幂函数及性质
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我国著名数学家华罗庚教授在 《数学用场与发展》一文中指出
写好 计划可 能是公 文写作 中比较 难的事 。因为 这不仅 仅是个 文字表 达上的 事， 还 是 个 涉 及 具体工 作业务 的组织 和安排 问题， 需要有 长远眼 光和领 导魄力 ，小编
整 理 了 火 锅 餐饮筹 备工作 计划书 ，希望 对你有 用。 一 、 摘 要 俗 话 说 ： “ 民 以 食 为 天”， 人不可 能天天 娱乐不 可能天 天买衣 服但是 肯定的 是：每 个人每 天 都 要 吃 饭 ，这样 餐饮市 场就十 分庞大 。快餐 业作为 餐饮业 的一大 部分也 越来越 受 到 广 大 工 薪阶层 的青睐 。 随 着 城 镇 人们 生活水 平的逐 渐提高 ，生活 节奏加 快 ， 传 统 的 在家里 招待客 人的习 惯已经 慢慢消 失，取 而代之 的是跟 亲朋好 友一起 外 出 聚 餐 ， 而这个 也越来 越被城 镇广大 群众所 接受， 这也成 为近年 来餐饮 业发展 迅 猛 的 原 因 之一， 而餐饮 业当中 的火锅 店更是 深受大 众所喜 爱。 火 锅 店 面向 大 众 ， 低 价 消费。 口味被 中国大 江南北 的人们 所接受 （可以 参照内 蒙古小 肥羊的 发 展 历 程 ） ，价格 被广大 工薪阶 层所接 受，火 锅从单 人消费 （20元 左右） 到6-8人
奇函数
非奇非偶 函数
奇函数
在（－∞,0] 在R上 上是减函数，在R上 是增函 在(0, +∞） 是增函 数 上是增函数 数
在(0，+∞) 上是增函数
在( －∞,0)， (0, +∞）上是 减函数
（1，1）
变式迁移 2 给出关于幂函数的以下说法： ①幂函数的图象都经过(1,1)点； ②幂函数的图象都经过(0,0)点； ③幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数； ④幂函数的图象不可能经过第四象限； ⑤幂函数在第一象限内一定有图象； ⑥幂函数在(－∞，0)上不可能是递增函数． 其中正确的说法有________．
∴m＝－1± 2.
小结:
1．记住幂函数的定义；
2．掌握幂函数的图象和性质；
3．能利用幂函数的性质解决有关问题; 4．这节课我们从观察图象入手,运用自然语言描述
了函数的图象特征,最后抽象到运用数学语言和符 号刻画了相应的数量特征. 这是一个循序渐进的 过程,这也是数学学习和研究中经常使用的方法.
再见!
α>1a=1
0<α<1
如果α<0,则幂函数
α<0
在(0,+∞)上为减函数。
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
y = x y = x2
1
y x2
y x1
R R 奇偶性 奇函数
R [0，+∞） 偶函数
R [0，+∞） ， 0 （ 0， +） R [0，+∞） ， 0 （ 0， +）
所 以 f(x1)f(x2) 即幂函 f(x)数 x在 [0, )上的增. 函
练习3: 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象
限内的图象，已知 k分别取 1 , 1 , 1 , 2 四个 2
值，则相应图象依次为:__C4__C_2__C_3 C1
1
一般地，幂函数的图象在直线x=1
的右侧，大指数在上，小指数在下，
y
1
x
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用
y来表示,则它们的函数关系式将是:
y
a
x
一、幂函数的定义：
一般地，我们把形如 y x 的函数叫做
幂函数，其中 x为自变量，为常数。
y x 中 x前面的系数是1，后面没有其它项。
练习1：判断下列函数哪几个是幂函数？
（1）y 3x; (2)y x2; (3)y 2x2; (4)y x2 1;
2．利用幂函数和指数函数的单调性比较幂 值的大小
(1)当幂的底数相同，指数不同时，可以利 用指数函数的单调性比较；
(2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利 用幂函数的单调性比较；
(3)当幂的底数和指数都不相同时，一种方 法是作商，通过商与1的大小关系确定两个 幂值的大小；另一种方法是运用媒介法，即 找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间 值的大小，确定两个幂值的大小；
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数 单调性：在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
(1) yx (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5) y x1
不管指数是多少( 4 - y x 3 ( 2 2 =
,图象都经过哪
y x 2=
个定点?
3
(5)y 1
思考：指数函数y=ax与幂
x
函数y=xα有什么区别？
答案（2）（5）
二、幂函数与指数函数比较
a为底数 指数 幂值
α为指数 底数 幂值 判断一个函数是幂函数还是指数函数的切入点：
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
三、五个常用幂函数的图像和性质
(1) yx (2) y x2 (3) y x3
(4)比较多个幂值的大小，一般也采用媒介 法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数 的大小关系，据此将它们分成若干组，然后 将同一组内的各数再利用相关方法进行比较， 最终确定各数之间的大小关系．
补充
5．已知 f(x)(m22m)xm2m1 ，m为何值时， f(x)是： (1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)二次函数； (4)幂函数．
B( )
A．－1<n<0<m<1
B．n<－1,0<m<1
C．－1<n<0，m>1
D．n<－1，m>1
解析：此类题有一简捷解决办法，在(0,1) 内取同一x值x0，作直线x＝x0，与各图象有 交点，则“点低指数大”，如右图， ∴0<m<1，n<－1.
答案：B
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3 与 0.30.3
- 图象4 都经过点（1，1）
a>0时,图象还都过点(0,0)点
小结： 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随 常数α取值的不同而不同.
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数;
y x2
问题3：如果立方体的边长为a，那么立方体的体积
是V = a³， 这里V是a的函数 。
y
3
x
问题4:如1 果正方形场地的面积为S，那么正方形的边
长问题a=5S：2 ，如果某这人里tas是内S骑的车函行数。进了1km，那么他y 骑x车12
的平均速度v = t 1 km/s ，这里v是t的函数 。
(4)
1
y x2
(5) y x1
函数 yx的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
函数 y x2 的图像
定义域： R
值 域：[0,)
奇偶性：在R上是偶函数 单调性：在[0,)上是增函数
在(,0]上是减函数
用描点法作出函数y=x3的图象.
函数 y x3 的图像
解：(1)若 f(x)为正比例函数，则
m2＋m－1＝1， m2＋2m≠0
⇒m＝1.
(2)若 f(x)为反比例函数，则
m2＋m－1＝－1， m2＋2m≠0
⇒m＝－1.
(3)若 f(x)为二次函数，则
m2＋m－1＝2， m2＋2m≠0
⇒m＝－1±2 13
(4)若 f(x)为幂函数，则 m2＋2m＝1，
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
1
1
y x 2 用描点法作出函数y x 2 的图象.
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
值 域： [0,)
奇偶性： 非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
函数 y x1 的图像
定义域：{x x 0} 值 域：{y y 0}
①④⑤
例例 21：.证明幂 f(x)函 x数 在 [0, )上是增 . 函数
证 : 任 x 明 1 ,x 2 取 [ 0 , ) 且 , x 1 x 2 ,则
f(x1)f(x2)x1x2
(
x1
x2)(
x1
x2)
x1 x2
x1 x2 x1 x2
方法技巧:分子有理化
因 0 x 1 为 x 2 ,所 x 1 x 2 以 0 ,x 1 x 2 0 ,
y 1 y x 2
2
(
( 1 ( - y x - 1 1 y= 1 x 0
-6 -4 -2
2 4 6
在第一象限内，所有的幂函数都有定义
-1
( 当a>0时，图- 象随x增大而上升 1
(在(0,+∞)是增函数)。 - 当a<2 0时，图象随x增大而下降
（在(0,+∞)是减函数）。
- 第四3 象限没有函数图像
练习(4) 1） 1 . 3 0 .5 ＜ 1 . 5 0 .5
2） 5 . 1 2 ＜ 5.092
1
1
3） 0 . 5 4 ＞ 0 . 4 4
4）
2
0 .7 3
2
＞ 0 .8 3
【例 3】 比较下列各组值的大小：
(3)由于指数函数y＝0.2x在R上是减函数， 所以0.20.5<0.20.3.又由于幂函数y＝x0.3在 (0，＋∞)是递增函数，所以 0.20.3<0.40.3，故有0.20.5<0.40.3.
-2
-2
(3) 2.5 5 与 2.7 5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
的发展前景。
“宇宙之大，粒子之微， 火箭之速，华工之巧， 地球之变，生物之谜， 日月之繁，无处不用 数学”
数学在生活中无处不在
函数的生活实例
问题1：如果张红购买了每千克1元的苹果w千克，
那么她需要付的钱数p = w元，这里p是w的函数 。yx
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积
是S =a² ， 这里S是a的函数。
指大图高
思考4：根据上述五个函数的图象，你能
归纳出幂函数 y x a 在第一象限的图
象特征吗？
y
1.图象都过点(1,1)
2.α>0时图象过原点且上升，
α>1 α=1
0<α<1
α<0时图象不过原点且下降， 1
同时以两坐标轴为惭近线.
α<0
3.在 x=1 的右侧指大图高. o 1
x
【例2】 右图是幂函数y＝xm与y＝xn在第 一象限内的图象，则
聚 会 用 餐 皆 可，既 经济又 实惠、 价廉物 美，如 今已成 为人们 的就餐 首要选 择，越 来 越 受 到 中 青年、 白领阶 层认可 和追捧 。 二 、 公 司 基本 情况 现 在 处 于筹 备 计 划 间 断 ，开业 后，公 司将会 做出自 己的特 色，会 吸引大 批的消 费者， 有很大
写好 计划可 能是公 文写作 中比较 难的事 。因为 这不仅 仅是个 文字表 达上的 事， 还 是 个 涉 及 具体工 作业务 的组织 和安排 问题， 需要有 长远眼 光和领 导魄力 ，小编
整 理 了 火 锅 餐饮筹 备工作 计划书 ，希望 对你有 用。 一 、 摘 要 俗 话 说 ： “ 民 以 食 为 天”， 人不可 能天天 娱乐不 可能天 天买衣 服但是 肯定的 是：每 个人每 天 都 要 吃 饭 ，这样 餐饮市 场就十 分庞大 。快餐 业作为 餐饮业 的一大 部分也 越来越 受 到 广 大 工 薪阶层 的青睐 。 随 着 城 镇 人们 生活水 平的逐 渐提高 ，生活 节奏加 快 ， 传 统 的 在家里 招待客 人的习 惯已经 慢慢消 失，取 而代之 的是跟 亲朋好 友一起 外 出 聚 餐 ， 而这个 也越来 越被城 镇广大 群众所 接受， 这也成 为近年 来餐饮 业发展 迅 猛 的 原 因 之一， 而餐饮 业当中 的火锅 店更是 深受大 众所喜 爱。 火 锅 店 面向 大 众 ， 低 价 消费。 口味被 中国大 江南北 的人们 所接受 （可以 参照内 蒙古小 肥羊的 发 展 历 程 ） ，价格 被广大 工薪阶 层所接 受，火 锅从单 人消费 （20元 左右） 到6-8人
奇函数
非奇非偶 函数
奇函数
在（－∞,0] 在R上 上是减函数，在R上 是增函 在(0, +∞） 是增函 数 上是增函数 数
在(0，+∞) 上是增函数
在( －∞,0)， (0, +∞）上是 减函数
（1，1）
变式迁移 2 给出关于幂函数的以下说法： ①幂函数的图象都经过(1,1)点； ②幂函数的图象都经过(0,0)点； ③幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数； ④幂函数的图象不可能经过第四象限； ⑤幂函数在第一象限内一定有图象； ⑥幂函数在(－∞，0)上不可能是递增函数． 其中正确的说法有________．
∴m＝－1± 2.
小结:
1．记住幂函数的定义；
2．掌握幂函数的图象和性质；
3．能利用幂函数的性质解决有关问题; 4．这节课我们从观察图象入手,运用自然语言描述
了函数的图象特征,最后抽象到运用数学语言和符 号刻画了相应的数量特征. 这是一个循序渐进的 过程,这也是数学学习和研究中经常使用的方法.
再见!
α>1a=1
0<α<1
如果α<0,则幂函数
α<0
在(0,+∞)上为减函数。
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
y = x y = x2
1
y x2
y x1
R R 奇偶性 奇函数
R [0，+∞） 偶函数
R [0，+∞） ， 0 （ 0， +） R [0，+∞） ， 0 （ 0， +）
所 以 f(x1)f(x2) 即幂函 f(x)数 x在 [0, )上的增. 函
练习3: 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象
限内的图象，已知 k分别取 1 , 1 , 1 , 2 四个 2
值，则相应图象依次为:__C4__C_2__C_3 C1
1
一般地，幂函数的图象在直线x=1
的右侧，大指数在上，小指数在下，
y
1
x
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用
y来表示,则它们的函数关系式将是:
y
a
x
一、幂函数的定义：
一般地，我们把形如 y x 的函数叫做
幂函数，其中 x为自变量，为常数。
y x 中 x前面的系数是1，后面没有其它项。
练习1：判断下列函数哪几个是幂函数？
（1）y 3x; (2)y x2; (3)y 2x2; (4)y x2 1;
2．利用幂函数和指数函数的单调性比较幂 值的大小
(1)当幂的底数相同，指数不同时，可以利 用指数函数的单调性比较；
(2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利 用幂函数的单调性比较；
(3)当幂的底数和指数都不相同时，一种方 法是作商，通过商与1的大小关系确定两个 幂值的大小；另一种方法是运用媒介法，即 找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间 值的大小，确定两个幂值的大小；
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数 单调性：在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
(1) yx (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5) y x1
不管指数是多少( 4 - y x 3 ( 2 2 =
,图象都经过哪
y x 2=
个定点?
3
(5)y 1
思考：指数函数y=ax与幂
x
函数y=xα有什么区别？
答案（2）（5）
二、幂函数与指数函数比较
a为底数 指数 幂值
α为指数 底数 幂值 判断一个函数是幂函数还是指数函数的切入点：
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
三、五个常用幂函数的图像和性质
(1) yx (2) y x2 (3) y x3
(4)比较多个幂值的大小，一般也采用媒介 法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数 的大小关系，据此将它们分成若干组，然后 将同一组内的各数再利用相关方法进行比较， 最终确定各数之间的大小关系．
补充
5．已知 f(x)(m22m)xm2m1 ，m为何值时， f(x)是： (1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)二次函数； (4)幂函数．
B( )
A．－1<n<0<m<1
B．n<－1,0<m<1
C．－1<n<0，m>1
D．n<－1，m>1
解析：此类题有一简捷解决办法，在(0,1) 内取同一x值x0，作直线x＝x0，与各图象有 交点，则“点低指数大”，如右图， ∴0<m<1，n<－1.
答案：B
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3 与 0.30.3
- 图象4 都经过点（1，1）
a>0时,图象还都过点(0,0)点
小结： 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随 常数α取值的不同而不同.
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数;
y x2
问题3：如果立方体的边长为a，那么立方体的体积
是V = a³， 这里V是a的函数 。
y
3
x
问题4:如1 果正方形场地的面积为S，那么正方形的边
长问题a=5S：2 ，如果某这人里tas是内S骑的车函行数。进了1km，那么他y 骑x车12
的平均速度v = t 1 km/s ，这里v是t的函数 。
(4)
1
y x2
(5) y x1
函数 yx的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
函数 y x2 的图像
定义域： R
值 域：[0,)
奇偶性：在R上是偶函数 单调性：在[0,)上是增函数
在(,0]上是减函数
用描点法作出函数y=x3的图象.
函数 y x3 的图像
解：(1)若 f(x)为正比例函数，则
m2＋m－1＝1， m2＋2m≠0
⇒m＝1.
(2)若 f(x)为反比例函数，则
m2＋m－1＝－1， m2＋2m≠0
⇒m＝－1.
(3)若 f(x)为二次函数，则
m2＋m－1＝2， m2＋2m≠0
⇒m＝－1±2 13
(4)若 f(x)为幂函数，则 m2＋2m＝1，
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
1
1
y x 2 用描点法作出函数y x 2 的图象.
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
值 域： [0,)
奇偶性： 非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
函数 y x1 的图像
定义域：{x x 0} 值 域：{y y 0}
①④⑤
例例 21：.证明幂 f(x)函 x数 在 [0, )上是增 . 函数
证 : 任 x 明 1 ,x 2 取 [ 0 , ) 且 , x 1 x 2 ,则
f(x1)f(x2)x1x2
(
x1
x2)(
x1
x2)
x1 x2
x1 x2 x1 x2
方法技巧:分子有理化
因 0 x 1 为 x 2 ,所 x 1 x 2 以 0 ,x 1 x 2 0 ,
y 1 y x 2
2
(
( 1 ( - y x - 1 1 y= 1 x 0
-6 -4 -2
2 4 6
在第一象限内，所有的幂函数都有定义
-1
( 当a>0时，图- 象随x增大而上升 1
(在(0,+∞)是增函数)。 - 当a<2 0时，图象随x增大而下降
（在(0,+∞)是减函数）。
- 第四3 象限没有函数图像
练习(4) 1） 1 . 3 0 .5 ＜ 1 . 5 0 .5
2） 5 . 1 2 ＜ 5.092
1
1
3） 0 . 5 4 ＞ 0 . 4 4
4）
2
0 .7 3
2
＞ 0 .8 3
【例 3】 比较下列各组值的大小：
(3)由于指数函数y＝0.2x在R上是减函数， 所以0.20.5<0.20.3.又由于幂函数y＝x0.3在 (0，＋∞)是递增函数，所以 0.20.3<0.40.3，故有0.20.5<0.40.3.
-2
-2
(3) 2.5 5 与 2.7 5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
的发展前景。
“宇宙之大，粒子之微， 火箭之速，华工之巧， 地球之变，生物之谜， 日月之繁，无处不用 数学”
数学在生活中无处不在
函数的生活实例
问题1：如果张红购买了每千克1元的苹果w千克，
那么她需要付的钱数p = w元，这里p是w的函数 。yx
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积
是S =a² ， 这里S是a的函数。
指大图高
思考4：根据上述五个函数的图象，你能
归纳出幂函数 y x a 在第一象限的图
象特征吗？
y
1.图象都过点(1,1)
2.α>0时图象过原点且上升，
α>1 α=1
0<α<1
α<0时图象不过原点且下降， 1
同时以两坐标轴为惭近线.
α<0
3.在 x=1 的右侧指大图高. o 1
x
【例2】 右图是幂函数y＝xm与y＝xn在第 一象限内的图象，则
聚 会 用 餐 皆 可，既 经济又 实惠、 价廉物 美，如 今已成 为人们 的就餐 首要选 择，越 来 越 受 到 中 青年、 白领阶 层认可 和追捧 。 二 、 公 司 基本 情况 现 在 处 于筹 备 计 划 间 断 ，开业 后，公 司将会 做出自 己的特 色，会 吸引大 批的消 费者， 有很大