人教版八年级数学上册---《全等三角形全章复习》课堂设计

人教版八年级数学上册---《全等三角形全章复习》课堂设计全等三角形全章复习（第一课时）
课题全等三角形全章复习（第一课时）
教学目标
教学目标：掌握全等三角形的判定与性质，并能运用判定与性质的解决问题.
教学重点：复习全等三角形的判定与判定.
教学难点：通过已知条件寻找全等三角形.
教学过程
时间教
学
环
节
主要师生活动
5 分钟知
识
回
顾
问题1：全等三角形这一章我们学习了哪些知识呢？
1．全等形的概念
形状、大小完全相同的两个图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等形．一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转后的图形与原图形全等．把两个全等的多边形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．
2．全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．表示两个三角形全等时，我们使用符号“≌”，如：△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”．
注意：记两个三角形全等时，必须把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．例如，如果△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，那么点A的对应点是点D，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F；边AB的对应边是DE，边BC的对应边是EF，边AC的对应边是DF；∠A的对应角是∠D，∠B的对应角是∠E，∠C 的对应角是∠F．
采用“点点对应”的写法，可以帮助我们在复杂的图形中迅速地找到两个三角形的对应边和对应角．
判定
性质
3． 全等三角形的判定与性质：
一般三角形 直角三角形
判定
边边边(SSS) 边角边(SAS) 角边角(ASA) 角角边(AAS)
具备一般三角形的判定方法； 斜边和一条直角边对应相等 (HL)
注意: 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等
性质
对应边相等、对应角相等
4． 全等三角形应用
利用全等三角形的知识证明角平分线的判定与性质定理，利用全等三角形的知识解决实际生活中的问题.
问题2.
如何寻找全等三角形的对应边和对应角呢？
例：如图，已知△ABC ≌△DEF ，请指出图中对应边和对应角.
【分析】根据“全等三角形的对应边相等，对应角相等”解题.两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角.有对顶角的，两个对顶角一定为一对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共角一定是对应角.
两个三角形中对应相等的边或角 是否全等 全等：√ 不全等：×
判定方法 三条边 √
SSS 两边一角
两边夹角
√ SAS 两边与其中一边对角
× 两角一边 两角和夹边 √ ASA 两角与其中一角对边
√ AAS 三角
×
A B C D
E F
问题3：如何根据需要寻找条件证明三角形全等，进而利用全等三角形的性质证明线段相等、角相等、直线平行等结论？
例:（1）已知：如图，AB 和CD 相交于E ，AE =EC ，EB =ED .
求证：△AED ≌△CEB .
【分析】根据条件SS 找夹角或者找第三边，本题利用SAS 证明全等.
（2）已知：如图，∠ABC ＝∠DCB ，∠ACB ＝∠DBC .
求证：△ABC ≌△DCB ．
【分析】根据条件AA 找夹边或者一个角的对边，本题利用ASA 证明全等.
（3）已知：如图，AD =AE ，∠B =∠C .
求证：△ABE ≌△ACD ．
【分析】根据条件SA 找夹边或者一个角，本题利用AAS 证明全等.
（4）已知：如图，AB DE AC DF BE CF ===，，．
求证：AC DF ∥．
F
E D
C
B
A
【分析】要证∠ACB =∠DFE ，只要证ABC DEF △≌△，本题利用SSS 证明全等.
（5）已知：如图，OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，垂足分别为B ，C ，OB =OC .
求证：AB =AC .
【分析】要证AB =AC ，只要证ABO ACO △≌△，本题HL 利用证明全等. 【小结】
1.判定三角形全等的基本思路“题目中找，图形中看”.
SAS HL SSS →⎧⎪
→⎨⎪→⎩
找夹角已知两边 找直角 找另一边
ASA AAS SAS AAS ⎧⎪
⎧⎪
⎨⎪
⎨⎪
⎪⎪
⎩⎩ 边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA AAS →⎧⎨
→⎩
找两角的夹边已知两角 找任意一边 2.注意公共边、公共角、对顶角等隐含条件.
3.根据要证明的边等、角等、平行等结论，寻找全等三角形，利用全等三角形的性质进行证明.
例题1．已知：如图，AB AD =，AC AE =，且BA AC ⊥，DA AE ⊥．
求证：AM AN =．
【分析】要证明AM AN =，只要证ABM ADN ∆≅∆，要证B D ∠=∠，只要证ABC ADE ∆≅∆.
【解答】证明：BA AC ⊥，DA AE ⊥，
90BAC DAE ∴∠=∠=︒.
在ABC ∆与ADE ∆中， ,
90,,AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪
∠=∠=︒⎨⎪=⎩ ()ABC ADE SAS ∴∆≅∆.
B D ∴∠=∠.
ABC ADE ∆≅∆，
AB AD ∴=.
BAC DAE ∠=∠， BAM DAN ∴∠=∠.
在ABM ∆与ADN ∆中， ,,
,BAM DAN AB AD B D ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
()ABM ADN ASA ∴∆≅∆.
AM AN ∴=．
【小结】需要证明全等时，条件需要从另外一组全等三角形中获得这就需要利用二次全等证明结论.
备选题：
例题2. 如图，点C 在线段AB 上，AD ∥EB ，AC ＝BE ，AD ＝BC ，CF 平分∠DCE ．试探索CF 与DE 的位置关系，并说明理由．
【解答】解：CF ⊥DE . 理由如下： ∵AD ∥BE ，
∴∠A ＝∠B . 在△ACD 和△BEC 中 ,,,AD BC A B AC BE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ACD ≌△BEC （SAS ）. ∴DC ＝CE . ∵CF 平分∠DCE ， ∴∠DCF =∠ECF . 在△FCD 和△FCE 中 ,,,CD CE DCF ECF CF CF =⎧⎪
⎨⎪=⎩
∠=∠ ∴△ACD ≌△BEC （SAS ）. ∴∠CFD=∠CFE 又∵∠CFD+∠CFE=180°
∴∠CFD=∠CFE=90°
∴CF ⊥DE ．
【课堂小结】本节课复习了全等三角形判定及性质.同时学会执果索因分析几何问题的方法，以及利用二次全等证明几何问题. 作业:已知：如图，90A D ∠=∠=︒，AC BD =. 求证：△AOB ≌△DOC ．
【解答】证明：90A D ∠=∠=︒， 在Rt BAC ∆与Rt CDB ∆中， ,
,AC BD BC CB =⎧⎨
=⎩
全等三角形全章复习（第二课时）
在几何问题中，通过已知条件往往很难找到与所求的之间的关系，在这种情况下，我们就要通过添加辅助线进行解题.
例题1:如图：四边形ABCD 中，AB CD ∥，AD BC ∥.
求证：AB CD =，AD BC =．
【分析】要证AB CD =，AD BC =，连接BD ，只要利用ASA 证明ABD CDB ∆≅∆. 【解答】连接BD ，
∵AB CD ∥
∴∠DBA=∠BDC
同理，∠ADB=∠CBD ，
在△ABD 和△CDB 中， ,,
,DBA BDC BD DB ADB CBD ⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∠=∠∠∠ ∴△ABD ≌△CDB.
∴AB CD =，AD BC =．
变式1：如图：四边形ABCD 中，AB CD =，AD BC =.
求证：AB CD ∥，AD BC ∥.
【分析】要证AB CD ∥，AD BC ∥，只要连接BD,利用SSS 证明ABD CDB ∆≅∆.
D C
B
A A
B
C
D
变式2：如图：四边形ABCD 中，AB CD =，AB CD ∥.
求证：AD BC =,AD BC ∥.
【分析】要证AD BC =,AD BC ∥，只要连接BD,利用SAS 证明ABD CDB ∆≅∆
例题2．如图，AC 与BD 相交于点O ，AC BD =，AB CD =.
求证：A D ∠=∠．
【分析】要证A D ∠=∠，连接BC ，只要证ABC DCB ∆≅∆. 【解答】证明：连接BC ， 在ABC ∆和DCB ∆中， ,,,AC BD AB CD BC CB =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
ABC DCB ∴∆≅∆.
A D ∴∠=∠.
D C
B
A D
C
B
A
变式1：如图，AC 与BD 相交于点O ，AB CD =，A D ∠=∠.
求证：AC BD =.
【分析】要证AC BD =，只需证AO =DO ,BO =CO .只需利用AAS 证明△AOB ≌△DOC 即可.
例题3．如图，∠B ＝∠C ＝90°，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ．
求证：AE 是∠DAB 的平分线.
【分析】作EF ⊥AD 于F ，由角平分线的性质定理可得EF ＝EC ，由于BE =EC ，EF ＝EB ，由角平分线的判定定理可得AE 是∠DAB 的平分线. 【解答】解：作EF ⊥AD 于F ，
∵∠B ＝∠C ＝90°，
∴CB ⊥AB ，CB ⊥CD ．
∵DE 平分∠ADC ,
又∵EF ⊥AD,EC ⊥CD.
∴CE=EF.
∵E 是BC 的中点， ∴CE ＝BE . ∴BE ＝EF ． 又∵EB ⊥AB,EF ⊥AD, ∴AE 是∠DAB 的平分线.
变式1:如图，∠B ＝∠C ＝90°，DE 平分∠ADC,AE 是∠DAB 的平分线.
求证： E 是BC 的中点.
F B C
D
E
A
【分析】要证BE =EC ，作EF ⊥AD 于F ，只需由角平分线的性质定理证明EB =EF ，EF =EC 即可. 变式2：如图，∠B ＝∠C ＝90°，DE 平分∠ADC,AE 是∠DAB 的平分线；通过刚才的证明过程，你还能得到哪些结论？ 【解答】AE ⊥DE ，AD =AB +CD 等. 【小结】 1.通过添加辅助线可以沟通已知条件与所求的之间的关系. 2.通过改变题设和结论以及分析证明过程可以拓展新的命题.
例题 4.如图（1），ABC ∆中，BC AC =，CDE ∆中，CE CD =，现把两个三角形的C 点重合，且使BCA ECD ∠=∠，连接BE ，AD ．求证：BE AD =．
F B C D E A
若将DEC ∆绕点C 旋转至图（2），（3）所示的情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等吗？利用图（3）说明理由．
【分析】求出BCE ACD ∠=∠，根据SAS 推出BCE ACD ∆≅∆即可．图（3）中求出BCE ACD ∠=∠，根据SAS 推出BCE ACD ∆≅∆即可．
【解答】证明：BCA ECD ∠=∠，
BCA ECA ECD ECA ∴∠-∠=∠-∠.
BCE ACD ∴∠=∠.
在BCE ∆和ACD ∆中，
,,,BC AC BCE ACD EC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
BCE ACD ∴∆≅∆.
BE AD ∴=．
解：图（2），图（3）中，BE 和AD 还相等，
理由是：如图（3）
BCA ECD ∠=∠，180ACD BCA ∠+∠=︒，
180ECD BCE ∠+∠=︒，
BCE ACD ∴∠=∠. 在BCE ∆和ACD ∆中，
,,,BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()BCE ACD SAS ∴∆≅∆.
BE AD ∴=．
【小结】动态探索几何问题变化前后图形之间存在必然联系，变化前结论的证明对变化后结论探究起着至关重要的指导作用.
【课堂小结】
1.学会添加辅助线解决全等三角形相关问题.
2.了解拓展几何命题的方法.
3.理解几何图形中的变化思想与结论中的不变思想的结合.
作业.在ABC
∆中，90
ACB
∠=︒，AC BC
=，直线MN经过点C，且AD MN
⊥于D，BE MN
⊥于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC CEB
∆≅∆；②DE AD BE
=+；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE
=-；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【解答】
（1）证明：90
ACB
∠=︒，
90
ACD BCE
∴∠+∠=︒.
而AD MN
⊥于D，BE MN
⊥于E，
90
ADC CEB
∴∠=∠=︒，90
BCE CBE
∠+∠=︒.
ACD CBE
∴∠=∠．
在ADC
∆和CEB
∆中，
,
,
,
ADC CEB
ACD CBE AC CB
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
ADC CEB
∴∆≅∆.
AD CE
∴=，DC BE
=.
DE DC CE BE AD ∴=+=+.。