上海闵行区第四中学2021-2022学年高一数学理联考试卷含解析

上海闵行区第四中学2021-2022学年高一数学理联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列各式：①1∈{0，1，2}；②??{0，1，2}；③{1}∈{0，1，2}；④{0，1，2}={2，0，1}，其中错误的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
参考答案：
A
【考点】元素与集合关系的判断．
【专题】计算题．
【分析】对于①根据元素与集合之间的关系进行判定，对于②根据空间是任何集合的子集，对于③集合与集合之间不能用属于符号进行判定，对于④根据集合本身是集合的子集进行判定，对于⑤根据集合的无序性进行判定即可．
解：：①1∈{0，1，2}，元素与集合之间用属于符号，故正确；
②??{0，1，2}；空集是任何集合的子集，正确
③{1}∈{0，1，2}；集合与集合之间不能用属于符号，故不正确；
④{0，1，2}?{0，1，2}，集合本身是集合的子集，故正确
⑤{0，1，2}={2，0，1}，根据集合的无序性可知正确；
故选：A
【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合与集合之间的关系，属于基础题．
2. 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为、，则塔高为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
3. 函数的定义域是（）
A、 B、 C、 D、参考答案：
B
略
4. （5分）若镭经过100年，质量比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是（）
A．y=（0.9576）B．y=（0.9576）100x
C．y=（）x D．y=1﹣（0.0424）
参考答案：
A
考点：函数解析式的求解及常用方法．
专题：应用题；函数的性质及应用．
分析：根据题意，求出衰变率，利用指数函数模型得出x、y之间的函数关系式．
解答：根据题意，得；
设衰变率为a，则
（1﹣a）100=1﹣4.24%=0.9576，
∴1﹣a=，
∴质量为1的镭经过x年后剩留量为y，
x，y的函数关系是y=．
故选：A．
点评：本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题目．
5. 正项等比数列{a n}满足: ,则,的最小值是( )
A．8 B．16 C.24 D．32
参考答案：
D
6. 以下程序运行结果为( )
t＝1 For i＝2 To 5 t＝t*i Next 输出t
A．80 B．95 C．100 D．120
参考答案：
D
7. 若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)
＝()
A．0 B．2 C．3 D．4
参考答案：
A
略
8. 一圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线与底面所成角是（）A．30° B．45° C. 60° D．75°
参考答案：
C
设圆锥的母线长为R，底面半径为r，
则：πR=2πr，
∴R=2r，
∴母线与底面所成角的余弦值==，
∴母线与底面所成角是60°．
故选：C．
9. 函数的定义域为。

参考答案：略
10. （5分）下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为（）
A．y=B．y=C．y=xe x D．y=
参考答案：
D
考点：正弦函数的定义域和值域；函数的定义域及其求法．
专题：计算题．
分析：由函数y=的意义可求得其定义域为{x∈R|x≠0}，于是对A，B，C，D逐一判断即可得答案．
解答：∵函数y=的定义域为{x∈R|x≠0}，
∴对于A，其定义域为{x|x≠kπ}（k∈Z），故A不满足；
对于B，其定义域为{x|x＞0}，故B不满足；
对于C，其定义域为{x|x∈R}，故C不满足；
对于D，其定义域为{x|x≠0}，故D满足；
综上所述，与函数y=定义域相同的函数为：y=．
故选D．
点评：本题考查函数的定义域及其求法，正确理解函数的性质是解决问题之关键，属于基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知为上的偶函数，对任意都有且当，
时，有成立，给出四个命题：①；②直线是函数的图像的一条对称轴；③函数在上为增函数；④函数在上有四个零点，其中所有正确命题的序号为．
参考答案：
②④
略
12. 函数y=sin 2x+2cosx在R 上的值域是．
参考答案：
[﹣2，2]
【考点】函数的值域．
【分析】根据同角三角函数关系，将函数的解析式化为y=1﹣cos2x+2cosx，结合函数的cosx为[﹣
1，1]，将问题转化为二次函数在定区间上的值域问题，结合余弦函数及二次函数的性质，即可得到
答案．
【解答】解：y=sin2x+2cosx=1﹣cos2x+2cosx=﹣（cosx﹣1）2+2，
∵cosx∈[﹣1，1]，cosx﹣1∈[﹣2，0]，
∴﹣（cosx﹣1）2∈[﹣4，0]，
∴﹣（cosx﹣1）2+2∈[﹣2，2]．
∴y∈[﹣2，2]．
故答案为：[﹣2，2]．
【点评】本题考查的知识点是正弦函数的定义域和值域，考查二次函数在定区间上的最值问题，是解
答本题的关键．
13. 若数列{}的前项和，则的值为；
参考答案：
2
14. 存在使不等式成立，则的取值范围为 _;
参考答案：
15. 如果幂函数的图象不过原点，则m的值是．
参考答案：
1
【考点】幂函数的图象．
【分析】幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于0，系数为1，求解即可．
【解答】解：幂函数的图象不过原点，所以
解得m=1，符合题意．
故答案为：1
16. 下列说法中正确的序号是
①函数的单调增区间是（1，+∞）；
②函数y=lg（x+1）+lg（x﹣1）为偶函数；
③若，则的值为6；
④函数y=2x的图象与函数y=x2的图象有且仅有2个公共点．
参考答案：
③
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①，函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）；
②，函数y=lg（x+1）+lg（x﹣1）的定义域为（1，+∞）不关于原点对称，不具奇偶性；
③，=；
④，函数y=2x的图象与函数y=x2的图象的交点在第一象限有（2，4）、（4，16），在第二象限有一
个．
【解答】解：对于①，函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），∴单调
增区间是（3，+∞），故错；
对于②，函数y=lg（x+1）+lg（x﹣1）的定义域为（1，+∞）不关于原点对称，不具奇偶性，故错；
对于③，∵，则==6，故正确；
对于④，函数y=2x的图象与函数y=x2的图象的交点在第一象限有（2，4）、（4，16），在第二象限
有一个，故错．
故答案为：③
17. 如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D．若AC=7，AB=4，则sinC的值为．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2a cos A=c cos B+b cos C
(1）求cos A的值；
(2）若a=1,cos B+cos C=，求边c的值.
参考答案：
（1）由及正弦定理得
即
又所以有即
而，所以
(2）由及0＜A＜，得A＝因此
由得
即，即得
由知于是或
所以，或
若则在直角△ABC中，，解得
若在直角△ABC中，解得
19. 某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系如表所示：
（1）画出散点图；
（2）求纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程；
（3）若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元（保留到整数位）．
（附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线y=a+bx的斜率和截距的最
小二乘估计分别为：b=，a=﹣b， x i2=280， y i2=45 309， x i y i=3 487．）
参考答案：
【考点】线性回归方程．
【分析】（1）根据表中所给的数据，可得散点图；
（2）求出出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，求出对应的横标和纵标的积的和，求出横标的平方和，做出系数和a的值，写出线性回归方程．
（3）将x=20代入回归直线方程，可得结论．
【解答】解：（1）散点图如图所示
（2）由散点图知，y与x有线性相关关系，
∵x i2=280， y i2=45 309， x i y i=3 487， =6， =，
∴==4.75， =﹣6×4.75=
∴回归直线方程为=4.75x+．
（3）当x=20时，=4.75×20+≈146．因此本周内某天的销售为20件时，估计这天的纯收入大约为146元．
20. 设函数.
（Ⅰ）若对一切实数，恒成立，求的取值范围；
（Ⅱ）若对于，恒成立，求的取值范围.
参考答案：
解（Ⅰ）当时，恒成立，符合；
当时，，
（Ⅱ）
即求的最小值，略
21. 如图所示，已知M、N分别是AC、AD的中点，BC CD．
（1）求证：MN∥平面BCD；
（2）求证：平面B CD平面ABC；
（3）若AB＝1，BC＝，求直线AC与平面BCD所成的角．
参考答案：
（1）因为分别是的中点，所以．
又平面且平面，所以平面．
(2)因为平面, 平面，所以．
又，所以平面．
又平面，所以平面平面．
(3)因为平面，所以为直线与平面所成的角．
在直角中，，所以．所以．故直线与平面所成的角为．
22. 已知向量=（sinx，1），=（Acosx， cos2x）（A＞0），函数f（x）=?的最大值为6．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，
纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）在[0，]上的值域．
参考答案：
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积展开，通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化为，一个角的一个三角函数的形式，通过最大值求A；
（Ⅱ）通过函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求出g（x）的表达式，通过x∈[0，]求出函数的值域．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=?=Asinxcosx+cos2x=Asin2x+cos2x=A
（sin2x+cos2x）=Asin（2x+）．
因为A＞0，由题意可知A=6．
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=6sin（2x+）．
将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后得到，
y=6sin[2（x+）+]=6sin（2x+）的图象．再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=6sin（4x+）的图象．因此g（x）=6sin（4x+）．
因为x∈[0，]，所以4x+∈[，]，4x+=时取得最大值6，4x+=时函数取得最小值﹣3．
故g（x）在[0，]上的值域为[﹣3，6]．。