江苏省泰州中学2017-2018学年高二6月月考理数试题(解析版)

1．10【解析】分析：根据平均数的计算公式求解即可得到结论．
详解：由题意得所求平均数为
．
点睛：本题考查样本平均数的概念及求法，考查学生的计算能力，属于容易题．
2．【解析】分析：由极坐标方程得到圆的半径，然后根据圆面积公式计算可得结果．
详解：∵圆的极坐标方程为，
∴圆的半径为2，
∴该圆的面积为．
点睛：本题考查极坐标方程，解题的关键是正确理解方程的含义、得到圆的半径，同时也考查学生的运算能力．
点睛：对于总体中的个体具有明显差异的总体来说，抽样时可用分层抽样．分层抽样即在每个层中按比例抽样，计
算的主要依据是：各层抽取的数量之比等于总体中各层的数量之比．
4．500【解析】分析：由题意得到数据在[125,150)内的频率，根据频率、频数和样本容量间的关系可得所求．详解：由频率分布直方图可得，数据在[125,150)内的频率为，
所以．
点睛：解答本题时注意两点：一是在频率分布直方图中，小长方形的面积才表示该组的频率；二是求解时要注意频率、频数和样本容量间的关系，由题意正确列式求解．
5．25【解析】分析：由题意得即求的值，计算可得结果．
详解：由题意可得，运行的结果为
．
点睛：解答本题的关键是读懂题意，明确求解的问题，然后再根据题意求解即可，主要考查学生的阅读理解能力和运算能力．
点睛：本题考查二项展开式的通项和组合数的性质，解题的关键是正确得到通项，同时也考查学生对组合数的运算能力．
7．【解析】分析：根据独立事件同时发生的概率和对立事件的概率公式求解即可．
详解：由题意得，甲、乙、丙三人射击同一目标都未击中的概率为
，
所以甲、乙、丙至少一人击中的概率为，
即目标被击中的概率为．
点睛：解答概率问题的关键是认清概率的类型、选择合适的公式求解，对于含有“至多”、“至少”等词语的问题一般可根据对立事件的概率求解，可减少运算量、提高解题的效率．
8．【解析】分析：根据分布列的性质求出的值，然后再根据方差的定义求解即可得到结论．
详解：由题意得，
即，解得．
∴．
点睛：（1）离散型随机变量的分布列中所有概率和为1，这一性质为求概率和检验分布列是否正确提供了工具．（2）求分布列的期望和方差时可根据定义直接求解即可．
9．【解析】分析：根据条件概率的定义求解即可．
详解：由条件得，
∴
．
点睛：条件概率的求法
(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得．
(2)当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n (AB )，得
．
∴展开式的通项为，
令
可得
，
即展开式的常数项为
．
点睛：求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的
值代回通项求解，注意k 的取值范围．求常数项时，即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的
幂指数为0建立方程可得结果．
11．9；【解析】经分析知, 12341,2,3,4x x x x ---- 这四个自然数的和为6,分情况讨论:①当四个自然数
为1,1,1,3时, 1234,,,x x x x 的值分别为2,3,4,1和4,1,2,3两种情况,②当四个自然数为1,1,2,2时, 1234,,,x x x x 的值分别为2,4,1,3和3,1,4,2两种情况,③当四个自然数为1,2,3,0时, 1234,,,x x x x 的值分别为2,4,1,3和4,1,3,2和3,2,4,1和4,2,1,3共4种情况,当四个自然数为0,0,3,3时, 1234,,,x x x x 的值分别为4,2,3,1.④当四个自然数为0,2,2,2时,没有符合的.故这样的排列共有22+4+1=9+ 种情况.
点睛：本题主要考查了分类加法计数原理，由123412346x x x x -+-+-+-=有，由于绝对值结果为非负数， 1234,,,x x x x 为1,2,3,4的一个全排列,所以每一个绝对值结果为自然数且它们的和为6, 故
12341,2,3,4x x x x ----可能为1,1,1,3或1,1,2,2或1,2,3,0或0,0,3,3.每一个绝对值的结果不超过3.分类要
做到不重不漏.
（2）从4个括号中选择3个并选取其中的，从剩余的一个括号中选取，相乘后得
．
所以展开式中的系数为
．
点睛：求三项式的展开式中特定项的系数时，可按照以下两种思路进行：（1）化为二项式后，再根据二项展开式的通项公式求解；（2）根据组合的方法“凑”出所求项，再根据要求求解． 13．84【解析】分析：分甲入选和甲不入选两种情况求解．
详解：分两种情况求解．
（1）当甲入选时，由题意可得乙一定入选，另外2人可从剩余的8人中选取，共有种方案； （2）甲不入选时，由题意得丙一定入选，另外3人从剩余的8人中选取，共有种方案．
根据分类加法计数原理可得共有
种选派方案．
点睛：使用分类加法计数原理时注意两点：（1）根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；（2）分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法． 14．5【解析】
所有子集的“乘积”之和即
展开
式中所有项的系数之和T-1， 令
，则
故答案为5
【点睛】本题考查的知识点是元素与集合关系的判定，函数展开式的系数问题，转化困难，属于难题．
15．(1) 3a = (2) 32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】试题分析：（1）由2142120a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦可解得3a =；
（2）矩阵M 的特征多项式为
()23|
21
f λλλ--=-- ()()2
21634λλλλ=---=--，令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1-与4，再分别求其相应的特征向量.
令()0f
λ=，得矩阵M 的特征值为1-与4
当1λ=- 时， ()()230
{
0210
x y x y x y λλ--=⇒+=-+-= ∴矩阵M 的属于特征值-1的一个特征向量为11⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
；
当4λ=时， ()()230
{
230210
x y x y x y λλ--=⇒-=-+-= ∴矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
16．（1）12
25（2）932
【解析】试题分析：(1)基本事件总数为5525N =⨯=个.函数有零点的条件为24a b ≥.()0,0，
()1,0， ()2,0， ()2,1， ()3,0， ()3,1， ()3,2， ()4,0， ()4,1， ()4,2， ()4,3， ()4,4，则函数()
f x 有零点的概率为
1225
.
(2)由几何概型的计算公式可得事件“()10f >”的概率为1
33
9
24432
P ⨯⨯==
⨯. 试题解析：
解：（1）a ， b 都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，则基本事件总数为5525N =⨯=个.
函数有零点的条件为240a b ∆=-≥，即24a b ≥.因为事件“24a b ≥”包含()0,0， ()1,0， ()2,0， ()2,1，
()3,0， ()3,1， ()3,2， ()4,0， ()4,1， ()4,2， ()4,3， ()4,4，
所以事件“24a b ≥”的概率为1225P =
，即函数()f x 有零点的概率为12
25
. （2）a ， b 都是从区间[]
0,4上任取的一个数， ()110f a b =-+->，即1a b ->，此为几何模型，如图可知，事件“()10f >”的概率为1
33
924432
P ⨯⨯==
⨯. 点睛：“几何概型”与“古典概型”的区别：基本事件的个数前者是无限的，后者是有限的．
古典概型计算三步曲：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A 是什么，它包含的基本事件有多少个．
几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关. 17．(1)
；(2)
，
；(3)
.【解析】分析：（1）由极坐标和直角坐标间的转化
关系可得结论．（2）根据转化公式可得曲线C 的直角坐标方程，消去参数可得曲线D 的普通方程．（3）由题意求得
和点P 到直线的距离后可得三角形的面积．
（2）将代入，
得，
∴曲线的直角坐标方程为.
消去方程中的参数，得，
∴曲线的参数普通方程．
（3）因为直线：过圆：的圆心，
∴为圆的直径，
∴.
又点到直线：的距离为，
∴．
点睛：极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常会用到同乘(同除以)ρ等技巧．参数方程与普通方程间的互化，常用的方法是根据合适的方法消去参数即可．
18．(1)；(2)；(3).
详解：（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，,．
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
所以，
又．
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．（2）设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
所以．
由（1）可得平面的法向量为．所以.
由图形知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
点睛：求线面角时注意所求角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，下结论时注意转化．在求得两平面法向量夹角的余弦值后，要结合图形判断出二面角为锐角还是钝角，然后才能得到所求．
19．(1)；(2).
【解析】分析：（1）根据古典概型概率求解．（2）由题意得到的所有可能取值，然后分别求出对应的概率后可得分布列，进而可得期望．
详解：（1）从正棱锥的8条棱中任选两条，共有种不同方法，
其中“”包含了两类情形：
①从底面正方形的4条棱中任选两条相邻的棱，共有4种不同方法；
②从4条侧棱中选两条，共有2种不同方法．
所以.
（2）依题意的所有可能取值为，
“”包含了从底面正方形的4条棱中任选两条对棱，共2种不同方法，
所以，
故．
所以的分布列为
所以．
点睛：（1）解答本题的关键是根据几何图形得到分别对应的基本事件的个数，然后再结合古典概型概率公式求解．
（2）求分布列时注意分布列性质的运用，以提高计算的效率．
20．(1)；(2)证明见解析.
详解：（1）当时，集合的所有元素个数为2的子集为，，，
所以，．
（2）当，时，依题意，
则
．
所以.
又，
所以，
所以（定值）．
点睛：本题以集合为载体考查组合数的运算及应用，解题的关键是深刻理解的含义，然后根据集合的有关知识求解，在解题过程中注意组合数性质的运用．。