矢量三角形法在力学问题中的妙用(1)
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矢量三角形法在力学问 题中的妙用
学生在解静态平衡问题时，运用平行四边形定则运算，难度不算 大。可一旦转入多个力的求和问题，但对于动态平衡问题，用正交分 解法取代平行四边形法则，虽然可以使问题简化，但计算仍显得繁琐。 如果遇上了动态平衡的问题，因疑点增多，解破起来颇感棘手，若用 矢量三角形法则求解，却能一改平行四边形法则和正交分解法繁琐的 计算程序，可谓之柳暗花明。下面以五道实例，来谈谈矢量三角形法 在静态平衡、动态平衡和运动的合成问题中 一．矢量三角形在力的静态平衡问题中的应用 若物体受到三个力（不只三个力时可以先合成三个力）的作用而处 于平衡状态，则这三个力一定能构成一个力的矢量三角形。三角形三 边的长度对应三个力的大小，夹角确定各力的方向。 例1．如图所示，光滑的小球静止在斜面和木版之间，已知球重为G， 斜面的倾角为θ，求下列情况下小球对斜面和挡板的压力？（1）、挡 板竖直放置（2）、挡板与斜面垂直
F
G C 图7 A N
B
三．矢量三角形在运动学中的应用： 相对运动的问题是高中力学中较为复杂的问题，我们如能掌握 应用三角形法则，对这类问题，就能迎刃而解。这时三角形法则可写为： VAB+VBC=VCA V VAB 指A相对于B的速度， V VBC指B相对于C的速度， V VCA指C相对于A的速度，
CA BC AB
SCA
aCA
SBC
aBC
aAB
SAB
同理可得出位移和加速度的矢量关系：
SAB+SBC=SCA aAB+aBC=aCA
例5．若人以8m/s的速度匀速向东运动，感觉风从正北方向 吹来，V风对人=6m/s，求风速大小与方向？
θ
V风对地
V风对人
分析：由矢量三角形知： V风对地=V风对人+V人对地 V人对地 如图所示，则可得到： V2风对地= V2风对人+V2人对地 所以： V风对地=10m/s tgθ=4/3 风速大小为10m/s，方向为北偏东θ=arctg(4/3) 总之，在解决力学问题中，若能合理地应用矢量三角形 ，不但能收到异曲同工之效，还能使解题更为简化、快捷、 准确。
分析与解答：分析小球受力如图所示，小球受重力、斜面的 支持力和挡板的支持力，在者三个力的作用下处于平衡状态，这 三个力可构成力的三角形（如上图） 挡板绕O点缓慢移动，可视为动态平衡。因挡板对小球的支 持力N1的方向与水平方向之间的夹角由900缓慢变小，重力的大 小和方向都不变，斜面的支持力N2的方向也不变，由矢量三角形 知斜面的支持力N2必将变小，而挡板的支持力N1将先变小后变 大
这样比我们建立直角坐标，再利用正交分 解法来求解就简单多了。
二．矢量三角形在力的动态平衡问题中的应用
例2．如图所示，光滑的小球静止在斜面和竖直放置的木板之间 ，已知球重为G，斜面的倾角为θ，现使木板沿逆时针方向绕O点 缓慢移动，求小球对斜面和挡板的压力怎样变化？
N2
θ
N1 G
N2
G
θ
N2
OθΒιβλιοθήκη G N1 N1TB TB TC=G 图5 TC
图6
TA
TA
例4． 如图7所示，两个光滑的球体，直径均为d，置于直径为D的圆桶内， 且d<D<2d，在相互接触的三点A、B、C受到的作用力分别为F1、F2、F3， 如果将桶的直径加大，但仍小于2d，则F1、F2、F3的变化情况是（ ） A．F1增大，F2不变，F3增大； B．F1减少，F2不变，F3减少； C．F1减少，F2减少，F3增大； D．F1增大，F2减少，F3减少； 分析：由整体法易知F2的大小不变，再隔离分析上面的小球，小球受重力G 、桶向左的支持力F和下面小球斜向上的支持力N三个力的作用，且处于平 衡状态，这三个力构成矢量三角形，G的大小和方向都不变 F的方向始终水平向左，当桶的直径增大时，N与水平方向的夹角变小，由 矢量三角形图知F增大，所以答案为A。
θ
θ
N2 θ N1 G
N2 N2 N1 G G N1 G θ
N2
N1
分析与解答：小球受力如图所示，小球在重力、斜面的 支持力和挡板的支持力三个力共同的作用下处于平衡状 态，因其中两力之和恰好与第三力大小相等方向相反， 故这三个力可构成力的三角形：
直放置时， N2=Gcosθ 由矢量三角形的边角关系可知：当挡板竖 N1=Gtgθ N2=G/cosθ 当挡板与斜面垂直放置时，N1=Gsinθ
例3 ．如图4所示，电灯悬挂于O点，三根绳子的拉力分别为TA、TB、TC，保 持O点的位置不变，绳子的悬点B也不变，则悬点A向上移动的过程中，下列说法 正确的是（ ） B A. A、 TA、TB一直减少； 图4 B、 TA一直增大，TB一直减少； A O C、 TA先增大后减少，TB先减少后增大； C D、TA先减少后增大，TB一直减少； 分析：对于这道题，若用常规的正交分解法，先求出TA、TB的表达式，再分析当θ 角（TA与水平方向所成的夹角）改变时TA、TB的大小变化，问题自然会变得相当复 杂，而且也不能一眼就可看出正确的结果。若利用矢量三角形，可作如下的分析： 若O点始终处于平衡状态，且只受TA、TB、TC三个力作用，则这三个力构成如下图 所示的矢量三角形。在A点位置向上移动的过程中，因TC的大小和方向始终不变， TB的方向也不变，即在力的三角形中，TC的长度和方向不变，TB与TC的夹角大小不 变，A点向上移动，且TA与水平方向的夹角由90度逐渐变小，由矢量三角形图的变 化可知，TA先减少后增大，而TB则一直减少。答案为D。
学生在解静态平衡问题时，运用平行四边形定则运算，难度不算 大。可一旦转入多个力的求和问题，但对于动态平衡问题，用正交分 解法取代平行四边形法则，虽然可以使问题简化，但计算仍显得繁琐。 如果遇上了动态平衡的问题，因疑点增多，解破起来颇感棘手，若用 矢量三角形法则求解，却能一改平行四边形法则和正交分解法繁琐的 计算程序，可谓之柳暗花明。下面以五道实例，来谈谈矢量三角形法 在静态平衡、动态平衡和运动的合成问题中 一．矢量三角形在力的静态平衡问题中的应用 若物体受到三个力（不只三个力时可以先合成三个力）的作用而处 于平衡状态，则这三个力一定能构成一个力的矢量三角形。三角形三 边的长度对应三个力的大小，夹角确定各力的方向。 例1．如图所示，光滑的小球静止在斜面和木版之间，已知球重为G， 斜面的倾角为θ，求下列情况下小球对斜面和挡板的压力？（1）、挡 板竖直放置（2）、挡板与斜面垂直
F
G C 图7 A N
B
三．矢量三角形在运动学中的应用： 相对运动的问题是高中力学中较为复杂的问题，我们如能掌握 应用三角形法则，对这类问题，就能迎刃而解。这时三角形法则可写为： VAB+VBC=VCA V VAB 指A相对于B的速度， V VBC指B相对于C的速度， V VCA指C相对于A的速度，
CA BC AB
SCA
aCA
SBC
aBC
aAB
SAB
同理可得出位移和加速度的矢量关系：
SAB+SBC=SCA aAB+aBC=aCA
例5．若人以8m/s的速度匀速向东运动，感觉风从正北方向 吹来，V风对人=6m/s，求风速大小与方向？
θ
V风对地
V风对人
分析：由矢量三角形知： V风对地=V风对人+V人对地 V人对地 如图所示，则可得到： V2风对地= V2风对人+V2人对地 所以： V风对地=10m/s tgθ=4/3 风速大小为10m/s，方向为北偏东θ=arctg(4/3) 总之，在解决力学问题中，若能合理地应用矢量三角形 ，不但能收到异曲同工之效，还能使解题更为简化、快捷、 准确。
分析与解答：分析小球受力如图所示，小球受重力、斜面的 支持力和挡板的支持力，在者三个力的作用下处于平衡状态，这 三个力可构成力的三角形（如上图） 挡板绕O点缓慢移动，可视为动态平衡。因挡板对小球的支 持力N1的方向与水平方向之间的夹角由900缓慢变小，重力的大 小和方向都不变，斜面的支持力N2的方向也不变，由矢量三角形 知斜面的支持力N2必将变小，而挡板的支持力N1将先变小后变 大
这样比我们建立直角坐标，再利用正交分 解法来求解就简单多了。
二．矢量三角形在力的动态平衡问题中的应用
例2．如图所示，光滑的小球静止在斜面和竖直放置的木板之间 ，已知球重为G，斜面的倾角为θ，现使木板沿逆时针方向绕O点 缓慢移动，求小球对斜面和挡板的压力怎样变化？
N2
θ
N1 G
N2
G
θ
N2
OθΒιβλιοθήκη G N1 N1TB TB TC=G 图5 TC
图6
TA
TA
例4． 如图7所示，两个光滑的球体，直径均为d，置于直径为D的圆桶内， 且d<D<2d，在相互接触的三点A、B、C受到的作用力分别为F1、F2、F3， 如果将桶的直径加大，但仍小于2d，则F1、F2、F3的变化情况是（ ） A．F1增大，F2不变，F3增大； B．F1减少，F2不变，F3减少； C．F1减少，F2减少，F3增大； D．F1增大，F2减少，F3减少； 分析：由整体法易知F2的大小不变，再隔离分析上面的小球，小球受重力G 、桶向左的支持力F和下面小球斜向上的支持力N三个力的作用，且处于平 衡状态，这三个力构成矢量三角形，G的大小和方向都不变 F的方向始终水平向左，当桶的直径增大时，N与水平方向的夹角变小，由 矢量三角形图知F增大，所以答案为A。
θ
θ
N2 θ N1 G
N2 N2 N1 G G N1 G θ
N2
N1
分析与解答：小球受力如图所示，小球在重力、斜面的 支持力和挡板的支持力三个力共同的作用下处于平衡状 态，因其中两力之和恰好与第三力大小相等方向相反， 故这三个力可构成力的三角形：
直放置时， N2=Gcosθ 由矢量三角形的边角关系可知：当挡板竖 N1=Gtgθ N2=G/cosθ 当挡板与斜面垂直放置时，N1=Gsinθ
例3 ．如图4所示，电灯悬挂于O点，三根绳子的拉力分别为TA、TB、TC，保 持O点的位置不变，绳子的悬点B也不变，则悬点A向上移动的过程中，下列说法 正确的是（ ） B A. A、 TA、TB一直减少； 图4 B、 TA一直增大，TB一直减少； A O C、 TA先增大后减少，TB先减少后增大； C D、TA先减少后增大，TB一直减少； 分析：对于这道题，若用常规的正交分解法，先求出TA、TB的表达式，再分析当θ 角（TA与水平方向所成的夹角）改变时TA、TB的大小变化，问题自然会变得相当复 杂，而且也不能一眼就可看出正确的结果。若利用矢量三角形，可作如下的分析： 若O点始终处于平衡状态，且只受TA、TB、TC三个力作用，则这三个力构成如下图 所示的矢量三角形。在A点位置向上移动的过程中，因TC的大小和方向始终不变， TB的方向也不变，即在力的三角形中，TC的长度和方向不变，TB与TC的夹角大小不 变，A点向上移动，且TA与水平方向的夹角由90度逐渐变小，由矢量三角形图的变 化可知，TA先减少后增大，而TB则一直减少。答案为D。