高中数学第三章数系的扩充与复数3.2.1复数的加法与减法学案新人教B版选修2_29

3．2.1复数的加法与减法
明目标、知要点 1. 娴熟掌握复数的代数形式的加、减运算法例.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形联合”的思想解题．
1．复数加法与减法的运算法例
(1) 设
z 1＝＋i，2＝＋i 是随意两个复数，则
z
1＋2＝(
a
＋) ＋ (＋)i ，1－2＝(
a
－
a b z c d z c b d z z
c)＋( b－ d)i.
(2)对随意 z1， z2， z3∈C，有 z1＋ z2＝ z2＋ z1，
( z1＋z2) ＋z3＝z1＋ ( z2＋z3) ．
2．复数加减法的几何意义
如图：设复数z ， z→→OZZZ 为平行四边形，则与z ＋z对
对应向量分别为 OZ， OZ，四边形
12121212→→
应的向量是 OZ，与 z1－z2对应的向量是 Z2Z1.
[ 情境导学 ]
我们学习过实数的加减运算，复数如何进行加减运算？我们知道向量加法的几何意义，那么复数加法的几何意义是什么呢？
研究点一复数加减法的运算
思虑 1我们规定复数的加法法例以下：设z1＝ a＋ b i，z2＝c＋ d i是随意两个复数，那么( a ＋b i)＋( c＋ d i)＝( a＋ c)＋( b＋d)i.那么两个复数的和是个什么数，它的值独一确立吗？
答仍旧是个复数，且是一个确立的复数．
思虑 2复数加法的本质是什么？近似于实数的哪一种运算方法？类比于复数的加法法例，试着给出复数的减法法例．
答本质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，近似于实数运算中的归并同类项．
( a＋b i) － ( c＋d i) ＝( a－c) ＋( b－d)i.
思虑 3实数的加法有互换律、联合律，复数的加法知足这些运算律吗？并试着证明．
答
知足，对随意的 z 1， z 2， z 3∈ C ，有互换律： z 1＋ z 2＝ z 2＋ z 1.
联合律： ( z 1＋z 2) ＋ z 3＝ z 1＋( z 2＋ z 3) ．
证明：设 z 1＝a ＋ b i ， z 2＝c ＋ d i ，z 1＋ z 2＝ ( a ＋ c ) ＋ ( b ＋d )i ， z 2＋ z 1＝ ( c ＋ a ) ＋ ( d ＋ b )i ，明显， z 1＋ z 2＝z 2＋ z 1，同理可得 ( z 1＋ z 2) ＋ z 3＝ z 1＋ ( z 2＋z 3) ．例1 计算：
(1)(1 ＋ 2i) ＋ ( － 2＋i) ＋ ( －2－ i) ＋ (1 － 2i) ；
(2)1 ＋ (i ＋i 2) ＋ ( － 1＋2i) ＋ ( －1－ 2i) ．
解 (1) 原式＝ (1 － 2－ 2＋ 1) ＋ (2 ＋ 1－1－ 2)i ＝－ 2.
(2) 原式＝ 1＋ (i － 1) ＋ ( － 1＋2i) ＋ ( －1－ 2i)
＝ (1 － 1－ 1－ 1) ＋ (1 ＋ 2－ 2)i ＝－ 2＋i.
反省与感悟 复数的加减法运算， 就是实部与实部相加减做实部， 虚部与虚部相加减作虚部，同时也把 i 看作字母，类比多项式加减中的归并同类项．追踪训练 1 计算： (1)2i － [(3 ＋ 2i) ＋3( － 1＋3i)] ；
(2)( a ＋ 2b i) － (3 a －4b i) － 5i( a ， b ∈R) ．
解 (1) 原式＝ 2i － (3 ＋ 2i －3＋ 9i) ＝2i － 11i ＝－ 9i.
(2) 原式＝－ 2a ＋ 6b i － 5i ＝－ 2a ＋ (6 b － 5)i.
研究点二
复数加减法的几何意义
思虑 1 复数与复平面内的向量一一对应， 你能从向量加法的几何意义出发议论复数加法的几何意义吗？
答如图，设 →
1， →
2
分别与复数
a
＋ i ， ＋
i 对应，则有
→
1
＝ ( a ， ) ，
→
2
＝ ( c ， ) ，由
OZ OZ
b
c d
OZ b
OZ
d
向量加法的几何意义
→
→
→ →
对应，
OZ ＋ OZ ＝ ( a ＋ c ， b ＋ d) ，因此 OZ ＋ OZ 与复数 ( a ＋c) ＋ ( b ＋d)i
1
2
1
2
复数的加法能够依据向量的加法来进行．
思虑 2 如何作出与复数
z 1－ z 2 对应的向量？
答 z 1－ z 2 能够看作 z 1＋ ( － z 2) ．由于复数的加法能够依据向量的加法来进行．因此能够按
照平行四边形法例或三角形法例作出与
→
→
z 1－ z 2 对应的向量 ( 如图 ) ．图中 OZ 1对应复数 z 1，OZ 2对
→
.
2
2 1
1
2
应复数 z ，则 Z Z 对应复数 z － z
例 2
以下图，平行四边形
的极点 ， ， C 分别表示 0,3 ＋ 2i ，－ 2＋ 4i. 求：
OABC O A
→
(1) AO 表示的复数；
→
(2) CA 表示的复数；
→
(3) OB 表示的复数．
→
→
解
(1) 由于 AO ＝－ OA ，
→
因此 AO 表示的复数为－ 3－ 2i.
(2) 由于 → ＝ → － → ，
CA OA OC
→
－ ( － 2＋ 4i) ＝ 5－ 2i. 因此 CA 表示的复数为 (3 ＋ 2i) (3) 由于 → ＝ → ＋
→
，因此 → 表示的复数为 (3 ＋ 2i) ＋ ( － 2＋ 4i) ＝ 1＋6i.
OB OA OC
OB
反省与感悟 复数的加减法能够转变为向量的加减法，表现了数形联合思想在复数中的运
用．
追踪训练 2 复数 z 1＝ 1＋ 2i ， z 2＝－ 2＋ i ， z 3＝－ 1－ 2i ，它们在复平面上的对应点是一个
正方形的三个极点，求这个正方形的第四个极点对应的复数．
解
设复数 z 1， z 2， z 3 在复平面内所对应的点分别为 A ， B ， C ，正方形的第四个极点 D 对应
的复数为 x ＋ y i( x ，y ∈ R) ，如图．
→ → →
则AD ＝ OD － OA ＝ ( x ＋ y i) － (1 ＋ 2i)
＝( x － 1) ＋( y － 2)i ，
→ → →
BC ＝ OC － OB ＝( － 1－ 2i) － ( － 2＋i) ＝ 1－3i.
→ →
＝ 1－ 3i.
∵AD ＝ BC ，∴(x － 1) ＋( y － 2)i x － 1＝1 x ＝ 2 ∴
，解得
，
y － 2＝－ 3
y ＝－ 1
故点 D 对应的复数为 2－ i.
研究点三
复数加减法的综合应用
例 3 已知 | z 1| ＝ | z 2| ＝ | z 1－ z 2| ＝ 1，求 | z 1＋ z 2|.
解
方法一 设 z 1＝ a ＋b i ， z 2＝c ＋ d i( a ， b ， c ， d ∈ R) ，
∵|z 1| ＝ | z 2| ＝| z 1－ z 2| ＝ 1，
∴a 2＋ b 2＝ c 2＋ d 2＝ 1，①
( a － c ) 2＋ ( b －d ) 2＝1②
由①②得 2ac ＋ 2bd ＝ 1，
∴|z 1＋ z 2| ＝
a ＋c
2
＋ b ＋ d
2
＝ a 2＋ c 2＋ b 2＋d 2＋ 2ac ＋2bd ＝ 3.
方法二
设 O 为坐标原点，
z 1，z 2， z 1＋ z 2 对应的点分别为 A ， B ，C .
∵|z 1| ＝ | z 2| ＝| z 1－ z 2| ＝ 1，
∴△ OAB 是边长为 1 的正三角形，
∴四边形 OACB 是一个内角为 60°，边长为 1 的菱形，
且|
z 1
＋ 2| 是菱形的较长的对角线
的长，
z
OC
∴|z 1＋ z 2| ＝ →
| OC |
＝ | →| 2＋ | →| 2
－2| → || →
|cos 120
°＝ 3.
OA AC
OA AC
反省与感悟
(1) 设出复数 z ＝ x ＋ y i( x ， y ∈ R) ，利用复数相等或模的观点，可把条件转变
为 x ， y 知足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．
(2) 在复平面内， z 1，z 2 对应的点为 A ，B ，z 1＋ z 2 对应的点为 C ，O 为坐标原点， 则四边形 OACB ①
为平行四边形；②若 | z 1＋ z 2| ＝ | z 1－ z 2| ，则四边形 OACB 为矩形；③若 | z 1| ＝ | z 2| ，则四边
形 OACB 为菱形；④若 | z 1| ＝ | z 2| 且 | z 1＋ z 2| ＝ | z 1－ z 2| ，则四边形
OACB 为正方形．
追踪训练 3 例 3 中，若条件变为 | z 1| ＝ | z 2| ＝ 1， | z 1＋ z 2| ＝ 2. 求 | z 1－ z 2|.
解
由 | z 1| ＝| z 2| ＝ 1， | z 1＋ z 2| ＝ 2，
知 z 1，z 2，z 1＋z 2 对应的点是一个边长为
1 的正方形的三个极点， 所求 | z 1－z 2| 是这个正方形
的一条对角线长，
因此 | z 1－ z 2| ＝ 2.
1．复数 z 1＝ 2－ 1
i ， z 2
＝1
－ 2i ，则 z 1＋ z 2 等于 () 2
2
3
5
A ． 0
B. 2＋2i
5553
C. 2－2i
D. 2－2i
答案C
分析z1＋ z2＝(2＋1
) － (
1
＋ 2)i＝
5
－
5
i. 2222
2．若z＋ 3－ 2i ＝ 4＋ i ，则z等于 ()
A． 1＋ i B． 1＋ 3i C．－ 1－ i D．－ 1－ 3i 答案B
分析z＝4＋i－(3－2i)＝ 1＋ 3i.
→→→
2＋ i ，3＋ 2i,1→
3．在复平面内，O是原点，OA，OC，AB表示的复数分别为－＋ 5i ，则BC表示
的复数为 ()
A． 2＋8i B．－ 6－ 6i C． 4－4i D．－ 4＋ 2i 答案C
分析→ →→→→→
BC＝OC－ OB＝ OC－( AB＋ OA)＝4－4i.
4．若 | z－ 1| ＝ | z＋ 1| ，则复数z对应的点在 ()
A．实轴上B．虚轴上
C．第一象限D．第二象限
答案B
分析∵|z－1|＝| z＋1|，
∴点 Z到
(1,0)和( － 1,0) 的距离相等，即点Z在以 (1,0)和 (－1,0)为端点的线段的中垂线上．
5．已知复数
z 1＝(2－2)＋(－4)i，2＝－ (
a
2－ 2)i(∈R)，且
z
1－ 2 为纯虚数，则
a
＝
a a z a a z
________.
答案－ 1
分析z － z22a∈R)为纯虚数，∴a2－ a－2＝0，，＝( a－a－ 2) ＋ ( a－ 4＋a－ 2)i(a2＋ a－6≠0
12
解得 a＝－1.
[ 呈要点、现规律]
1．复数代数形式的加减法知足互换律、联合律，复数的减法是加法的逆运算．
2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法例．复数减法的几何意义就是向量减
法的三角形法例．
5。