

现在要架一座过街天桥MN，使由甲学校大门A 到乙学校大门B的路程最短，问：天桥MN应架在什么地方,请画出图（马路两侧是平行的，天桥垂直于马路）
A
B
23、如图，AB∥DE，∠1=25°，∠2=110°，求∠BCD的度数。

E D C
B A
2
1
24、如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，EF⊥AC于点F，∠1=∠2，试说明∠ADG=∠C
浙教版七年级下册数学第2章二元一次方程知识点及典型例题
【知识结构图】
运用方程组解决实际问题的一般过程
二元一次方程组的解法
二元一次方程组
二元一次方程
丰富的问?题情境?
【知识点归纳】
1．二元一次方程:含有两个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程，理解时应注意：①二元一次方程左右两边的代数式必须是整式，例如513,11=+=+y
x
y x
等，都不是二元一次方程；②二元一次方程
必须含有两个未知数；③二元一次方程中的“一次”是指含有未知数的项的次数，而不是某个未知数的次数，如xy=2不是二元一次方程。

2．二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的解，通常用 的形式表示，在任何一个二元一次方程中，如果把其中的一个未知数任取一个数，都可以通过方程
求得与之对应的另一个未知数的值。

因此，任何一个二元一次方程都有无数组解。

3．二元一次方程组：①由两个或两个以上的整式方程（即方程两边的代数式都是整式）组成，常用“
”把这些方程联合在一起； ②整个方程组中含有两个不同的未知数，且方程组中同一未知数代表同一数量；③方程组中每个方程经过整理后都是一次方程，如：
等都是二元一次方程组。

4．二元一次方程组的解：注意：方程组的解满足方程组中的每个方程，而每个方程的解不一定是方程组的解。

5．会检验一对数值是不是一个二元一次方程组的解
检验方法：把一对数值分别代入方程组的(1)、(2)两个方程，如果这对未知数既满足方程(1)，又满足方程(2)，则它就是此方程组的解。

6．二元一次方程组的解法：（1） 代入消元法 （2）加减消元法 【解题指导】
一、理解解二元一次方程组的思想
转化
消元一元一次方程
二元一次方程组
二、解二元一次方程组的一般步骤
（一）、代入消元法
（1）从方程中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的未知数用另一个未知数的代数式来表示，如用
x=a y=b
2x-y=1 x+y=2 3x-y=5 x=2 x+2y=3
3x-y=1 2x+4y=6
x 表示y ，可写成y=ax+b ；
（2）将y=ax+b 代入另一个方程，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程 （3）解这个一元一次方程，求出x 的值；
（4）把求得的x 的值代入y=ax+b 中，求出y 的值，从而得到方程组的解． （二）、加减法
（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，也不相等时，可用适当的数乘以方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等，得到一个新的二元一次方程组；
（2）把这个方程组的两边分别相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； （3）解这个一元一次方程；
（4）将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解。

一般来说，当方程组中有一个未知数的系数为1（或一1）或方程组中有1个方程的常数项为0时，选用代入消元法解比较简单；当同一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单。

三、列一次方程组解应用题
列一次方程组解应用题，是本章的重点，也是难点。

列二元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）审：审题，分析题中已知什么，求什么，理顺各数量之间的关系；
（2）设：设未知数（一般求什么，就设什么为x 、y ，设未知数要带好单位名称）； （3）找：找出能够表示应用题全部意义的两个相等关系；
（4）列：根据这两个相等关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组； （5）解：解所列方程组，得未知数的值；
（6）答：检验所求未知数的值是否符合题意，写出答案（包括单位名称）。

归纳为6个字：审，设，找，列，解，答。

【考点例析】
考点1：二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

应用策略：代入法 例1、若方程组⎩⎨
⎧=-=+.,2a by x b y x 的解是⎩
⎨⎧==.0,
1y x ，那么a b -=
考点2：考列二元一次方程组
应用策略：相关条件设未知数，剩余条件列方程组
例2、已知A ∠、B ∠互余，A ∠比B ∠大30o
.设A ∠、B ∠的度数分别为x o
、y o
，下列方程组中符合题意的是
A．
180,
30
x y
x y
+=
⎧
⎨
=-
⎩
B．
180,
30
x y
x y
+=
⎧
⎨
=+
⎩
C．
90,
30
x y
x y
+=
⎧
⎨
=+
⎩
D．
90,
30
x y
x y
+=
⎧
⎨
=-
⎩
例3、四川5.12大地震后，灾区急需帐篷．某企业急灾区所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共2000顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置9000人，设该企业捐助甲种帐篷x顶、乙种帐篷y顶，那么下面列出的方程组中正确的是（）
A．
42000
49000
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
B．
42000
69000
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
C．
2000
469000
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
D．
2000
649000
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
考点3：二元一次方程组的解法应用策略：灵活选择解题的方法
例4、解方程组
1 23 x y
x y
+=⎧
⎨
+=⎩
解法1：代入消元法解法2：加减消元法
考点4：考与生活的联系与应用
应用策略：注意把生活问题转换成数学问题是问题求解的关键。

例5、中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平
衡，则与2个球体相等质量的正方体的个数为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
例6、暑假期间，小明到父亲经营的小超市参加社会实践活动。

一天小明随父亲从银行换回来58张纸币，共计200元的零钞用于顾客付款时找零。

细心的小明清理了一下，发现其中面值为1元的有20张，面值为10元的有7张，剩下的均为2元和5元的钞票。

你能否用所学的数学方法算出2元和5元的钞票的各有多少张吗？
【典例解析】
例1：下列方程是二元一次方程的
4).1(22=+y x 222).2(x y x x =-+ 6).3(=-y xy y x =).4( 6).5(2=++z y x 81
1).6(=+y
x
例2：在下列每个二元一次方程组的后面给出了x 与y 的一对值，判断这对值是不是前面方程组的解？ （1）⎩⎨
⎧=+=-)2(7032)1(53y x y x ⎩⎨⎧==12y x （2）⎩
⎨⎧=+=-)2(1147)1(123y x y x ⎩⎨⎧==11y x
例3：解方程组⎩⎨⎧=++=)
2(62)1(2y x x y
例4：甲、乙两车分别以均匀的速度在周长为600米的圆形轨道上运动。

甲车的速度较快，当两车反向运动时，每15秒钟相遇一次，当两车同向运动时，每1分钟相遇一次，求两车的速度。

分析：在环路问题中，若两人同时同地出发，同向而行，当第一次相遇时，两人所走路程差为一周长；相向而行，第一次相遇时，两人所走路程和为一周长。

例5：张华到银行以两种形式分别存了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得到利息43.92元，已知这两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：利息所得税=利息全额×20%）。

分析：利率问题：利息=本金×利率×时间。

例6、某家具厂生产一种方桌，设计时1立方米的木材可做50个桌面，或300条桌腿，现有10立方米的木材，怎样分配生产桌面在和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套，并指出共可生产多少张方桌？（一张方桌有1个桌面，4条桌腿）。

分析：解有关配套问题，要根据配套的比例，依据特定的数量关系列方程（组）求解。

例7、某市菜牛公司利用草场放牧菜牛代替圈养，公司有两处草场；草场甲的面积为3公顷，草场乙的面积为4公顷，两草场的草长得一样高，一样密，生长速度也相同。

如果草场甲可供90头牛吃36天，草场乙可供160头牛吃24天（草刚好吃完），那么两处的草场合起来可供250头牛吃多少天？
分析：若直接设问题求解比较复杂，解决此问题关键是：每天牛吃草量；每公顷草场每天长草多少；同时还要知道每公顷草场的原有草量（此量只参与换算，没有必要求出来，可视为单位“1”）是多少。

解：设原1公顷的草场的草量为1个单位，每头牛每天吃草为x 个单位，每公顷草场每天长草为y 个单位，则，
又设两处草场合起来可供250头牛吃a 天，则。

得a = 28 故可吃28天。

【解题关键】
解二元一次方程组的主要方法是消元法（化二元为一元最后达到求解的目的）。

同学们在初学时常忽视一些运算细节，这些细节虽不是疑难知识点，但如果不注意方法，不养成好习惯，往往会造成会做的题做错，考试中应得的分失去。

1、应重视加与减的区分
例1 解方程组⎩⎨⎧=-=+②①.5n m 3,
7n 2m 3
错解：①－②，得n ＝2。

分析与解：①－②，
失误警示：学习了二元一次方程组的解法后，同学们会感到加减消元法比代入消元法方便好用。

但用加减消元法解方程组常常受到符号问题的困扰。

解决问题的关键是要正确应用等式性质，重视加与减的区分。

2、应重视方程组的化简
例2 解方程组⎩⎨⎧=-=-②①.19y 5.0x 2.0,
1y x 3.0
繁解：由①得1x 3.0y -=。

③
把③代入②，得19)1x 3.0(5.0x 2.0=--。

化简，得5.18x 05.0=。

解得370x =。

把370x =代入③，得110y =。

所以原方程组的解是⎩
⎨⎧==.110y ,370x 分析与简解：没有把原方程组化为整数系数的方程组，含有小数的计算容易出错。

原方程组可化为
失误警示：这道题解法上并没有错误，但思想方法不是很完美，解题应寻找最简便的方法。

把含小数系数的二元一次方程组化为整数系数方程组，可以简化运算。

3、应重视方程组变形的细节
例3 解方程组⎩⎨⎧-=+-=-②①).2y (24x ),
1y (31x
错解：整理，得⎩
⎨⎧=--=-.0y 2x ,4y 3x 分析与解：将原方程组整理为
失误警示：解二元一次方程组往往需要对原方程组变形，在移项时要特别注意符号的改变。

已知方程组233426
x y k x y k +=⎧⎨+=+⎩的解满足方程x+y=3，求k 的值
浙教版七年级下册数学第3章整式的乘除知识点及典型例题
【知识点归纳】
预备知识：
1.单项式的概念：
由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：bc a 2
2-的系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2.多项式：
几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2
a 、a
b 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

1、同底数幂的乘法
①、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意：底数可以是多项式或单项式。

如：532)()()(b a b a b a +=+•+
②、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a
)()(== ◆◆◆ 如：23326)4()4(4==； 请计算：(-22)3= _________；(-23)2= _________
③、积的乘方法则： n n n b a ab =)(（n 是正整数），即积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=•••-
2、同底数幂的除法
①、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)m n >，即同底数幂相除，底数
不变，指数相减。

注意：底数可以是多项式或单项式。

如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷
②、零指数和负指数；
10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。

p p a
a 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。

如：8
1)21
(233==- ③、科学记数法：如：0.00000721=7.21610-⨯（第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方）
因为有了负指数幂，我们就可以用科学计数法表示绝对值较小的数
3、单项式的乘法
①、单项式乘以单项式的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：
①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

◆◆◆ 如：=•-xy z y x 323
2_________ ②、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)
注意：
①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。

]
◆◆◆ 如：)(3)32(2y x y y x x +--
4、多项式的乘法
多项式与多项式相乘的法：则多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

◆◆◆ 如：)
6)(5()3)(23(-+-+x x b a b a
5、乘法公式
①、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项
公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。

右边是相同项的平方减去相反项的平方。

◆◆◆ 如：))((z y x z y x +--+
②、完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±
公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意：
ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+ ab b a b a 4)()(22-+=-
222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+-
完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。

③、三项式的完全平方公式：（完全平方公式的拓展）
bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++
6、整式的除法
①、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
◆◆◆ 如：b a m b a 2
42497÷- ②、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加，即：()a b c m a m b m c m ++÷=÷+÷+÷.
【历年考点分析】
整式的运算是初中数学的基础，和整式有关的考点主要涉及以下几个方面：1.幂的运算；2.整式的乘法运算；
3.因式分解。

具体分析如下：
考点1:幂的有关运算
例1 下列运算中,计算结果正确的是（ ）
(A)a 4·a 3=a 12 (B)a 6÷a 3=a 2 (C)(a 3)2=a 5 (D)(-ab 2)2=a 2b 4.
考点2:整式的乘法运算
例2计算：(a 2＋4)(a-3)-a(a 2-3a-3).
例3 如图所示，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下图：则第n 个图形中需用黑色瓷砖______块.（用含n 的代数式表示）.
（1） （2） （3） …… （n ）
考点3：乘法公式
例4先化简，再求值：(x+y)(x-y)+(x-y)2-(x 2-3xy).其中x=2，y=
2
1.
例5 若整式142++Q x 是一个整式的平方，请你写满足条件的单项式Q 是 .（请填出所有的情况）
分析：本题是一道结论开放题，由于整式包括单项式和多项式，所以可分类讨论可能出现的情况
考点4: 整式的除法运算
例6 先化简,再求值：[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x ，其中x=3，y=1.5
分析:本题的一道综合计算题，首先要先算括号的，为了计算简便，要注意乘法公式的使用，然后再进行整式的除法运算，最后代入求值。

考点5：找规律的整式
例7 观察下列等式：
12+2×1=1×(1+2)；
22+2×2=2×(2+2)；
32+2×3=3×(3+2)；
……
则第n 个式子可以表示为:_________.
【基础能力训练】
一、选择
1．下列计算正确的是（）．
A．2x2·3x3=6x3B．2x2+3x3=5x5
C．（－3x2）·（－3x2）=9x5D．5
4
x n·
2
5
x m=
1
2
x mn
2．一个多项式加上3y2－2y－5得到多项式5y3－4y－6，则原来的多项式为（）．A．5y3+3y2+2y－1 B．5y3－3y2－2y－6
C．5y3+3y2－2y－1 D．5y3－3y2－2y－1
3．下列运算正确的是（）．
A．a2·a3=a5B．（a2）3=a5C．a6÷a2=a3D．a6－a2=a4
4．下列运算中正确的是（）．
A．1
2
a+
1
3
a=
1
5
a B．3a2+2a3=5a5C．3x2y+4yx2=7 D．－mn+mn=0
5．下列说法中正确的是（）．
A．－1
3
xy2是单项式B．xy2没有系数
C．x－1是单项式D．0不是单项式6．若（x－2y）2=（x+2y）2+m，则m等于（）．A．4xy B．－4xy C．8xy D．－8xy 7．（a－b+c）（－a+b－c）等于（）．
A．－（a－b+c）2B．c2－（a－b）2
C．（a－b）2－c2D．c2－a+b2
8．计算（3x2y）·（－4
3
x4y）的结果是（）．
A．x6y2B．－4x6y C．－4x6y2D．x8y
9．等式（x+4）0=1成立的条件是（）．
A．x为有理数B．x≠0 C．x≠4 D．x≠－4 10．下列多项式乘法算式中，可以用平方差公式计算的是（）．A．（m－n）（n－m）B．（a+b）（－a－b）
C．（－a－b）（a－b）D．（a+b）（a+b）
11．下列等式恒成立的是（）．
A．（m+n）2=m2+n2B．（2a－b）2=4a2－2ab+b2
C．（4x+1）2=16x2+8x+1 D．（x－3）2=x2－9
12．若A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），则A－2003的末位数字是（）．
A．0 B．2 C．4 D．6
二、填空
13．－xy2的系数是______，次数是_______．
14．一件夹克标价为a元，现按标价的7折出售，则实际售价用代数式表示为______．
15．x_______=x n+1；（m+n）（______）=n2－m2；（a2）3·（a3）2=______．
16．月球距离地球约为3.84×105千米，一架飞机速度为8×102千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需_________．
17．a2+b2+________=（a+b）2a2+b2+_______=（a－b）2
（a－b）2+______=（a+b）2
18．若x2－3x+a是完全平方式，则a=_______．
19．多项式5x2－7x－3是____次_______项式．
20．用科学记数法表示－0.000000059=________．
21．若－3x m y5与0.4x3y2n+1是同类项，则m+n=______．
22．如果（2a+2b+1）（2a+2b－1）=63，那么a+b的值是________．
23．若x2+kx+1
4
=（x－
1
2
）2，则k=_______；若x2－kx+1是完全平方式，则k=______．
24．（－16
15
）－2=______；（x－）2=_______．
25．22005×（0.125）668=________．
26．有三个连续的自然数，中间一个是x，则它们的积是_______ ．【综合创新训练】
27．已知2x+5y=3，求4x·32y的值．
28．已知a2+2a+b2－4b+5=0，求a，b的值．
29．设a（a－1）－（a2－b）=2，求
22
2
a b
－ab的值．
30、已知15x x -=，那么221x x
+=_______ 浙教版七年级下册数学第4章因式分解知识点及典型例题
【知识点归纳】
（1）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解．
（2）常用分解因式方法：
① 提取公因式法：_____________=++mc mb ma ．
其分解步骤为：★确定多项式的公因式：公因式＝各项系数的最大公因数与相同字母的最低次幂的积；★★将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式．
② 运用公式法：__________22=-b a ；__________22
2=+±b ab a ． 注意： ★如果多项式中各项含有公因式，应该先提取公因式，再考虑运用公式法；★★公式中的字母，即可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者一个多项式．
（3）分解因式的一般步骤：首先看能否提公因式，若不能提，那就套公式．
注：必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．（彻底性）
（4）整式乘法与分解因式的区别和联系：互为逆变形 ．
多项式 整式的积
【解题指导】
热点：
（1）提公因式法与公式法结合；
（2）应用问题；
（3）逆向思维的应用。

趋势：题型一般是重点考查概念和公式的灵活运用，突出“小、巧、活”及“新颖”等特点，探索性问题仍将是重点考查的题型。

因式分解的步骤：一提(公因式)，二套(公式)，三查，即看是否彻底分解完．
【例题解析】
例1、①分解因式：a (x －y )－b (y －x )＋c (x －y )＝ ； ②分解因式：481x -= ；
③因式分解：22(21)x x y ++-= ．
析解：按照因式分解的三个步骤“一提(公因式)，二套(公式)，三(分解)彻底”进行．
例2 请写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式来分解.
你编写的三项式是_______________，分解因式的结果是________________.
析解：利用整式乘法与因式分解的互逆关系，可以先利用乘法公式中的完全平方公式，写出一个等式，在它的两边都乘一个因式.
例3 如图1所示，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形（如图2），通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是____________。

A. a b a b a b 22-=+-()()
B. ()a b a ab b +=++222
2 C. ()a b a ab b -=-+2222 D. ()()a b a b a ab b +-=+-2222
注：掌握数形结合的思想方法。

例4 计算：=+--⋅⋅⋅---20191832222222___________.
析解：直接计算，我们肯定算不出来，那么结合我们这章所学的知识，肯定是要分解因式之后，找出规律再计算。

记住：凡是让我们计算比较大的数，都是要先找出规律。

原式 ＝ 222222
23181920+--⋅⋅⋅--- ＝ 2222)12(2231819+--⋅⋅⋅--- （请你来继续完成）
【基础能力训练】
一、因式分解
1．下列变形属于分解因式的是（）
A．2x2－4x+1=2x（x－2）+1 B．m（a+b+c）=ma+mb+mc
C．x2－y2=（x+y）（x－y）D．（m－n）（b+a）=（b+a）（m－n）2．计算（m+4）（m－4）的结果，正确的是（）
A．m2－4 B．m2+16 C．m2－16 D．m2+4
3．分解因式mx+my+mz=（）
A．m（x+y）+mz B．m（x+y+z）C．m（x+y－z）D．m3xyz 4．20052－2005一定能被（）整除
A．2 008 B．2 004 C．2 006 D．2 009
5．下列分解因式正确的是（）
A．ax+xb+x=x（a+b）B．a2+ab+b2=（a+b）2
C．a2+5a－24=（a－3）（a－8）D．a（a+ab）+b（1+b）=a2b（1+b）
6．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x－3）（x+1），则b，c的值是（）A．b=3，c=1 B．b=－c，c=2
C．b=－c，c=－4 D．b=－4，c=－6
7．请写出一个二次多项式，再将其分解因式，其结果为______．
8．计算：21×3.14+62×3.14+17×3.14=_________．
二、提公因式法
9．多项式3a2b3c+4a5b2+6a3bc2的各项的公因式是（）
A．a2b B．12a5b3c2C．12a2bc D．a2b2
10．把多项式m2（x－y）+m（y－x）分解因式等于（）
A．（x－y）（m2+n）B．（x－y）（m2－m）C．m（x－y）（m－1）D．m（x－y）（m+1）11．（－2）2001+（－2）2002等于（）
A．－22001B．－22002C．22001D．－2
12．－ab（a－b）2+a（b－a）2－ac（a－b）2的公因式是（）
A．－a（a－b）B．（a－b）2C．－a（a－b）（b－1）D．－a（a－b）2
13．观察下列各式：
（1）abx－cdy （2）3x2y+6y2x （3）4a3－3a2+2a－1 （4）（x－3）2+（3x－9）
（5）a2（x+y）（x－y）+12（y－x）（6）－m2n（x－y）n+mn2（x－y）n+1
其中可以直接用提公因式法分解因式的有（）
A．（1）（3）（5）B．（2）（4）（5）
C．（2）（4）（5）（6）D．（2）（3）（4）（5）（6）
14．多项式12x2n－4n n提公因式后，括号里的代数式为（）
A．4x n B．4x n－1 C．3x n D．3x n－1
15．分解下列因式：
（1）56x3yz－14x2y2z+21xy2z2 （2）（m－n）2+2n（m－n）
（3）m（a－b+c）－n（a+c－b）+p（c－b+a）（4）a（a－x）（a－y）+b（x－a）（y－a）
【综合创新训练】
三、综合测试
16．若x2（x+1）+y（xy+y）=（x+1）·B，则B=_______．
17．已知a－2=b+c，则代数式a（a－b－c）－b（a－b－c）－c（a－b－c）=______ 18．利用分解因式计算：1 297的5%，减去897的5%，差是多少？
四、创新应用
19．利用因式分解计算：
（1）2 0042－4×2 004; （2）39×37－13×34 （3）121×0.13+12.1×0.9－12×1.21
（4）20062 006×2008－20082008×2006 （5）
4
3 222 22
n n
n
+
+
-⨯
⨯
五、综合创新
21．已知2x－y=1
3
，xy=2，求2x4y3－x3y4的值．
22．已知：x3+x2+x+1=0，求1+x+x2+x3+x4+x5+…+x2007的值．23．设n为整数，求证：（2n+1）2－25能被4整除．
24. 先化简，再求值
[(3a-7)2-(a+5)2]÷(4a-24)，其中a=1 50。