辽宁省沈阳市泉园中学2020年高三数学理联考试题含解析

辽宁省沈阳市泉园中学2020年高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知数列{a n}满足：，，则下列关于{a n}的判断正确的是（)
A. 使得
B. 使得
C. 总有
D. 总有
参考答案：
D
【分析】
由题意结合均值不等式的结论、数列的单调性、函数的单调性和特殊数列的性质确定题中的说法是否正确即可.
【详解】对于选项A，由于，故恒成立，则，
故不存在的项，选项A说法错误；
对于选项B，由于，结合选项A可知，故，即，选项B说法错误；
对于选项C，构造函数，则，则函数在区间上单调递增，则不存在满足，选项C说法错误；
对于选项D，令，则，此时数列为常数列，故总有，选项D说法正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查数列的单调性，数列中的最值问题，递推关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2. 已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（单位：cm3）（）
A．πB．2πC．4πD．8π
参考答案：
A
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的柱体，分别求出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的柱体，
其底面是一个半径为1cm的半圆，故S=cm2，
高为h=2cm，
故柱体的体积V=Sh=πcm3，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
3. “a=1”是“函数f（x）=在其定义域上为奇函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
略
4. 过曲线上点处的切线平行于直线点的坐标为 ( )
参考答案：
A
略
5. 函数f(x)、 g (x)的图像如图:
则函数y=f(x)·g(x)的图像可能是: （）
参考答案：
A
6. 已知命题，命题恒成立。

若为假命题，则实数的取值范围为（
A、 B、 C、 D、
参考答案：
A
略
7. 已知向量，，.若，则实数k的值为（）
A．－8 B．－6 C．－1 D．6
参考答案：
D 8. 有限数列是其前项和，定义为A的“凯森和”，如有99项的数列的“凯森和”为1000，则有100项的数列
的“凯森和”为（）
A． 991 B．999 C． 1001 D．1002
参考答案：
A
9. 已知焦点在x轴上，渐近线方程为的双曲线和曲线的离心率之积为1，则b的值为（）
A．B．3 C．3或4 D．或
参考答案：
D
【考点】KI：圆锥曲线的综合．
【分析】由双曲线的渐近线方程，可得=，再由离心率公式可得双曲线的离心率，由条件可得椭圆的离心率，讨论椭圆焦点位置，解方程即可得到所求b的值．
【解答】解：设焦点在x轴上的双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b'＞0），
渐近线方程为，可得=，
则双曲线的离心率e====，
由题意可得曲线的离心率为．
可得当b＞2时，有=，解得b=；
当0＜b＜2时，有=，解得b=．
综上可得b=或．
故选：D．
10. 7人乘坐2辆汽车，每辆汽车最多坐4人，则不同的乘车方法有（）
A. 35种
B. 50种
C. 60种
D. 70种
参考答案：
D
【分析】
根据题意，分2步分析，①先将7人分成2组，1组4人，另1组3人；②将分好的2组全排列，对应2辆汽车，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分2步分析，
①，先将7人分成2组，1组4人，另1组3人，有C74＝35种分组方法，
②，将分好的2组全排列，对应2辆汽车，有A22＝2种情况，
则有35×2＝70种不同的乘车方法；
故选：D．
【点睛】排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 5名同学排成一列,某个同学不排排头的排法种数为 (用数字作答).
参考答案：
96
12. 设函数，f（x ）的单调减区间是．
参考答案：
（﹣2，0）
考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用．
分析：
求出导函数，令导函数大于0求出x的范围为递增区间，导函数小于0得到f（x）的递减区间．
解答：解：f′（x）=xe x+x2e x=x（x+2）．
令x（x+2）＜0得x＞0或x＜﹣2，
∴f（x）的单增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）；
单减区间为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）
点评：求函数的单调区间常利用的工具是导数；导函数的符号判断函数的单调性．
13. 在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_________.
参考答案：
（-1，）
14. 过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，两点的横坐标之和为
，则．
参考答案：
15. 已知正数a.b满足4a+b=30，使得取最小值时，则实数对是________.
参考答案：
略
16. 已知椭圆C： =1，F1，F2是该椭圆的左右焦点，点A（4，1），P是椭圆上的一个动点，
当△APF1的周长取最大值时，△APF1的面积为
．
参考答案：
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】由椭圆的定义可得
|PF 1|+|PF 2|=2a=10，利用三角形三边大小关系可得：|PF 1|+|PA|=10﹣
|PF
2|+|PA|≤10+|AF 2|即可得出．
【解答】解：解：如图所示，由椭圆C=1可得a=5，右焦点F2（4，0）．|F1F2|=8
∵|PF1|+|PF2|=2a=10，∴|PF1|+|PA|=10﹣|PF2|+|PA|≤10+|AF2|．
△APF1的周长取最大值时，三点P、A、F2共线，且点P在第四象限，
此时F1F2⊥AP，|PF2|==，△APF1的面积S=|F1F2|×|PA|=．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的定义、三角形三边大小关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计
算能力，属中档题．
17. 已知函数,在其图象上点(，)处的切线方程为,则图
象上点(-，)处的切线方程为__________．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在中，面积
（1）求BC边的长度；
（2）求值：
参考答案：
解：（1）解：在中
2分
4分
6分
（2）=
略
19. 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，
成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方
图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30．第6
小组的频数是7．
（1）求这次铅球测试成绩合格的人数；
（2）若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；
（3）若参加此次测试的学生中，有9人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知a、b的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率．
参考答案：
【考点】B8：频率分布直方图；BB：众数、中位数、平均数；C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）利用频率和为1求出第六组的频率；利用频率等于频数除以样本容量求出此次测试总人数．
（2）利用频率分布直方图中的中位数左右两边的面积相等即频率相等，判断出中位数所在的小组．（3）通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及a、b到少有1人入选的情况；利用古典概型概率公式求出a、b至少有1人入选的概率．
【解答】解：（1）第6小组的频率为1﹣（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，
∴此次测试总人数为（人）．
∴第4、5、6组成绩均合格，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）．（4分）
（2）直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等．前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，
∴中位数位于第4组内．（8分）
（3）设成绩优秀的9人分别为a，b，c，d，e，f，g，h，k，
则选出的2人所有可能的情况为：ab，ac，ad，ae，af，ag，ah，ak；bc，bd，be，bf，
bg，bh，bk；cd，ce，cf，cg，ch，ck；de，df，dg，dh，dk；ef，eg，eh，ek；fg，fh，fk；gh，gk；hk．
共36种，其中a、b到少有1人入选的情况有15种，
∴a、b两人至少有1人入选的概率为．（12分）
【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、中位数及古典概型等内容．
20. （本小题满分14分）在中，内角的对应边分别为，已知
．
（1）求的值；
（2）若，求面积的最大值．
参考答案：
【知识点】解三角形C8
【答案解析】（1）（2）
（1）由正弦定理得到：
因为在三角形中，
所以
所以
因为，所以即
所以即。

（2）由余弦定理得到：,所以
所以即
当且仅当即时“=”成立
而，所以面积的最大值为。

【思路点拨】根据正弦定理余弦定理求出边角，利用均值不等式求出最值。

21. （本小题共13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）若在区间上的最大值与最小值的和为，求的值．
参考答案：
解：（Ⅰ）
.……………………………………………3分
所以．……………………………………………………………4分
由，
得．
故函数的单调递减区间是（）．…………………7分（Ⅱ）因为，
所以．
所以．…………………………………………………………10分因为函数在上的最大值与最小值的和，
所以．…………………………………………………………………………13分22. (本小题满分12分)在△中，已知，向量，，且．（1）求的值；
（2）若点在边上，且，，求△的面积．
参考答案：
（1）由题意知
， 2分又，，所以， 4分即，即， 5分又，所以，所以，即． 6分
（2）设，由，得，
由（1）知，所以，，
在△中，由余弦定理，得， 10分
解得，所以
，
所以． 12分。