阳泉市2019年中考数学一轮复习导学案(专题34概率)

34.概率
题组练习一（问题习题化）
1.下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其和大于1；④长分别为3、5、9厘米的三条线段能围成一个三角形．其中确定事件的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2.某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为3
1，遇到黄灯的概率为9
1，那么他遇到绿灯的概率为（ ）．
A. 3
1 B. 3
2 C. 94 D. 9
5
3.一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各1个．这些球除颜色外都相同．求下列事件的概率：
①搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球； ②搅匀后从中任意摸出2个球，两个球是一红一蓝；
②搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两个球是一红一蓝；
◆ 知识梳理
题组练习二（知识络化）
4.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向期中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次。

其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ） A. 28个 B. 30个 C. 36个 D. 42个
5.如图，随机闭合开关S 1，S 2，S 3中的两个，则灯泡发光的概率是（ ） A ．
34 B ．2
3
C ．13
D ．12
6.从2，3，4，5a 和b ，那么点（a ，b ）在函数12
y x =
图象上的概率是……. __________.
7.如图，四边形 ABCD 是菱形， E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，随机地向菱形ABCD 内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率
是__________.
8.在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，
黑球6个．
(1)先从袋子中取出
m(m>1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸
出黑球”记为事件A ．请完成下列表格：
(2)先从袋子中取出m 个红球，再放入m 个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的概率等于4
5
，求m 的值．
9.如图，已知点A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为( ) 10.（1）甲、乙、
丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、
丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人．求第二次传球后球回到甲手里的概率．
（2）如果甲跟另
外n （n ≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么，第三次传球后球回到甲手里的概率是 ▲ （请直接写出结果）．
题组练习三（中考考点链接） 11.下列说法正确的是（ ）
A ．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件
B ．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是4.02=甲S ，6.02
=乙S ，
则甲的射击成绩较稳定 C ．“明天降雨的概率为
2
1
”，表示明天有半天都在降雨 D ．了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式
第
第9题B
D A
C E
A C D G F
B G
H
F
A
C
B
D
E 1
S 2
S 3
S
12.为进一步增强学生体质，据悉，我市从2019年起，中考体育测试将进行改革，实行必测项目和选测项目相结合的方式。

必测项目有三项：立定跳远、坐位体前屈、跑步；选测项目：在篮球（记为X 1）、排球（记为X 2）、足球（记为X 3）中任选一项。

（1）每位考生将有 种选择方案；
（2）用树状图或列表的方法求小颖和小华将选择同种方案的概率。

1.B ；
2.D ；
3.解：（1）①；②16;③1
8
；4.A ；5.B; 6.
1
6
；7. 12
;
8. （2）64
105
m +=， ∴m=2 . 9.
25
10.解：（1）画树状图：
列表：
共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种，
乙
甲 丙 丁
第2次
第1次 甲
丙
甲 乙 丁
丁
甲 乙 丙
∴P （第2次传球后球回到甲手里）＝39＝1
3．
（2）
n －1n
2． 11.B
12.（1）3
（2）小颖和小华将选择同种方案的概率为
3
1 乙
甲 丙 丁 第2次
第1次
甲
丙
甲 乙 丁 丁
甲 乙 丙
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．将含有30°角的直角三角板OAB 如图放置在平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，若OA=2，将三角板绕原点O 顺时针旋转75°，则点A 的对应点A ′的坐标为（ ）
1) B.(1)
) D.()
2．如图，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ）
A ．△ACE ≌△BCD
B ．△BG
C ≌△AFC C ．△DCG ≌△ECF
D ．△ADB ≌△CEA
3．将抛物线y ＝3x 2
先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，平移后抛物线的函数表达式是( ) A ．y ＝3(x+1)2
+4 B ．y ＝3(x ﹣1)2
+4 C ．y ＝3(x+1)2﹣4
D ．y ＝3(x ﹣1)2﹣4
4．一组数据：3，5，4，2，3的中位数是（ ） A.2
B.4
C.3
D.3.5
5．岳池医药招商保持良好态势，先后签约成都百裕制药、济南爱思、重庆泰濠、四川源洪福科技、四川恒康科技、成都天瑞炳德、南充金方堂、药融园8个亿元以上医药项目和科伦药业、人福药业CS0两个医贸项目，协议投资额约51.5亿元。

将51.5亿元用科学计数法表示为（ ）元 A ．95.1510⨯
B ．851.510⨯
C ．105.1510⨯
D ．751510⨯
6．如图，从一块直径为24cm 的圆形纸片上，剪出一个圆心角为90°的扇形ABC ，使点A ，B ，C 都在圆周上，将剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A.3 cm
B.2cm
C.6cm
D.12cm
7．如图所示的几何体是将一圆锥截去一部分后所得到的，则它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在等腰△ABC中，∠A=120°，AB=4，则△ABC的面积为（）
A．B．4 C．D．
9．由个大小相同的正方形搭成的几何体，被小颖拿掉两个后，得到如图所示的几何体，如图是原几何体的三视图，请你判断小颖拿掉的两个正方体原来放在（）
A．4号的左右B．3号的前后C．1号的前后D．2号的前后
10．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
A．B．C．D．
11．下列运算正确的是（）
A．3a2•a3＝3a6B．5x4﹣x2＝4x2
C．（2a2）3•（﹣ab）＝﹣8a7b D．2x2÷2x2＝0
12．如图，△ABC中，BC=2，DE是它的中位线，下面三个结论：（1）DE=1；（2）△ADE∽△ABC；（3）△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4．其中正确的有（）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
二、填空题
13．一个扇形的弧长为4π，半径长为4，则该扇形的面积为___________.
14
____________．
15．函数y＝
2
31
x
x+
中自变量x的取值范围是____________ .
16．16的平方根是．
17．如图，AB∥CD．EF⊥AB于E，EF交CD于F，已知∠1=58°12'，则∠2=______．
18．圆锥形冰淇淋的母线长是12cm，侧面积是60πcm2，则底面圆的半径长等于_____．
三、解答题
19．今有鸡兔同笼，上有二十八头，下有七十八足．问鸡兔各几何？试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．
20．小敏学习之余设计了一个求函数表达式的程序，具体如图所示，则当输入下列点的坐标时，请按程序指令解答．
（1）P1（1，0），P2（﹣3，0）．
（2）P1（2，﹣1），P2（4，﹣3）
21．（1
）计算：
1
1
3tan30(1
2
-
︒
⎛⎫
--+-+
⎪
⎝⎭
（2）先化简，再求值
2
2
1122
121
x x x x
x x x x
---
⎛⎫
-÷
⎪
+++
⎝⎭
，其中，x满足x2﹣x＝1．
22．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连
接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝2，求AC的长．
23．“足球运球”被列入中招体育必考项目．为此某学校举行“足球运球”达标测试，将成绩10分、9分、8分、7分，对应定为A，B，C，D四个等级．某班根据测试成绩绘制如下统计图，请回答下列问题：
(1)该班级的总人数为，m＝．
(2)补全条形统计图．
(3)该班“足球运球”测试的平均成绩是多少？
(4)现准备从等级为A的4个人(2男2女)中随机抽取两个人去参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到一男一女的概率．
24．已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别在边AB、BC上，且AE＝BF，CE与AF相交于点G．
（1）求证：∠FGC＝∠B；
（2）延长CE与DA的延长线交于点H，求证：BE•CH＝AF•AC．
25．问题提出
（1）如图①，在等腰Rt△ABC中，斜边AC＝4，点D为AC上一点，连接BD，则BD的最小值为；问题探究
（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M是BC上一点，且BM＝4，点P是边AB上一动点，连接PM，将△BPM沿PM翻折得到△DPM，点D与点B对应，连接AD，求AD的最小值；
问题解决
（3）如图③，四边形ABCD是规划中的休闲广场示意图，其中∠BAD＝∠ADC＝135°，∠DCB＝30°，AD
＝km，AB＝3km，点M是BC上一点，MC＝4km．现计划在四边形ABCD内选取一点P，把△DCP建成
商业活动区，其余部分建成景观绿化区．为方便进入商业区，需修建小路BP、MP，从实用和美观的角度，要求满足∠PMB＝∠ABP，且景观绿化区面积足够大，即△DCP区域面积尽可能小．则在四边形ABCD内是否存在这样的点P？若存在，请求出△DCP面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．8π
14．2
15．x≠－1 3
16．±4．
17．31°48′
18．5cm.
三、解答题
19．鸡有17只，兔有11只．
【解析】
【分析】
设鸡有x只，兔有y只，根据鸡和兔共有28只头和78条腿，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】
设鸡有x只，兔有y只，
依题意，得：
28 2478 x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
17
11 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
答：鸡有17只，兔有11只． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 20．（1）248
433
y x x =--+；（2）y ＝﹣x+1． 【解析】 【分析】
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，根据待定系数法进行求解即可. 【详解】
解：（1）∵P 1（1，0），P 2（﹣3，0），1＞﹣3， ∴x 1x 2＝﹣3＜0，
设过P 1（1，0），P 2（﹣3，0），P （﹣2，4）三点的抛物线的函数表达式为：y ＝a （x ﹣1）（x+3）， 将P （﹣2，4）代入解得4
,3
a =- ∴()()2441333
38
4y x x x x =-
-+=-+-；
（2）∵P 1（2，﹣1），P 2（4，﹣3），2＜4， ∴y 1y 2＝3＞0，
设直线P 1P 2的函数表达式为：y ＝kx+b ， ∴21
43,k b k b +=-⎧⎨
+=-⎩
∴11.k b =-⎧⎨=⎩
∴y ＝﹣x+1． 【点睛】
考查程序框图，待定系数法求一次函数，二次函数解析式，读懂题目中的程序框图是解题的关键. 21．（1
）1-+（2）1
2
. 【解析】 【分析】
（1）按顺序先分别进行负整数指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值、零指数幂的运算、二次根式的化简，然后再按运算顺序进行计算即可；
（2）括号内先通分进行分式的加减法运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后由x 2
﹣x ＝1，得x 2
＝x+1，代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】
（1
）1
013tan30(12-︒⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭
＝（﹣2）﹣3×
3
＝（﹣2
＝﹣
（2）2
21122121x x x x
x x x x ---⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭
＝
()()()()()()
2
1111121x x x x x x x x x -+--++-
＝()()()
2
11121x x x x x x +-+-
＝
2
1
2x x +， ∵x 2
﹣x ＝1， ∴x 2＝x+1， ∴原式＝
12
. 【点睛】
本题考查分式的化简求值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
22．（1）见解析.（2） 【解析】 【分析】
（1）先证明四边形BCDE 是平行四边形，再证明BE ＝DE ，根据一组邻边相等的平行四边形为菱形即可判定四边形BCDE 是菱形；（2）连接AC ，根据平行线的性质及角平分线的定义证得∠BAC ＝∠DAC ＝∠BCA ，即可得AB ＝BC ＝2，根据锐角三角函数的定义求得∠ADB ＝30°，所以∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°，在
Rt △ACD 中，即可求得AC ＝2． 【详解】
（1）证明：∵AD ＝2BC ，E 为AD 的中点， ∴DE ＝BC ， ∵AD ∥BC ，
∴四边形BCDE 是平行四边形， ∵∠ABD ＝90°，AE ＝DE ， ∴BE ＝DE ，
∴四边形BCDE 是菱形． （2）连接AC ．
∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，∴AB＝BC＝2，
∵AD＝2BC＝4，
∴sin∠ADB＝1
2
，
∴∠ADB＝30°，
∵四边形BCDE是菱形．
∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，
在Rt△ACD中，∵AD＝4，
∴AC＝
【点睛】
本题考查了菱形的判定及解直角三角形的知识，熟练运用菱形的判定方法及解直角三角形是解决问题的关键.
23．(1)40、30；(2)见解析；(3)该班“足球运球”测试的平均成绩是8.4分；(4)2
3
.
【解析】
【分析】
（1）根据A的人数除以占的百分比求出调查学生的人数，根据各等级百分比之和为1可得m的值；（2）求出C等级的人数，补全条形统计图即可；
（3）根据加权平均数的计算公式计算可得；
（4）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．【详解】
解：(1)该班级的总人数为4÷10%＝40人，m＝100﹣(10+40+20)＝30，
故答案为：40、30；
(2)C等级的人数为40﹣(4+16+8)＝12，
补全统计图如下：
(3)该班“足球运球”测试的平均成绩是
10491681278
40
⨯+⨯+⨯+⨯＝8.4(分)，
(4)设男同学标记为A 、B ；女学生标记为1、2，可能出现的所有结果列表如下：
共有 12 种可能的结果，且每种的可能性相同，其中刚好抽到一男一女的结果有8种： 则P(一男一女)＝82
123
=． 【点睛】
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键． 24．（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）先利用菱形的性质判断△ABC 为等边三角形得到∠B ＝∠BAC ＝60°，再证明△ABF ≌△CAE 得到∠BAF ＝∠ACE ，然后利用角度代换可得到结论； （2）如图，先证明△BCE ∽△DHC 得到BE CE
CD CH
=，然后利用等线段代换可得到结论． 【详解】
（1）∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB ＝BC ， 而AB ＝AC ， ∴AB ＝BC ＝AC ， ∴△ABC 为等边三角形， ∴∠B ＝∠BAC ＝60°， 在△ABF 和△CAE 中
AB CA B CAE BF AE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABF ≌△CAE （SAS ），
∴∠BAF＝∠ACE，
∵∠FGC＝∠GAC+∠ACG＝∠GAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，∴∠FGC＝∠B；
（2）如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠B＝∠D，AD∥BC，
∴∠BCE＝∠H，
∴△BCE∽△DHC，
BE CE
CD CH
∴=，
∵△ABF≌△CAE，
∴CE＝AF
∵CA＝CB＝CD，
∴BE AF AC CH
=，
∴BE•CH＝AF•AC．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；同时灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了菱形的性质．
25．4;(3) 存在点P，使得△DCP的面积最小，△DCP﹣20）
km2．
【解析】
【分析】
（1）如图1，当BD⊥AC时，BD的值最小，根据直角三角形斜边中线的性质可得结论；
（2）如图2，根据BM＝DM可知：点D在以M为圆心，BM为半径的⊙M上，连接AM交⊙M于点D'，此时AD值最小，计算AM和半径D'M的长，可得AD的最小值；
（3）如图3，先确定点P的位置，再求△DCP的面积；假设在四边形ABCD中存在点P，以BM为边向下作等边△BMF，可知：A、F、M、P四点共圆，作△BMF的外接圆⊙O，圆外一点与圆心的连线的交点就是点P的位置，并构建直角三角形，计算CD和PQ的长，由三角形的面积公式可求得面积．
【详解】
解：（1）当BD⊥AC时，如图1，
∵AB＝BC，
∴D是AC的中点，
∴BD＝1
2
AC＝
1
2
×4＝2，即BD的最小值是2；
故答案为：2；
（2）如图2，由题意得：DM＝MB，
∴点D在以M为圆心，BM为半径的⊙M上，连接AM交⊙M于点D'，此时AD值最小，
过A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC＝5，
∴BE＝EC＝1
2
BC＝
1
63
2
⨯=，
由勾股定理得：AE=4，
∵BM＝4，
∴EM＝4﹣3＝1，
∴AM=，
∵D'M＝BM＝4，
∴AD'＝AM﹣D'M﹣4，
即线段AD﹣4；
（3）如图3，假设在四边形ABCD中存在点P，
∵∠BAD＝∠ADC＝135°，∠DCB＝30°，
∴∠ABC＝360°﹣∠BAD﹣∠ADC﹣∠DCB＝60°，
∵∠PMB＝∠ABP，
∴∠BPM＝180°﹣∠PBM﹣∠PMB＝180°﹣（∠PBM+∠ABP）＝180°﹣∠ABC＝120°，
以BM 为边向下作等边△BMF ，作△BMF 的外接圆⊙O ，
∵∠BFM+∠BPM ＝60°+120°＝180°，则点P 在BM 上， 过O 作OQ ⊥CD 于Q ，交⊙O 于点P ，
设点P'是BM 上任意一点，连接OP'，过P'作P'H ⊥CD 于H ， 可得OP'+P'H≥OQ＝OP+PQ ，即P'H≥PQ， ∴P 即为所求的位置， 延长CD ，BA 交于点E ，
∵∠BAD ＝∠ADC ＝135°，∠DCB ＝30°，∠ABC ＝60°， ∴∠E ＝90°，∠EAD ＝∠EDA ＝45°，
∵AD ＝， ∴AE ＝DE ＝2，
∴BE ＝AE+AB ＝5，BC ＝2BE ＝10，CE ＝，
∴BM ＝BC ﹣MC ＝6，CD ＝﹣2， 过O 作OG ⊥BM 于G ，
∵∠BOM ＝2∠BFM ＝120°，OB ＝OM ， ∴∠OBM ＝30°，
∴∠ABO ＝∠ABM+∠MBO ＝90°，OB cos30
BG
︒
= ＝， ∴∠E ＝∠ABO ＝∠OQE ＝90°， ∴四边形OBEQ 是矩形， ∴OQ ＝BE ＝5，
∴PQ ＝OQ ﹣OP ＝5﹣
∴S △DPC ＝
11(52)222
PQ CD ⋅=-=
﹣20，
﹣20）km2．
∴存在点P，使得△DCP的面积最小，△DCP面积的最小值是（
2
【点睛】
本题是四边形与圆的综合题，有难度，考查三角形的面积，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形，矩形的判定和性质，圆的有关性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造圆来解决问题，属于中考常考题型．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＞BC ，若以AC 为底面圆半径、BC 为高的圆锥的侧面积为S 1，以BC 为底面圆半径、AC 为高的圆锥的侧面积为S 2，则（ ）
A ．S 1＝S 2
B ．S 1＞S 2
C ．S 1＜S 2
D ．S 1、S 2的大小关系不确定 2．已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧上不同于点C 的任意一点，则∠BPC
的度数是（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．75°
D ．90°
3．以下所给的数值中，为不等式﹣2x+3＜0的解集的是（ ） A.x ＜﹣2
B.x ＞﹣1
C.x ＜﹣
32
D.x ＞
32
4．把不等式组240
30x x -≥⎧⎨->⎩
的解集表示在数轴上，正确的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四点，则所表示的数与5最接近的是( )
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
6．下列运算正确的是（ ） A ．（﹣a 2）3＝﹣a 5
B ．a 3•a 5＝a 15
C ．a 5÷a 2＝a 3
D ．3a 2﹣2a 2＝1
7．下列运算正确的是（ ） A ．2a 2b ﹣ba 2＝a 2b B ．a 6÷a 2＝a 3 C ．（ab 2）3＝a 2b 5
D ．（a+2）2＝a 2+4
8．如图，已知点E 是矩形ABCD 的对角线AC 上的一个动点，正方形EFGH 的顶点G 、H 都在边AD 上，若2AB =，5BC =，则tan AFE ∠的值（ ）
A ．等于25
B ．等于27
C ．等于5
7
D ．不确定，随点
E 位置的变化而变化
9．对于函数y=-2（x-3）2，下列说法不正确的是（ ）
A.开口向下
B.对称轴是3x =
C.最大值为0
D.与y 轴不相交
10．在体育模拟考中，某6人小组的1000米长跑得分（单位：分）分别为：10，9，8，10，10，9，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A ．9分，8分
B ．9分，9.5分
C ．10分，9分
D ．10分，9.5分
11．下列计算正确的是（ ） A ．3a ﹣a ＝3
B ．（a 2）3＝a 6
C ．3a+2a ＝2a 2
D ．a 2﹣a 2＝a 4
12．小明参加射击比赛，10次射击的成绩如表：
若小明再射击2次，分别命中7环、9环，与前10次相比，小明12次射击的成绩（ ） A ．平均数变大，方差不变 B ．平均数不变，方差不变 C ．平均数不变，方差变大 D ．平均数不变，方差变小
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣
2
3
x+4的图象与x 轴和y 轴分别相交于A 、B 两点．动点P 从点A 出发，在线段AO 上以每秒3个单位长度的速度向点O 作匀速运动，到达点O 停止运动，点A 关于点P 的对称点为点Q ，以线段PQ 为边向上作正方形PQMN ．设运动时间为t 秒．若正方形PQMN 对角线的交点为T ，请直接写出在运动过程中OT+PT 的最小值____.
14．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA= ．
15．如图，线段10AB =，点P 在线段AB 上，在AB 的同侧分别以AP 、BP 为边长作正方形APCD 和
BPEF ，点M 、N 分别是EF 、CD 的中点，则MN 的最小值是______．
16．函数2
21
x y x -=-中，自变量x 的取值范围是____________． 17．函数
y =
中，自变量x 的取值范围是________. 18．计算：|﹣3|+（﹣2）3+10＝_____． 三、解答题 19．解方程：
25
2112x x x
+--＝3． 20．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别是E 、F ，DE=BF ， 求证：四边形ABCD 是平行四边形．
21．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+1与x 轴交于两点A （﹣1，0），B （1，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；
（2）过点B 作BD ∥CA 抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；
（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，安徽江淮集团某部门研制了绘图智能机器人，该机器人由机座、手臂和末端操作器三部分组成，底座AE ⊥直线L 且25AE cm =，手臂60AB BC cm ==，末端操作器35CD cm =，AF 直线L .当机器人运作时，45,75,60BAF ABC BCD ∠=︒∠=︒∠=︒，求末端操作器节点D 到地面直线L 的距离.（结果保留根号）
23．计算：（﹣12
）﹣2﹣（2019﹣π）0﹣1| 24．阅读下列材料，解决材料后的问题：
材料一：对于实数x 、y ，我们将x 与y 的“友好数”用f （x ，y ）表示，定义为：f （x ）＝2x y +，例如17与16的友好数为f （17，16）＝17162+＝1718
． 材料二：对于实数x ，用[x]表示不超过实数x 的最大整数，即满足条件[x]≤x＜[x]+1，例如：
[﹣1.5]＝[﹣1.6]＝﹣2，[0]＝[0.7]＝0，[2.2]＝[2.7]＝2，……
（1）由材料一知：x 2+2与1的“友好数”可以用f （x 2+2，1）表示，已知f （x 2+2，1）＝2，请求出x 的值；
（2）已知[
12
a ﹣1]＝﹣3，请求出实数a 的取值范围； （3）已知实数x 、m 满足条件x ﹣2[x]＝72，且m≥2x+112，请求f （x ，m 2﹣32m ）的最小值． 25．在平面直角坐标系中，己知O 为坐标原点，点(2,0),(0,4)A B ，以点A 为旋转中心，把ABO 顺时针旋转，得ACD .
（Ⅰ）如图①，当旋转后满足//DC x 轴时，求点C 的坐标.
（Ⅱ）如图②，当旋转后点C 恰好落在x 轴正半轴上时，求点D 的坐标.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OB 上的一点P 旋转后的对应点为P '，当DP AP '+取得最小值时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．18
5
．
14．3 5
15．5
16．
1
2 x≠
17．5
x>-18．﹣4．三、解答题
19．
1
2 x=-
【解析】
【分析】
先把分式方程化为整式方程，解整式方程求得x的值，检验即可得分式方程的解. 【详解】
原方程变形为
25
3 2121
x
x x
-=
--
，
方程两边同乘以（2x﹣1），得2x﹣5＝3（2x﹣1），
解得
1
2
x=-．
检验：把
1
2
x=-代入（2x﹣1），（2x﹣1）≠0，
∴
1
2
x=-是原方程的解，
∴原方程的
1
2
x=-．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，把分式方程化为整式方程是解决问题的关键，解分式方程时，要注意验根. 20．见解析
【解析】
【分析】
根据DE=CF，求出DF=BE，再由AB∥CD，求出∠CDF=∠ABE，从而得到△CDF≌△ABE，CD=AB结合AB∥CD，最终得到结论.
【详解】
证明：∵DE=CF，
∴DE+EF=BF+EF，
DF=BE，
∵AB∥CD，
∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△CDF 和△ABE 中，CDF ABE DF BE
CFD AEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩
，
∴△CDF ≌△ABE （ASA ），
∴CD=AB ，
又∵AB ∥CD
四边形ABCD 是平行四边形．
【点睛】 考查了证明全等三角形的方法，并根据一组对边平行且相等，来证明四边形为平行四边形.
21．（1）y ＝﹣x 2+1；（2）4；（3）M （
43，﹣79
）或（4，﹣15）或（﹣2，﹣3）． 【解析】
【分析】
（1）将A 、B 的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；
（2）先求出直线AC 的解析式，由于BD ∥AC ，那么直线BD 的斜率与直线AC 的相同，可据此求出直线BD 的解析式，联立抛物线的解析式即可求出D 点的坐标；由图知四边形ACBD 的面积是△ABC 和△ABD 的面积和，由此可求得其面积；
（3）易知OA ＝OB ＝OC ＝1，那么△ACB 是等腰直角三角形，由于AC ∥BD ，则∠CBD ＝90°；根据B 、C 的坐标可求出BC 、BD 的长，进而可求出它们的比例关系；若以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似，那么两个直角三角形的对应直角边应该成立，可据此求出△AMN 两条直角边的比例关系，连接抛物线的解析式即可求出M 点的坐标．
【详解】 解：（1）依题意，得：1010a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得10a b =-⎧⎨=⎩
； ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+1；
（2）易知A （﹣1，0），C （0，1），则直线AC 的解析式为：y ＝x+1；
由于AC ∥BD ，可设直线BD 的解析式为y ＝x+h ，则有：1+h ＝0，h ＝﹣1；
∴直线BD 的解析式为y ＝x ﹣1；联立抛物线的解析式得：
211
y x y x ⎧=-+⎨=-⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩，23x y =-⎧⎨=-⎩； ∴D （﹣2，﹣3）；
∴S 四边形ACBD ＝S △ABC +S △ABD ＝12×2×1+12
×2×3＝4； （3）∵OA ＝OB ＝OC ＝1，
∴△ABC 是等腰Rt △；
∵AC ∥BD ，
易求得BC ，BD ＝；
∴BC ：BD ＝1：3；
由于∠CBD ＝∠MNA ＝90°，若以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似，则有：
△MNA ∽△CBD 或△MNA ∽△DBC ，得：
13MN BC AN BD ==或3MN BD AN BC
==； 即MN ＝13
AN 或MN ＝3AN ； 设M 点的坐标为（x ，﹣x 2+1），
①当x ＞1时，AN ＝x ﹣（﹣1）＝x+1，MN ＝x 2﹣1；
∴x 2﹣1＝
13
（x+1）或x 2﹣1＝3（x+1）， 解得x ＝43
，x ＝﹣1（舍去）或x ＝4，x ＝﹣1（舍去）； ∴M 点的坐标为：M （43，﹣79）或（4，﹣15）； ②当x ＜﹣1时，AN ＝﹣1﹣x ，MN ＝x 2﹣1；
∴x 2﹣1＝
13
（﹣x ﹣1）或x 2﹣1＝3（﹣x ﹣1）， 解得x ＝23，x ＝﹣1（两个都不合题意，舍去）或x ＝﹣2，x ＝﹣1（舍去）； ∴M （﹣2，﹣3）；
故存在符合条件的M 点，且坐标为：M （
43，﹣79
）或（4，﹣15）或（﹣2，﹣3）． 【点睛】
此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法以及相似三角形的判定和性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想．
22．（20+）cm.
【解析】
【分析】
作BG ⊥CD ，垂足为G ，BH ⊥AF ，垂足为H ，解Rt CBG ∆和Rt ABH ∆，分别求出CG 和BH 的长，根据D 到L 的距离()BH AE CD CG =+--求解即可.
【详解】
如图，作BG ⊥CD ，垂足为G ，BH ⊥AF ，垂足为H ，
在Rt CBG ∆中，∠BCD=60°，BC=60cm ，
∴cos6030CG BC =⋅︒=，
在Rt ABH ∆中，∠BAF=45°，AB=60cm ，
∴sin45BH AB =⋅︒=
∴D 到L 的距离()25520)BH AE CD CG cm =+--=-=.
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是构造出适当辅助线，从而利用锐角三角函数的定义求出相关线段. 23．2
【解析】
【分析】
直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：原式＝4﹣1﹣1
＝4﹣1 1
＝2．
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
24．（1）x ＝±2；（2）﹣4≤a＜﹣2；（3）当m ＝34
时，y 有最大值是﹣238，此时f （x ，m 2﹣32m ）有最小值，最小值是﹣
4023
． 【解析】
【分析】 （1）由题意得到22212
x +=+，计算即可得到答案； （2）由题意得到131312
a -≤-<-+，解不等式即可得到答案； （3）先由题意得到171712424x x x -≤<-+，则7322x -≤<-，设1724
x k -=，由题意得到111222
m x ≥+=，设y ＝﹣2m 2+3m ﹣4，根据二次函数的性质即可得到答案. 【详解】
解：（1）∵f （x 2+2，1）＝2，
∴22212
x +=+， ∴x 2＝4，
∴x ＝±2；
（2）∵[x]≤x＜[x]+1， ∴131312
a -≤-<-+， 解得﹣4≤a＜﹣2；
（3）∵x ﹣2[x]＝74
， ∴[x]＝1724
x -， ∴171712424
x x x -≤<-+， ∴7322x -
≤<-， 设1724
x k -=， 又x ＝2k+
72， ∴7522
k -≤<-, ∴整数k ＝﹣3，
∴x ＝52
-， 又111222
m x ≥+=， ∴f （x ，m 2﹣32m ）， ＝2322
x
m m -+， ＝252322
m m --+， ＝25234
m m -+-，
设y ＝﹣2m 2+3m ﹣4，
则y ＝﹣2（m 34-
）2238
-， ∵﹣2＜0， ∴当m ＝34时，y 有最大值是238-，此时f （x ，m 2﹣32m ）有最小值，最小值是5238
-＝﹣4023， 此时最小值为﹣
4023． 【点睛】
本题考查分式方程的计算和二次函数，解题的关键是读懂题意，掌握分式方程的计算和二次函数的性质.
25．（Ⅰ）(6,2)C ；（Ⅱ）(2D +
；（Ⅲ）点P 坐标. 【解析】
【分析】
（Ⅰ）如图①中，作CH ⊥x 轴于H ．根据旋转的性质和三个角是直角的四边形是矩形得出四边形ADCH 是矩形，利用矩形的性质即可解决问题；
（Ⅱ）如图②中，作DK ⊥AC 于K ．在Rt △ADC 中，求出DK 、AK 即可解决问题；
（Ⅲ）如图③中，连接PA 、AP′，作点A 关于y 轴的对称点A′，连接DA′交y 轴于P′，连接AP′．由题意PA=AP′，推出AP′+PD=PA+PD，根据两点之间线段最短，可知当点P 与点P′重合时，PA+PD 的值最小．只要求出直线A′D 的解析式即可解决问题；
【详解】
解：（Ⅰ）如图①中，作CH x ⊥轴于H.
∵//90CD AH D AHC ∠=∠=︒，，
∴90DAH ∠=︒，
∴四边形ADCH 是矩形，
∴24AD OA CH CD OB AH ======，，
∴6OH =，
∴()6,2C
（Ⅱ）如图②中，作DK AC ⊥于K.
在Rt ADC 中，∵2,4AD CD ==，
∴AC = ∵1122
AD DC AC DK ⋅⋅=⋅⋅，
∴DK AK =
=
∴2OK =，
∴2,55D ⎛+ ⎝⎭
（Ⅲ）如图③中，连接PA 、AP′，作点A 关于y 轴的对称点A′，连接DA′交y 轴于P′，连接AP′．
由题意PA=AP′，
∴AP′+PD=PA+PD，
根据两点之间线段最短，可知当点P 与点P′重合时，PA+PD 的值最小．
A (2,0),D 255'
⎛-+ ⎝⎭，
∴直线A′D 的解析式为24y x 1919
=+ ，
点P 坐标⎛ ⎝⎭
【点睛】
本题考查了几何变换综合题、解直角三角形，两点之间线段最短等知识，解题的关键是会利用两点之间线段最短解决最短路径问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。