备战高考十高考文数分项新课标2专专题 选修部分解析含解斩

【2015.2016】
22.【2015新课标2文数】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图O 是等腰三角形AB C 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.
（I ）证明EF BC ；
（II ）若AG 等于圆O 半径,且23AE MN == ,求四边形EBCF 的面积.
【答案】（I ）见试题解析；（II ）
163 【解析】
【考点定位】本题主要考查几何证明、四边形面积的计算及逻辑推理能力.
【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理.
23. 【2015新课标2文数】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,
x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为
极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ==
（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；
（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.
【答案】（I ）()330,0,,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
；（II ）4. 【解析】
【考点定位】本题主要考查参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.圆的方程及三角函数的最值.
【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式,以及直线、圆、椭圆的参数方程形式,直线、圆的参数方程中参数的几何意义,理解其意义并在解题中灵活地加以应用,往往可以化繁为简,化难为易.
24. 【2015新课标2文数】（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲
设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：
（I ）若ab cd > ,a b c d >
（II ）a b c d +>+是a b c d -<-的充要条件.
【答案】
【解析】
【考点定位】：本题主要考查不等式证明及充分条件与必要条件.
【名师点睛】不等式证明选讲往年多以绝对值不等式为载体命制试题,今年试题有所创新,改为证明不等式.这类代数证明问题,对逻辑推理的要求更高,难度有所增加,注意第二问是充要条件的证明,要分别证明充分性与必要性.
(22) 【2016新课标2文数】(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .
(Ⅰ)证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；
(Ⅱ)若AB =1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12
. 【解析】
【考点】 三角形相似、全等，四点共圆
【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．通过相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，还可间接证明线段相等．
(23) 【2016新课标2文数】(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .
(Ⅰ)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
(Ⅱ)直线l 的参数方程是cos sin x t α,y t α,（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，10AB ,
求l 的斜率.
【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）153
±
. 【解析】
【考点】圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，弦长公式
【名师点睛】极坐标与直角坐标互化时要注意：将点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一；将曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.
(24) 【2016新课标2文数】 (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数11()22f x x x ，M 为不等式()2f x 的解集. (Ⅰ)求M ；
(Ⅱ)证明：当a ，b M 时，1a b ab .
【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
【考点】绝对值不等式，不等式的证明.
【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：
(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．
(2)图象法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图象，结合图象求解．
一．基础题组
1.【2013课标全国Ⅱ，文22】(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E， F，C四点共圆．
(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；
(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
(2)连结CE，因为∠CBE＝90°，
所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，
由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.
而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为1 2 .
2.【2013课标全国Ⅱ，文23】(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C：
2cos,
2sin
x t
y t
=
⎧
⎨
=
⎩
(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0
＜α＜2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
3.【2012全国新课标，文24】选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|．
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2］，求a的取值范围．
【解析】：(1)当a＝－3时，
25,2, ()1,23,
25, 3.
x x
f x x
x x
-+≤
⎧
⎪
=<<
⎨
⎪-≥
⎩
当x≤2时，由f(x)≥3，得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2＜x＜3时，f(x)≥3无解；
当x≥3时，由f(x)≥3，得2x－5≥3，解得x≥4；所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}．
(2)f(x)≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.
当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a |
4－x－(2－x)≥|x＋a |
－2－a≤x≤2－a.
由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.
故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．
4. 【2010全国新课标，文22】选修4－1：几何证明选讲 如图，已知圆上的弧，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：
(1)∠ACE＝∠BCD；
(2)BC 2
＝BE×CD.
5. 【2010全国新课标，文23】选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线C 1：1cos sin x t y t αα=+⎧⎨
=⎩ (t 为参数)，圆C 2：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)． (1)当α＝3
π时，求C 1与C 2的交点坐标； (2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
【解析】：(1)当α＝3
π时，C 1的普通方程为y
(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.
联立方程组221),1,
y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩－解得C 1与C 2的交点为(1,0)，(12
． (2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，
故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为21sin 21sin cos 2
x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩－ (α为参数)． P 点轨迹的普通方程为(x －
14)2＋y 2＝116
. 故P 点轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆． 6. 【2010全国新课标，文24】选修4－5：不等式选讲 设函数f(x)＝|2x －4|＋1.
(1) 画出函数y ＝f(x)的图像；
(2)若不等式f(x)≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．
二．能力题组
（22）1. 【2014全国2，文22】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：
（Ⅰ）BE EC =；
（Ⅱ）22AD DE
PB ⋅=
2. 【2014全国2，文23】(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,
]2πρθθ=∈.
（Ⅰ）求C 得参数方程；
（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
【解析】（Ⅰ）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤．可得C 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩
（t 为参数，0t π≤≤）． （Ⅱ）设(1cost,sint)D +．由（Ⅰ）知，C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同．tan 3,3t t π
==．故D 的直角坐标为(1cos ,sin )33
ππ+，即33(2． 3. 【2014全国2，文24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数1()||||(0)f x x x a a a
=++->
（Ⅰ）证明：()2
f x≥；
（Ⅱ）若(3)5
f<，求a的取值范围.
三．拔高题组
1.【2013课标全国Ⅱ，文24】(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
(1)ab＋bc＋ca≤1
3
；
(2)
222
a b c
b c a
++≥1.
2.【2012全国新课标，文22】选修4—1：几何证明选讲
如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：
(1)CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD．
【解析】：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC．
又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，
所以CF＝BD＝AD．
而CF∥AD，连结AF，
所以ADCF是平行四边形，故CD＝AF.
因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC．
(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.
由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD．
而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD．
3.【2012全国新课标，文23】选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是
2cos
3sin
x
y
ϕ
ϕ
⎧
⎨
⎩
＝，
＝，
(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2．正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D
依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，
π
3 )．
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．。