山东省日照市五莲县中考数学一模试卷(含解析)

2017年山东省日照市五莲县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共40分）
1．数a的相反数是（）
A．|a| B．C．﹣a D．
2．如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（）
A．（）﹣2=﹣9 B． =±2 C．﹣2（a﹣b）=﹣2a﹣2b D．ab4÷（﹣ab）=﹣b3
4．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（）
A．30° B．25° C．20° D．15°
5．我国计划在2020年左右发射火星探测卫星，据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为（）
A．5.5×106千米 B．5.5×107千米 C．55×106千米D．0.55×108千米
6．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）
A．B．C．D．
7．2015年日照市人民政府投入1000万元用于改造乡村小学班班通工程建设，计划到2017年再追加投资210万元，如果每年的平均增长率相同，那么我市这两年该项投入的平均增长率为（）
A．1.21% B．8% C．10% D．12.1%
8．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=
在同一坐标系内的图象大致为（）
A．B．C．D．
9．如果不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（）
A．a≤﹣1 B．a＜﹣1 C．﹣2≤a＜﹣1 D．﹣2＜a≤﹣1
10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）
A．2 B．C．D．3
11．如图，AB为半圆O的直径，CD切⊙O于点E，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，AD与CD 相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°；⑥若切点E在半圆上运动（A、B两点除外），则线段AD与BC的积为定值．其中正确的个数是（）
A．5 B．4 C．3 D．2
12．已知二次函数y=ax2+bx+1（a＜0）的图象过点（1，0）和（x1，0），且﹣2＜x1＜﹣1，
下列5个判断中：①b＜0；②b﹣a＜0；③a＞b﹣1；④a＜﹣；⑤2a＜b+，正确的是（）A．①③ B．①②③C．①②③⑤ D．①③④⑤
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．因式分解：﹣2x2y+8xy﹣6y= ．
14．求1+2+22+23+…+22017的值，可令S=1+2+22+23+…+22017，则2S=2+22+23+…+22018，因此2S ﹣S=22018﹣1，仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52017的值为．
15．如图：在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数y=﹣、y=的图象交于B、A两点，则tanA= ．
16．如图四边形ABCD中，AD=DC，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DF⊥AC，垂足为F．DF与AB相交于E．设AB=15，BC=9，P是射线DF上的动点．当△BCP的周长最小时，DP的长为．
三、解答题（本大题共6小题，共64分）
17．（1）解不等式组，并写出不等式组的整数解．
（2）化简分式：（﹣）÷，再从﹣2＜x＜3的范围内选取一个你最喜欢的值代入求值．
18．如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
19．国务院办公厅2015年3月16日发布了《中国足球改革的总体方案》，这是中国足球历史上的重大改革．为了进一步普及足球知识，传播足球文化，我市举行了“足球进校园”知识竞赛活动，为了解足球知识的普及情况，随机抽取了部分获奖情况进行整理，得到下列不完整的统计图表：
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a= ，b= ，且补全频数分布直方图；
（2）若用扇形统计图来描述获奖分布情况，问获得优胜奖对应的扇形圆心角的度数是多少？（3）在这次竞赛中，甲、乙、丙、丁四位同学都获得一等奖，若从这四位同学中随机选取两位同学代表我市参加上一级竞赛，请用树状图或列表的方法，计算恰好选中甲、乙二人的概率．
20．骑自相车旅行越来越受到人们的喜爱，顺风车行经营的A型车2016年4月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售比去年增加400元，若今年4月份与去年4月份卖出的A型车数量相同，则今年4月份A型车销售总额将比去年4月份销售总额增加25%．
（1）求今年4月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；
（2）该车行计划5月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A、B两种型号车的进货和销售价格如表：
21．爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
【特例探究】
（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a= ，b= ；
如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a= ，b= ；
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
【拓展证明】
（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、
BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长．
22．已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y
轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B
出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？
2017年山东省日照市五莲县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共40分）
1．数a的相反数是（）
A．|a| B．C．﹣a D．
【考点】28：实数的性质．
【分析】根据相反数的定义进行选择即可．
【解答】解：∵数a的相反数是﹣a，
∴故选C．
2．如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（）
A．B．C．D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．
【解答】解：从上面可看到第一横行左下角有一个正方形，
第二横行有3个正方形，
第三横行中间有一个正方形．
故选C．
3．下列运算正确的是（）
A．（）﹣2=﹣9 B． =±2 C．﹣2（a﹣b）=﹣2a﹣2b D．ab4÷（﹣ab）=﹣b3
【考点】4H：整式的除法；36：去括号与添括号；6F：负整数指数幂．
【分析】原式利用负整数指数幂法则，算术平方根定义，去括号法则，以及单项式除以单项
式法则计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=9，不符合题意；
B、原式=2，不符合题意；
C、原式=﹣2a+2b，不符合题意；
D、原式=﹣b3，符合题意，
故选D
4．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【考点】MC：切线的性质；K7：三角形内角和定理；K8：三角形的外角性质；KH：等腰三角形的性质．
【分析】根据切线的性质求出∠OAC，结合∠C=40°求出∠AOC，根据等腰三角形性质求出∠B=∠BDO，根据三角形外角性质求出即可．
【解答】解：∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵∠C=40°，
∴∠AOC=50°，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠BDO，
∵∠ABD+∠BDO=∠AOC，
∴∠ABD=25°，
故选：B．
5．我国计划在2020年左右发射火星探测卫星，据科学研究，火星距离地球的最近距离约为
5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为（）
A．5.5×106千米 B．5.5×107千米 C．55×106千米D．0.55×108千米
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：5500万=5.5×107．
故选：B．
6．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）
A．B．C．D．
【考点】AA：根的判别式．
【分析】先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，
解得m＜．
故选：B．
7．2015年日照市人民政府投入1000万元用于改造乡村小学班班通工程建设，计划到2017年再追加投资210万元，如果每年的平均增长率相同，那么我市这两年该项投入的平均增长率为（）
A．1.21% B．8% C．10% D．12.1%
【考点】AD：一元二次方程的应用．
【分析】设我市这两年该项投入的平均增长率为x，根据：2015年投入资金×（1+增长百分率）2=2017年投入资金，列一元二次方程求解可得．
【解答】解：设我市这两年该项投入的平均增长率为x，
依题意得：1000×（1+x）2=210+1000，
解得x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（舍去）．
即我市这两年该项投入的平均增长率为10%．
故选：C．
8．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=
在同一坐标系内的图象大致为（）
A．B．C．D．
【考点】H2：二次函数的图象；F3：一次函数的图象；G2：反比例函数的图象．
【分析】本题需要根据抛物线的位置，反馈数据的信息，即a+b+c，b，b2﹣4ac的符号，从而确定反比例函数、一次函数的图象位置．
【解答】解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即（1，a+b+c）在第四象限，因此a+b+c＜0；
∴双曲线的图象在第二、四象限；
由于抛物线开口向上，所以a＞0；
对称轴x=＞0，所以b＜0；
抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0；
∴直线y=bx+b2﹣4ac经过第一、二、四象限．
故选：D．
9．如果不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（）
A．a≤﹣1 B．a＜﹣1 C．﹣2≤a＜﹣1 D．﹣2＜a≤﹣1
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】首先根据不等式组得出不等式组的解集为a＜x＜2，再由恰好有3个整数解可得a 的取值范围．
【解答】解：如图，
由图象可知：不等式组恰有3个整数解，
需要满足条件：﹣2≤a＜﹣1．
故选C．
10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）
A．2 B．C．D．3
【考点】K3：三角形的面积．
【分析】连接AC，过B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易得△ABC的面积，可得BG 和△ADC的面积，三角形ABC与三角形ACD同底，利用面积比可得它们高的比，而GH又是△ACD以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形的面积公式可得结果．
【解答】解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，
∵∠ABC=90°，AB=BC=2，
∴AC===4，
∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，
∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，
∴AG=BG=2
∵S△ABC=•AB•AC=×2×2=4，
∴S△ADC=2，
∵=2，
∵△DEF～△DAC，
∴GH=BG=，
∴BH=，
又∵EF=AC=2，
∴S△BEF=•EF•BH=×2×=，
故选C．
方法二：S△BEF=S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED，
易知S△ABE+S△BCF=S四边形ABCD=3，S△EDF=，
∴S△BEF=S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED=6﹣3﹣=．
故选C．
11．如图，AB为半圆O的直径，CD切⊙O于点E，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，AD与CD 相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°；⑥若切点E在半圆上运动（A、B两点除外），则线段AD与BC的积为定值．其中正确的个数是（）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】MR：圆的综合题．
【分析】根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，根据全等三角形的性质得到∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC 为直角，选项①正确；根据相似三角形的性质得比例可得出OD2=DE•CD，选项⑤正确；由△
ODE∽△OEC，，得到OD≠OC，选项③错误；根据射影定理即可得到AD•BC=OE2，于是得到线段AD与BC的积为定值，故⑥正确．
【解答】解：连接OE，如图所示：
∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，
∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，
∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；
∴S梯形ABCD=（AD+BC）•AB=CD•OA；选项④正确；
在Rt△ADO和Rt△EDO中，
，
∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），
∴∠AOD=∠EOD，
同理Rt△CEO≌Rt△CBO，
∴∠EOC=∠BOC，
又∵∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，
∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；
∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，
∴△EDO∽△ODC，
∴=，即OD2=DC•DE，选项①正确；
同理△ODE∽△OEC，
∴，
∴OD≠OC，选项③错误；
∵∠COD=90°，OE⊥CD，
∴OE2=CE•DE，
∵DA=DE，CE=CB，
∴AD•BC=OE2，
∴线段AD与BC的积为定值，故⑥正确．
故选A．
12．已知二次函数y=ax2+bx+1（a＜0）的图象过点（1，0）和（x1，0），且﹣2＜x1＜﹣1，
下列5个判断中：①b＜0；②b﹣a＜0；③a＞b﹣1；④a＜﹣；⑤2a＜b+，正确的是（）A．①③ B．①②③C．①②③⑤ D．①③④⑤
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【分析】求得与y轴的交点坐标，根据与坐标轴的交点判断出a＜0，根据与x轴的交点判
定﹣＜﹣＜0，从而得出a、b的关系，把（﹣1，0），（﹣2，0）代入函数解析式求出a、b、c的关系式，然后对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（1，0）和（x1，0），﹣2＜x1＜﹣1，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，
∵﹣2＜x1＜﹣1，
∴﹣＜﹣＜0，
∴b＜0，b＞a，故①正确，②错误；
∵当x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+1＞0，
∴a＞b﹣1故③正确；
∵由一元二次方程根与系数的关系知x1•x2=，
∴x1=，
∵﹣2＜x1＜﹣1，
∴﹣2＜＜﹣1，
∴a＜﹣，故④正确；
∵当x=﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+1＜0，
∴2a＜b+，故⑤正确，
综上所述，正确的结论有①③④⑤，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．因式分解：﹣2x2y+8xy﹣6y= ﹣2y（x﹣1）（x﹣3）．
【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等；53：因式分解﹣提公因式法．
【分析】原式提取公因式，再利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：原式=﹣2y（x2﹣4x+3）=﹣2y（x﹣1）（x﹣3），
故答案为：﹣2y（x﹣1）（x﹣3）
14．求1+2+22+23+…+22017的值，可令S=1+2+22+23+…+22017，则2S=2+22+23+…+22018，因此2S
﹣S=22018﹣1，仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52017的值为．
【考点】37：规律型：数字的变化类；1G：有理数的混合运算．
【分析】仿照例子，令S=1+5+52+53+…+52017，则可得出5S=5+52+53+…+52017+52018，两者做差后除以4即可得出结论．
【解答】解：令S=1+5+52+53+…+52017①，
①×5得：则5S=5+52+53+…+52017+52018②，
②﹣①得：4S=52018﹣1，
∴S=．
故答案为：．
15．如图：在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函
数y=﹣、y=的图象交于B、A两点，则tanA= ．
【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；T7：解直角三角形．
【分析】如图，作辅助线；首先证明△BOM∽△OAN，得到=，设B（﹣m，），A（n，
），得到BM=，AN=，OM=m，ON=n，进而得到mn=，mn=，此为解决问题的关键性
结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=，即可解决问题．
【解答】解：如图，分别过点A、B作AN⊥x轴、BM⊥x轴；
∵∠AOB=90°，
∴∠BOM+∠AON=∠AON+∠OAN=90°，
∴∠BOM=∠OAN，
∵∠BMO=∠ANO=90°，
∴△BOM∽△OAN，
∴=；
设B（﹣m，），A（n，），
则BM=，AN=，OM=m，ON=n，
∴mn=，mn=；
∵∠AOB=90°，
∴tan∠OAB=①；
∵△BOM∽△OAN，
∴===②，
由①②知tan∠OAB=，
故答案为：．
16．如图四边形ABCD中，AD=DC，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DF⊥AC，垂足为F．DF与AB相交于E．设AB=15，BC=9，P是射线DF上的动点．当△BCP的周长最小时，DP的长为12.5 ．
【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题．
【分析】先根据△ABC是直角三角形可求出AC的长，再根据AD=DC，DF⊥AC可求出AF=CF= AC，故点C关于DE的对称点是A，故E点与P点重合时△BCP的周长最小，再根据DE⊥AC，BC⊥AC可知，DE∥BC，由相似三角形的判定定理可知△AEF∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例可得出AE的长，同理，利用△AED∽△CBA即可求出DE的长．
【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=15，BC=9，
∴AC===12，
∵AD=DC，DF⊥AC，
∴AF=CF=AC=6，
∴点C关于DE的对称点是A，故E点与P点重合时△BCP的周长最小，
∴DP=DE，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，即=，解得AE=，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC，
∵∠DAB=∠ACB=90°，
∴Rt△AED∽Rt△CBA，
∴=，即=，解得DE=12.5，即DP=12.5．
故答案为：12.5．
三、解答题（本大题共6小题，共64分）
17．（1）解不等式组，并写出不等式组的整数解．
（2）化简分式：（﹣）÷，再从﹣2＜x＜3的范围内选取一个你最喜欢的值代入求值．
【考点】6D：分式的化简求值；CB：解一元一次不等式组；CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】（1）根据解不等式组的方法可以求得不等式组的解集，从而可以得到不等式组的整数解；
（2）先化简题目中的式子，然后在﹣2＜x＜3的范围内选取一个使得原分式有意义的x的值代入即可解答本题．
【解答】解：（1），
解不等式①，得
x＜1，
解不等式②，得
x＞﹣2，
由不等式①②可得，原不等式组的解集是﹣2＜x＜1，
∴不等式组的整数解是：x=﹣1，0；
（2）（﹣）÷
=
=3（x+1）﹣（x﹣1）
=3x+3﹣x+1
=2x+4，
当x=2时，原式=2×2+4=8．
18．如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AB=2，∠BAC=45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
【考点】R2：旋转的性质；KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质．
【分析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；
（2）根据∠BAC=45°，四边形ADFC是菱形，得到∠DBA=∠BAC=45°，再由AB=AD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BD﹣DF求出BF的长即可．
【解答】解：（1）由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，
∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS）；
（2）∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC=45°，
∴∠DBA=∠BAC=45°，
由（1）得：AB=AD，
∴∠DBA=∠BDA=45°，
∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，
∴BD2=2AB2，即BD=2，
∴AD=DF=FC=AC=AB=2，
∴BF=BD﹣DF=2﹣2．
19．国务院办公厅2015年3月16日发布了《中国足球改革的总体方案》，这是中国足球历史上的重大改革．为了进一步普及足球知识，传播足球文化，我市举行了“足球进校园”知识竞赛活动，为了解足球知识的普及情况，随机抽取了部分获奖情况进行整理，得到下列不完整的统计图表：
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a= 60 ，b= 0.15 ，且补全频数分布直方图；
（2）若用扇形统计图来描述获奖分布情况，问获得优胜奖对应的扇形圆心角的度数是多少？（3）在这次竞赛中，甲、乙、丙、丁四位同学都获得一等奖，若从这四位同学中随机选取两位同学代表我市参加上一级竞赛，请用树状图或列表的方法，计算恰好选中甲、乙二人的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图；VB：扇形统计图．
【分析】（1）根据公式频率=频数÷样本总数，求得样本总数，再根据公式得出a，b的值即可；
（2）根据公式优胜奖对应的扇形圆心角的度数=优胜奖的频率×360°计算即可；
（3）画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）样本总数为10÷0.05=200人，
a=200﹣10﹣20﹣30﹣80=60人，
b=30÷200=0.15，
故答案为60，0.15；
（2）优胜奖所在扇形的圆心角为0.30×360°=108°；
（3）列表：甲乙丙丁分别用ABCD表示，
∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、B的有2种，
画树状图如下：
∴P（选中A、B）==．
20．骑自相车旅行越来越受到人们的喜爱，顺风车行经营的A型车2016年4月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售比去年增加400元，若今年4月份与去年4月份卖出的A型车数量相同，则今年4月份A型车销售总额将比去年4月份销售总额增加25%．
（1）求今年4月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；
（2）该车行计划5月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A、B两种型号车的进货和销售价格如表：
【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x+400）元，根据今年4月份与去年4月份卖出的A型车数量相同，列方程求解即可；
（2）设今年5月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，先求出m
的范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题．
【解答】解：（1）设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x+400）元，根据题意得：
=，
解得：x=1600，
经检验，x=1600是方程的解．
答：今年A型车每辆2000元．
（2）设今年5月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，
根据题意得：50﹣m≤2m
解得：m≥16，
∵y=m+（50﹣m）=﹣100m+50000，
∴y随m 的增大而减小，
∴当m=17时，可以获得最大利润．
答：进货方案是A型车17辆，B型车33辆．
21．爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
【特例探究】
（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a= 4，b= 4；
如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a= ，b= ；
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
【拓展证明】
（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、
BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）①首先证明△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解决问题．
②连接MN，在RT△PAB，RT△PMN中，利用30°性质求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解决问题．
（2）结论a2+b2=5c2．设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题．
（3）取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，首先证明△ABF是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，∵CN=AN，CM=BM，
∴MN∥AB，MN=AB=2，
∵tan∠PAB=1，
∴∠PAB=∠PBA=∠PNM=∠PMN=45°，
∴PN=PM=2，PB=PA=4，
∴AN=BM==2．
∴b=AC=2AN=4，a=BC=4．
故答案为4，4，
如图2中，连接NM，
，∵CN=AN，CM=BM，
∴MN∥AB，MN=AB=1，
∵∠PAB=30°，
∴PB=1，PA=，
在RT△MNP中，∵∠NMP=∠PAB=30°，
∴PN=，PM=，
∴AN=，BM=，
∴a=BC=2BM=，b=AC=2AN=，
故答案分别为，．
（2）结论a2+b2=5c2．
证明：如图3中，连接MN．
∵AM、BN是中线，
∴MN∥AB，MN=AB，
∴△MPN∽△APB，
∴==，
设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，
∴a2=BC2=4BM2=4（MP2+BP2）=4x2+16y2，
b2=AC2=4AN2=4（PN2+AP2）=4y2+16x2，
c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，
∴a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2．
（3）解：如图4中，在△AGE和△FGB中，
，
∴△AGE≌△FGB，
∴BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，同理可证△APH≌△BFH，
∴AP=BF，PE=CF=2BF，
即PE∥CF，PE=CF，
∴四边形CEPF是平行四边形，
∴FP∥CE，
∵BE⊥CE，
∴FP⊥BE，即FH⊥BG，
∴△ABF是中垂三角形，
由（2）可知AB2+AF2=5BF2，
∵AB=3，BF=AD=，
∴9+AF2=5×（）2，
∴AF=4．
22．已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y
轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B
出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标，进而求出直线AD的解析式，接着求出点D的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式确定a的值；
（2）由于没有明确说明相似三角形的对应顶点，因此需要分情况讨论：①△ABC∽△BAP；
②△ABC∽△PAB；
（3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，根据正切的定义求出Q 的运动时间t=BE+EF时，t最小即可．
【解答】解：（1）∵y=a（x+3）（x﹣1），
∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），
∵直线y=﹣x+b经过点A，
∴b=﹣3，
∴y=﹣x﹣3，
当x=2时，y=﹣5，
则点D的坐标为（2，﹣5），
∵点D在抛物线上，
∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5，
解得，a=﹣，
则抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1中，作PH⊥x轴于H，设点 P坐标（m，n），
当△BPA∽△ABC时，∠BAC=∠PBA，
∴tan∠BAC=tan∠PBA，即=，
∴=，即n=﹣a（m﹣1），
∴解得m=﹣4或1（舍弃），当m=﹣4时，n=5a，
∵△BPA∽△ABC，
∴=，
∴AB2=AC•PB，
∴42=，
解得a=﹣或（舍弃），
则n=5a=﹣，
∴点P坐标（﹣4，﹣）．
当△PBA∽△ABC时，∠CBA=∠PBA，
∴tan∠CBA=tan∠PBA，即=，
∴=，
∴n=﹣3a（m﹣1），
∴，
解得m=﹣6或1（舍弃），
当m=﹣6时，n=21a，
∵△PBA ∽△ABC ，
∴=，即AB 2=BC•PB，
∴42=•，
解得a=﹣或（不合题意舍弃），
则点P 坐标（﹣6，﹣3），
综上所述，符合条件的点P 的坐标（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣3）．
（3）如图2中，作DM ∥x 轴交抛物线于M ，作DN ⊥x 轴于N ，作EF ⊥DM 于F ，
则tan ∠DAN===，
∴∠DAN=60°，
∴∠EDF=60°，
∴DE==EF ，
∴Q 的运动时间t=+=BE+EF ，
∴当BE 和EF 共线时，t 最小，
则BE ⊥DM ，此时点E 坐标（1，﹣4）．。