河北省唐山市2022年高三第一次重点考试数学(理)试卷

河北省唐山市2022年高三第一次重点考试数学（理）
试卷
唐山市2020—2020学年度高三年级第一次模拟考试
理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
B={1，2, 3, 4}的集合B的个数是
1．设集合A= {1，2},则满足A
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
2
3
4．求三个不相等的实数a, b, c最大值的程序框图如图所示，则空白判定框内应为
(A) a>b? (B) a>c?(C) d>b 或 a>c? (D) a>b 且 a>c?
5．已知向量a, b满足：(a+2b)•(a－b)=-6,且|a|=1，|b|=2,则 a与b 的夹角为
6
的图象，只需将y=f(x)的图象
7．学校打算利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题 讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安 排方法共有 (A) 36 种 （B) 30 种
（C) 24 种
（D) 6 种
8．不等式组
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥-++-020220
1a y ax y x y x 表示的平面区域的面积为. 215
，则a=
（A) 74
(B) 1
(C) 2 (D) 3
9．如图I,边长为2的d 正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB,BC 的中点，将ΔADE ，ΔCDF ，ΔBEF 折起，使A ，C,B 二点重合于G,所 得二棱锥G-DEF 的俯视图如图2,则其正视 图的面积为
(A) 21
(B) 32 (C)
322
(D) 22 10．己知直线l 的斜率为k,它勾抛物线y 2
=4x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点， 若FB AF 2=，则|k|=
(A) 22 (B) 3 (C) 42
(D) 11.x 0函数f (x )=2s i n x —πl n x (x ∈ (O , π))的零点，x 1<x 2,则 ①x 0∈(1,e) ②x 0∈(1,π)：
③f(x1)-f(x2)<0 ④f(x1)-f(x2)>0. 其中正确的命题为 (A) ①③ (B) ①④ (C) ②③)
(D)②④
12.三棱柱ABC-A 1B 1C 1,的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，所有棱长差不多上6,则四 面体A 1ABC,
B 1ABC,
C 1ABC 的公共部分的体积等于 (A) 318 (B) 312 (C) 39 (D) 36
13.不等式41251
25>+-x
x 的解集为______.
14.双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率26
=
e 其焦点到渐近线的距离为l ，则C
的方程为_______.
15.1000名考生的数学成绩近似服从正态分布N(100，100)，则成绩在120分以上的考生人数约为 。

(注：正态总体N(μ,σ2
)在区.间(μ-σ, μ+σ), (μ-2σ, μ+2σ) , (μ-3σ, μ+3σ)内取值的概率分别为0.683, 0.954, 0,997)
16.ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边a, b , c 成等差数列，且最大角是最小角的2倍， 则 cos A +cos C=_____.
17．(本小题满分12分）已知等比数列{a n }满足
91
,31321=
-=a a a ( (I)求{a n }的通项公式；
(II)设)1(1
...321211+++
+⨯++⨯+=
n n n n n b n ，求数列}{n n a b 的前n 项的和.
18.(本小题满分12分）
某公司共冇职工8000名，从中随机抽取了100名，调杏上、下班乘车所用时刻，得 下表：
公司规定，按照乘车所用时刻每月发给职工路途补贴，补贴金额Y (元）与乘市时 间t (分钟）
的关系是]20[
40200t y +=，其中]20[t 表示不超过]
20[t 的最大整数.以样本频率为概率：
(I) 估算公司每月用于路途补贴的费用总额（元)；
(II)以样本频率作为概率，求随机选取四名职工,至少冇两名路途补贴超过300 元的概率.
19.(本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，侧面PAD 丄底面ABCD ，2[π
=
∠APD
(I )求证：平面PAB 丄平面PCD;
(II)假如AB=BC, PB=PC,求二面角B-PC-D的余弦值.
20.(本小题满分丨2分）
已知椭圆C1：
1
4
2
2
=
+y
x
和动圆
)0
(
:2
2
2
2
>
=
+r
r
y
x
C
，直线l:y=kx+m与C1和C2分别
有唯独的公共点A和B.
(I)求r的取值范畴；
(II )求|A B|的最大值，并求现在圆 C2的方程.
21.(本小题满分12分）
己知函数f(x)=(mx + n)e_x在x=1处取得极值e-1
(I )求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调区间；
(II )当.
)
,
(+∞
∈a
x
时，f(2x-a)+f(a)>2f(x),求 a 的取值范畴.
22.(本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，直线MN交圆O于A，B两点，AC是直径，AD平分CAM
∠M，交圆0于点D, 过D作DE 上MN于E.
(I)求证： DE是圆O的切线：
(II)若DE=6，AE=3,求ΔABC的面积
23.(本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.己知曲
线C 1的极坐标方程为p=4cos θ曲线C 2的参数方程是⎩⎨
⎧=+=a t y a t m x sin cos （t 为参数，π<≤a 0），
射线4,4
,π
ϕθπ
ϕθϕθ-
=+
==与曲线C 1交于极点O 外的三点A,B, C.
(I)求证：
||2||||OA OC OB =+；
(II)当12π
ϕ=
时，B, C 两点在曲线C 2上，求m 与a 的值.
24.(本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)=丨x —a 丨+ |x —1丨，a ∈R. (I )当a=3时，解不等式 4)(≤x f ;
(II)当)1,2(-∈x )时，F (X )>|2x-a-1|.求 a 的取值范畴
理科数学参考答案 一、选择题： 1.C 2．A 3．A 4．D
5．B 6．C 7．B 8．C 9．B 10．A 11．B 12．D 二、填空题： 13．(1，＋∞) 14．x 22－y 2
＝1
15．23
16． 7 8 三、解答题：
17．解：（Ⅰ）设a n ＝a 1q n －
1，依题意，有
⎩⎨⎧a 1a 2
＝a 21
q ＝－ 1
3，a 3
＝a 1q 2
＝ 19，
解得a 1
＝1，q ＝－ 1
3．
…4分
因此a n ＝(－ 1 3)n －
1． …5分
（Ⅱ）b n ＝
n ＋11×2＋n ＋12×3＋…＋n ＋1n(n ＋1)＝(n ＋1)[11×2＋12×3＋…＋1
n(n ＋1)
] ＝(n ＋1)[(1－ 1 2)＋( 1 2－ 1 3)＋…＋( 1 n －1
n ＋1)]＝n ．
…7分
记数列{b n
a n
}的前n 项的和为S n ，则
S n ＝1＋2×(－3)＋3×(－3)2＋…＋n ×(－3)n －
1， －3S n ＝－3＋2×(－3)2＋3×(－3)3＋…＋n ×(－3)n ， 两式相减，得
4S n ＝1＋(－3)＋(－3)2
＋…＋(－3)n －1
－n ×(－3)n
＝1－(－3)n
4
－n ×(－3)n ， 故S n ＝1－(4n ＋1)(－3)n
16
．
…12分
18．解：（Ⅰ）记一名职工所享受的路途补贴为X （元）． X
X 的均值为
E(X)＝200×0.25＋240×0.5＋280×0.15＋(320＋360)×0.05＝246． …5分 该公司每月用于路途补贴的费用总额约为 E(8000X)＝8000E(X)＝1968000（元）．
…7分
（Ⅱ）依题意，当60≤t ≤100时，y ＞300．
1名职工中路途补贴超过300元的概率p ＝P(60≤t ≤100)＝0.1， …8分
记事件“4名职工中至少有2名路途补贴超过300元”为A ，则
P(A)＝C 24×0.12×0.92＋C 34×0.13×0.9＋0.14
＝0.0523．
…12分
19．解：（Ⅰ）因为四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，因此CD ⊥AD ， 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，因此CD ⊥PA ．
又∠APD ＝ π
2，即PA ⊥PD ，而CD ∩PD ＝D ，因此PA ⊥平面PCD ． 因为PA ⊂平面PAB ，因此平面PAB ⊥平面PCD ．
…4分
（Ⅱ）如图，以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立空间直角坐标系A-xyz ． 设AB ＝2，P(0，a ，b)（a ＞0，b ＞0），
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)． 由PA ⊥PD ，PA →＝(0，－a ，－b)，PD →
＝(0，2－a ，－b)， 得－a(2－a)＋b 2＝0． ①
因为PB ＝PC ，因此22＋a 2＋b 2＝22＋(2－a)2＋b 2．
② 由①，②得a ＝1，b ＝1．
…7分
由（Ⅰ）知，PA →
＝(0，－1，－1)是面PCD 的一个法向量．
…8分
设面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，则n ·PB →＝0，n ·BC →
＝0， 又PB →＝(2，－1，－1)，BC →
＝(0，2，0)，
因此⎩⎨⎧2x －y －z ＝0，2y ＝0，
取n ＝(1，0，2)．
…10分
因为cos 〈PA →
，n 〉＝PA →·n __________|PA →|·|n|＝－105，又二面角B-PC-D 为钝角，
因此二面角B-PC-D 的余弦值－10
5． …12分
20．解：
（Ⅰ）由⎩⎨⎧x 2
4＋y 2＝1，
y ＝kx ＋m ，
得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0．
由于l 与C 1有唯独的公共点A ，故Δ1＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝0，
从而m 2＝1＋4k 2． ① …2分
由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝r 2，y ＝kx ＋m ，
得(1＋k 2)x 2＋2kmx ＋m 2－r 2＝0． 由于l 与C 2有唯独的公共点B ，故Δ2＝4k 2m 2－4(1＋k 2)(m 2－r 2)＝0， 从而m 2＝r 2(1＋k 2)．
② …4分
由①、②）得k 2
＝r 2－1
4－r 2
．
由k 2≥0，得1≤r 2＜4，因此r 的取值范畴是[1，2)． …6分
（注：由图形直截了当看出r 取值范畴而未做代数推理的只给1分）
（Ⅱ）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由（Ⅰ）的解答可知 x 1＝－4km 1＋4k 2＝－4k m ，x 2＝－km 1＋k 2
＝－kr 2
m ．
|AB|2
＝(1＋k 2
)(x 2－x 1)2
＝(1＋k 2
)·k 2(4－r 2)2m 2＝1＋k 2m 2·k 2
·(4－r 2)2
＝1r 2·r 2－14－r 2·(4－r 2)2
＝(r 2－1)(4－r 2)r 2， 因此|AB|2＝5－(r 2＋4
r 2)（1≤r ＜2）．
…10分
因为r 2＋4
r 2≥2×2＝4，当且仅当r ＝2时取等号，
因此当r ＝2时，|AB|取最大值1，现在C 2的方程为x 2＋y 2＝2． …12分
21．解：（Ⅰ）f '(x)＝－(mx ＋n －m)e －
x ． 依题意，f(1)＝e －
1，f '(1)＝0，即
⎩⎨⎧(m ＋n)e －
1＝e －1，－ne －1
＝0，
解得m ＝1，n ＝0． 因此f(x)＝xe －
x ． …4分
f '(x)＝－(x －1)e －
x ．
当x ∈(－∞，1)时，f '(x)＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f '(x)＜0． 函数f(x)在(－∞，1)单调递增；在(1，＋∞)单调递减． …6分
（Ⅱ）设g(x)＝f(2x －a)＋f(a)－2f(x)，则g '(x)＝2[f '(2x －a)－f '(x)]． …7分
设h(x)＝f '(x)＝－(x －1)e －
x ，则h '(x)＝(x －2)e －
x ． 当x ∈(－∞，2)时，h '(x)＜0，h(x)单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，h '(x)＞0，h(x)单调递增．
…8分
（1）若a ≥2，则当x ∈(a ，＋∞)时，2x －a ＞x ，h(2x －a)＞h(x)，即f '(2x －a)＞2f '(x)， 因此g '(x)＞0，g(x)在(a ，＋∞)单调递增，现在g(x)＞g(a)＝0， 即f(2x －a)＋f(a)－2f(x)＞0．
…10分
（2）若a ＜2，则当x ∈(a ，a+2
2)时，2x －a ＞x ，h(2x －a)＜h(x)，即f '(2x －a)＜2f '(x)， 因此g '(x)＜0，g(x)在(a ，2)单调递减，现在g(x)＜g(a)＝0． …11分 综上，a 的取值范畴是[2，＋∞)．
…12分
22．解：（Ⅰ）连结OD ，则OA ＝OD ，因此∠OAD ＝∠ODA ． 因为∠EAD ＝∠OAD ，因此∠ODA ＝∠EAD ． …2分 因为∠EAD ＋∠EDA ＝90︒，因此∠EDA ＋∠ODA ＝90︒，即DE ⊥OD ．
因此DE 是圆O 的切线．
…4分
（Ⅱ）因为DE 是圆O 的切线，因此DE 2＝EA ·EB ，
即62＝3(3＋AB)，因此AB ＝9． …6分 因为OD ∥MN ，
因此O 到MN 的距离等于D 到MN 的距离，即为6
又因为
O 为AC 的中点，C 到MN 的距离等于12 …8分 故△ABC 的面积S ＝ 1
2AB ·BC ＝54．
…10分
23．解：（Ⅰ）依题意，
|OA|＝4cosφ，|OB|＝4cos (φ＋ π 4)，|OC|＝4cos (φ－ π 4)，
…2分
则|OB|＋|OC|＝4cos (φ＋ π 4)＋4cos (φ－ π
4) ＝22(cosφ－sin φ)＋22(cosφ＋sinφ)＝42cosφ， ＝2|OA|．
…5分
（Ⅱ）当φ＝π12时，B ，C 两点的极坐标分别为(2， π 3)，(23，－ π
6)． 化为直角坐标为B(1，3)，C(3，－3)．
…7分 C 2是通过点(m ，0)，倾斜角为α的直线， 又通过点B ，C 的直线方程为y ＝－3(x －2)， …9分 因此m ＝2，α＝2π
3．
…10分
24．解：（Ⅰ）当a ＝3时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4－2x ，x ≤1，
2，1≤x ≤3，2x －4，x ≥3．
当x ＜2时，由f(x)≤4得4－2x ≤4，解得x ≥0； 当1≤x ≤3时，f(x)≤4恒成立；
当x ＞3时，由f(x)≤4得2x －4≤4，解得x ≤4． …4分 因此不等式f(x)≤4的解集为{x|0≤x ≤4}．
…5分
（Ⅱ）因为f(x)＝|x －a|＋|x －1|≥|x －a ＋x －1|＝|2x －a －1|，
当(x －1)(x －a)≥0时，f(x)＝|2x －a －1|； 当(x －1)(x －a)＜0时，f(x)＞|2x －a －1|． …7分 记不等式(x －1)(x －a)＜0的解集为A ，则(－2，1)⊆A ，故a ≤－2，
因此a 的取值范畴是(－∞，－2]．
…10分
A
B
C
D
E O
M N。