2023-2024学年江苏省南通市如东县高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省南通市如东县高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。

在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜4}，B ＝{0，2，4，6}，则A ∩B 的子集个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
2．若直线l 1：2x +ay ﹣2＝0与直线l 2：x ﹣y +a ＝0平行，则直线l 1与l 2之间的距离为（ ） A ．√2
B ．
√22
C ．√5
D ．
√10
2
3．已知在等比数列{a n }中，a 5a 7＝12a 6，等差数列{b n }的前n 项和为S n ，且2b 5＝a 6，则S 9＝（ ） A ．36
B ．54
C ．64
D ．108
4．设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，则点C 1到平面A 1BD 的距离是（ ） A ．
√33
B ．
2√2
3
C ．
2√3
3
D ．
8√3
3
5．对任意x 1，x 2∈（0，+∞），均有（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0成立，若a ＝f （ln 2），b =f(313)，c
=
f(e 1
3)，
则a ，b ，c 的大关系是（ ） A ．c ＜b ＜a
B ．a ＜b ＜c
C ．a ＜c ＜b
D ．c ＜a ＜b
6．为进一步在全县掀起全民健身热潮，如东县于2023年10月28日在如东小洋口旅游度假区举办大运河自行车系列赛．已知本次比赛设有4个服务点，现将5名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，共有（ ）种不同的分配方式． A ．30
B ．60
C ．120
D ．125
7．已知数列{a n }满足a n+1={2a n ，n 为奇数a n +1，n 为偶数，若3≤a 9≤15，则a 1的取值范围是（ ）
A ．[﹣1，0]
B ．[−3
4
，0]
C ．[0，3
4
]
D ．[0，1]
8．设抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点是F ，直线l 与抛物线C 相交于P ，Q 两点，且∠PFQ =2π
3
，线段PQ 的中点A 到抛物线C 的准线的距离为d ，则(|PQ|d
)2
的最小值为（ ） A ．√3
B ．
√33
C ．3
D ．13
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．S n 为数列{a n }的前n 项和，已知对任意的n ∈N *，a n +a n +1＝2n +1，下列说法正确的是（ ） A ．S 2＝3
B ．a 1＝1
C ．S 8＝36
D ．a n ＝n
10．已知7名同学排成一排，下列说法正确的是（ ）
A ．甲不站两端，共有A 51A 66
种排法
B ．甲、乙必须相邻，共有A 55A 22种排法
C ．甲、乙不相邻，共有A 52A 55种排法
D ．甲不排左端，乙不排右端，共有A 77−2A 66+A 55种排法
11．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，A （﹣1，0，0），B （1，2，﹣2），C （0，0，﹣2），则（ ） A ．OC →
⋅AB →
=3
B ．点B 到平面AO
C 的距离是2 C ．异面直线OC 与AB 所成角的余弦值为√34
D ．点O 到直线AB 的距离是
√6
3
12．已知椭圆C ：x 24+y 2
b
2=1(b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P(√2，1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，
椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（ ） A ．离心率e 的取值范围为(0，
√2
2
) B ．当e =
√2
4
时，|QF 1|+|QP |的最大值为4+
√6
2
C ．存在点Q ，使得QF 1→
•QF 2→
=0
D ．1|QF 1|+1
|QF 2|
的最小值为1
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→
=a AB →
+2b AD →
+3c A 1A →
，则abc ＝ ． 14．设双曲线C ：x 2a 2−y 2
b
2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为2，P 是C 上一点，
且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为3，则双曲线的方程为 ．
15．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）的“曼哈顿距离”为d （A ，B ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|，已知动点N 在圆x 2+y 2＝16上，定点M （4，5），则M ，N 两点的“曼哈顿距离”的最大值为 ．
16．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网．如图，是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形的四条边的三等分点上．设外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的面积为a 1＝1，往里第二个正方形A 2B 2C 2D 2的面积为a 2，往里第n 个正方形A n B n ∁n D n 的面积为a n ．则
数列{a n }的通项公式为 ，已知{b n }满足b 1a 1+b 2a 2+⋯+b n
a n
=2n 2﹣n （n ∈N *），则数列{b n }的
最大项的值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{a n }满足a 1=12，a 3=5
8
，且数列{2n a n }是等差数列．
（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =
2n−3
(2n+1)a n
，求数列{b n }的前n 项和S n ．
18．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AA 1C 1C 边长为4的正方形，AB ＝3，BC ＝5．
（1）求证：AA 1⊥平面ABC ；
（2）求二面角A 1﹣BC 1﹣B 1的余弦值；
19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点为A 1，A 2，点G 是椭圆C 的上顶点，直
线A 2G 与圆x 2+y 2=8
5相切，且椭圆C 的离心率为√32
．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过点P （0，1）的直线l 交E 于M ，N 两点，若NP →=5PM →
，求直线l 的方程．
20．（12分）在三棱锥A ﹣BCD 中，已知CB ＝CD =√5，BD ＝2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ， AO ＝2，E 为AC 的中点．点F 在BC 上，满足BF =1
4
BC ．
（1）求点A到平面DEF的距离；
（2）求直线BD与平面DEC所成角的余弦值．
21．（12分）记数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S n+S n+1＝3a n+1﹣4．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n＝a n log2a n，记{b n}的前n项和为T n．若t（n﹣1）2+2≤T n对于n≥2且n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．
22．（12分）已知双曲线C：x2
a2
−
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，左焦点为F，过点F且斜率为1
的直线与C的一条渐近线垂直，垂足为N，且|FN|＝1．
（1）求C的方程．
（2）过点M（﹣2，0）的直线交C于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，直线AP，AQ分别交y轴于点G，H，试问在x轴上是否存在定点T，使得TG⊥TH？若存在，求点T的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年江苏省南通市如东县高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。

在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{0，2，4，6}，则A∩B的子集个数为（）A．1B．2C．4D．8
解：集合A＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{0，2，4，6}，∴A∩B＝{0，2}，则A∩B的子集个数为22＝4．故选：C．
2．若直线l1：2x+ay﹣2＝0与直线l2：x﹣y+a＝0平行，则直线l1与l2之间的距离为（）
A．√2B．√2
2
C．√5D．
√10
2
解：因为直线l1和直线l2平行，所以2
1
=
a
−1
≠
−2
a
，解得a＝﹣2，
所以直线l1：x﹣y﹣1＝0，直线l2：x﹣y﹣2＝0，直线l1与l2之间的距离为d=|−1−(−2)|
√1+1
=√
2
2
．
故选：B．
3．已知在等比数列{a n}中，a5a7＝12a6，等差数列{b n}的前n项和为S n，且2b5＝a6，则S9＝（）A．36B．54C．64D．108
解：在等比数列{a n}中，由a5a7＝12a6，得a62=12a6，可得a6＝12．
由2b5＝a6，得b5＝6，在等差数列{b n}中，则S9＝9b5＝9×6＝54．
故选：B．
4．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，则点C1到平面A1BD的距离是（）
A．√3
3
B．
2√2
3
C．
2√3
3
D．
8√3
3
解：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图：
根据题意，AC 1→=（4，4，4），BC 1→
=（0，4，4），
根据正方体的几何性质，显然可知体对角线AC 1⊥平面A 1BD ， 所以点C 1到平面A 1BD 的距离d =|AC 1→⋅BC 1→
||AC 1→
|
=
4√3
=8√3
3．
故选：D ．
5．对任意x 1，x 2∈（0，+∞），均有（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0成立，若a ＝f （ln 2），b =f(31
3)，c =f(e 1
3)，则a ，b ，c 的大关系是（ ） A ．c ＜b ＜a
B ．a ＜b ＜c
C ．a ＜c ＜b
D ．c ＜a ＜b
解：∵任意x 1，x 2∈（0，+∞），均有（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0成立， ∴f （x ）在（0，+∞）上是增函数，
又0＜ln2＜1＜e 13＜31
3， ∴f(ln2)＜f(e 13)＜f(313)，即
a ＜c ＜
b ．
故选：C ．
6．为进一步在全县掀起全民健身热潮，如东县于2023年10月28日在如东小洋口旅游度假区举办大运河自行车系列赛．已知本次比赛设有4个服务点，现将5名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，共有（ ）种不同的分配方式． A ．30
B ．60
C ．120
D ．125
解：根据题意，分2步进行分析：
①先在5人中选出2人，安排在最后一个服务点，有C 52
=10种安排方法，
②将剩下的3人安排到其他3个服务点，有A 33=6种安排方法， 故有10×6＝60种安排方法． 故选：B ．
7．已知数列{a n }满足a n+1={2a n ，n 为奇数a n +1，n 为偶数，若3≤a 9≤15，则a 1的取值范围是（ ）
A ．[﹣1，0]
B ．[−3
4
，0]
C ．[0，3
4
]
D ．[0，1]
解：由题意列{a n }满足a n+1={2a n ，n 为奇数
a n +1，n 为偶数
，
当n为奇数时，a n＝a n﹣1+1＝2a n﹣2+1⇒a n+1＝2（a n﹣2+1），
所以a9+1=24(a1+1)⇒4≤24(a1+1)≤16⇒−3
4
≤a1≤0，
故选：B．
8．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点是F，直线l与抛物线C相交于P，Q两点，且∠PFQ=2π
3
，线
段PQ的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则(|PQ|
d
)2的最小值为（）
A．√3B．√3
3
C．3D．
1
3
解：设|PF|＝m，|QF|＝n，
过点P，Q分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为P'，Q'，如下所示：
则|PP'|＝m，|QQ'|＝n，
因为点A为线段PQ的中点，
根据梯形中位线定理可得，点A到抛物线C的准线的距离为d=|PP′|+|QQ′|
2
=
m+n
2
，
因为∠PFQ=2π
3
，所以在△PFQ中，由余弦定理得|PQ|2=m2+n2−2mncos
2π
3
=m2+n2+mn，
所以(|PQ|
d
)2=
|PQ|2
d2
=
4(m2+n2+mn)
(m+n)2
=
4[(m+n)2−mn]
(m+n)2
=4[1−
mn
(m+n)2
]，
又因为（m+n）2≥4mn，所以
mn
(m+n)2
≤
1
4
，当且仅当m＝n时，等号成立（m，n显然存在），
所以(|PQ|
d
)2≥4(1−
1
4
)=3，则(
|PQ|
d
)2的最小值为3．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．S n为数列{a n}的前n项和，已知对任意的n∈N*，a n+a n+1＝2n+1，下列说法正确的是（）
A ．S 2＝3
B ．a 1＝1
C ．S 8＝36
D ．a n ＝n
解：∵对任意的n ∈N *，a n +a n +1＝2n +1， ∴S 2＝2×1+1＝3，A 对；
S 8＝a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8＝（2×1+1）+（2×3+1）+（2×5+1）+（2×7+1）＝36，C 对； 又因为数列只给了一个递推关系式，没有给任何一项，故首项没法求解，BD 没法判断． 故选：AC ．
10．已知7名同学排成一排，下列说法正确的是（ ）
A ．甲不站两端，共有A 51A 66
种排法
B ．甲、乙必须相邻，共有A 55A 22种排法
C ．甲、乙不相邻，共有A 52A 55种排法
D ．甲不排左端，乙不排右端，共有A 77−2A 66+A 55种排法
解：根据题意，依次分析选项：
对于A ，甲不站两端，则甲A 51种排法，剩下6人全排列即可，共有共有A 51A 66种排法，A 正确； 对于B ，甲、乙必须相邻，将甲乙看成一个整体，与其他5人全排列，有A 52A 66种排法，B 错误； 对于C ，甲、乙不相邻，将其他5人排好，将甲乙插入到其空位中，有A 62A 55种排法，C 错误；
对于D ，用排除法分析：7人全排列，有A 77种排法，其中甲在左端有A 66种排法，乙在右端有A 66种排
法，甲在左端且乙在右端的排法有A 55种，则有A 77−2A 66+A 55种排法，D 正确；
故选：AD ．
11．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，A （﹣1，0，0），B （1，2，﹣2），C （0，0，﹣2），则（ ） A ．OC →
⋅AB →
=3
B ．点B 到平面AO
C 的距离是2 C ．异面直线OC 与AB 所成角的余弦值为√34
D ．点O 到直线AB 的距离是
√6
3
解：在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，
A （﹣1，0，0），
B （1，2，﹣2），
C （0，0，﹣2），O （0，0，0）， OC →=（0，0，﹣2），AB →=（2，2，﹣2），OC →⋅AB →
=4，故A 错误； OA →=（﹣1，0，0），OB →=（1，2，﹣2），OC →
=（0，0，﹣2）， 设平面AOC 的法向量n →
=（x ，y ，z ），
则{n →
⋅OA →
=−x =0n →
⋅OC →=−2z =0
，取y ＝1，得n →=（0，1，0）， ∴点B 到平面AOC 的距离是d =|OB →⋅n →
|
|n →|
=2，故B 正确；
OC →=（0，0，﹣2），AB →
=（2，2，﹣2）， 设异面直线OC 与AB 所成角为θ，
则异面直线OC 与AB 所成角的余弦值为：cos θ=
|OC →⋅AB →
||OC →
|⋅|AB →
|
=
212
=√33，故C 错误； AO →
=（1，0，0），AB →
=（2，2，﹣2），
∴点O 到直线AB 的距离是d ＝|AO →
|•√1−[cos ＜AO →
，AB →
＞]2=1•√1−(
AO →⋅AB →
|AO →
|⋅|AB →
|
)2=√1−(
2√12
)2
=√6
3
，故D 正确．
故选：BD ．
12．已知椭圆C ：x 24+y 2
b
2=1(b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P(√2，1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，
椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（ ） A ．离心率e 的取值范围为(0，
√2
2
) B ．当e =
√2
4
时，|QF 1|+|QP |的最大值为4+√6
2
C ．存在点Q ，使得QF 1→
•QF 2→
=0
D ．1
|QF 1|+1
|QF 2|
的最小值为1
解：对于A 项：因为点P(√2，1)在椭圆内部，所以24+1
b
2＜1，得2＜b 2＜4，
所以得：e =c a =√c 2a 2=√1−b 2a
2=√1−b
2
4∈(0，√22)，故A 项正确；
对于B 项：由椭圆定义知|QF 1|+|QP |＝4﹣|QF 2|+|QP |，
当Q 在x 轴下方时，且P ，Q ，F 2三点共线时，|QF 1|+|QP |有最大值4+|PF 2|， 由e =
√2
4=c
2，得c =√22，F 2(√22，0)，所以得|PF 2|=√(√2−√22)2+1=√62
， 所以|QF 1|+|QP |最大值4+
√6
2
，故B 项正确；
对于C 项：设Q （x ，y ），若QF →
1⋅QF 2→
=0，即：（﹣c ﹣x ，﹣y ）•（c ﹣x ，﹣y ）＝0， 则得x 2+y 2＝c 2，即点Q 在以原点为圆心，半径为c 的圆上， 又由A 项知：e =
c
a ∈(0，√22
)，得c =ea =∈(0，√2)，
又因为2＜b 2＜4，得b ∈(√2，2)，
所以得：c ＜b ，所以该圆与椭圆无交点，故C 项错误； 对于D 项：由椭圆定义得|QF 1|+|QF 2|＝2a ＝4， 所以
1|QF 1|
+
1|QF 2|
=
1
4
⋅(1|QF 1|+1|QF 2|)(|QF 1|+|QF 2|) =14(2+|QF 2||QF 1|+|QF 1||QF 2|)≥1
4(2+2√|QF 2||QF 1|×|QF 1||QF 2|
)=1， 当且仅当|QF 1|＝|QF 2|＝2时取等号，故D 项正确． 故选：ABD ．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→
=a AB →
+2b AD →
+3c A 1A →
，则abc ＝ −1
6
．
解：由平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，
则AC 1→
=AB →
+AD →
+AA 1→
，与AC 1→
=a AB →
+2b AD →
+3c A 1A →
比较，
可得：a ＝1，2b ＝1，3c ＝﹣1．解得a ＝1，b =12，c =−13，则abc =−1
6．
故答案为：−1
6
．
14．设双曲线C ：x 2a 2−y 2
b
2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为2，P 是C 上一点，
且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为3，则双曲线的方程为 x 2−y 2
3
=1 ． 解：不妨设P 在双曲线左支上，|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝m +2a ，
∵F 1P ⊥F 2P ， ∴S △PF 1F 2=
m(m+2a)
2
=3①，且m 2+（m +2a ）2＝（2c ）2②， 又∵离心率为2，∴c
a
=2③；
解①②③得a ＝1，c ＝2，则b =√3．
∴双曲线方程为x 2
−y 23=1． 故答案为：x 2−y 23
=1． 15．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）的“曼哈顿距离”为d （A ，B ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|，已知动点N 在圆x 2+y 2＝16上，定点M （4，5），则M ，N 两点的“曼哈顿距离”的最大值为 9+4√2 ．
解：根据题意，动点M 在圆x 2+y 2＝16上，设M 的坐标为（4cos θ，4sin θ），
则M ，N 两点的“曼哈顿距离”d （M ，N ）＝|4﹣4cos θ|+|5﹣4sin θ|，
又由M （4，5），﹣4≤4cos θ≤4，﹣4≤4sin θ≤4，
则d （M ，N ）＝|4﹣4cos θ|+|5﹣4sin θ|＝9﹣4（sin θ+cos θ）＝9﹣4√2sin （θ+π4
）≤9+4√2， 当θ=5π4
时，等号成立，即M ，N 两点的“曼哈顿距离”的最大值为9+4√2． 故答案为：9+4√2．
16．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网．如图，是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形的四条边的三等分点上．设外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的面积为a 1＝1，往里第二个正方形A 2B 2C 2D 2的面积为a 2，往里第n 个正方形A n B n ∁n D n 的面积为a n ．则
数列{a n }的通项公式为 a n =(59)n−1 ．已知{b n }满足b 1a 1+b 2a 2+⋯+b n a n
=2n 2﹣n （n ∈N *），则数列{b n }的最大项的值为 259
．
解：设第n 个正方形的边长为c n ，则c 1＝1，每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，
∴A 2B 1=23c 1，B 1B 2=13
c 1，∠A 2B 1B 2=90°， ∴A 2B 2=√A 2B 12+B 1B 22=√49a 12+19a 12=√53a 1，即c 2=√53
c 1， 同理可得c n+1=√53c n ，即数列{c n }是首项为1，公比为√53
的等比数列，
∴第n 个正方形的面积为a n =c n 2=(59
)n−1； ∵{b n }满足b 1a 1+b 2a 2+⋯+b n a n
=2n 2﹣n （n ∈N *）， ∴
b n+1a n+1=2(n +1)2−(n +1)−(2n 2−2n)=4n +1=4（n +1）﹣3， 又
b 1a 1=2×12−1=1=4×1−3， ∴b n a n
=4n −3(n ∈N ∗)⇒b n =(4n −3)⋅(59)n−1（n ∈N *）， b n+1−b n =(4n +1)(59)n −(4n −3)(59)n−1=16(2−n)9⋅(59
)n−1， ∴b 1＜b 2＝b 3＞b 4＞b 5＞…＞b n ＞…，
∴数列{b n }的最大项的值为b 2=
259
． 故答案为：a n =(59)n−1；259． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{a n }满足a 1=12，a 3=58
，且数列{2n a n }是等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设b n =2n−3(2n+1)a n
，求数列{b n }的前n 项和S n ． 解：（1）已知数列{a n }满足a 1=12，a 3=58
，且数列{2n a n }是等差数列， 因为{2n
a n }是等差数列，设其公差为d ，则有d =23a 3−2a 12=8×58−12=2， 所以2n a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，所以a n =
2n−12n ； （2）因为b n =2n−3(2n+1)a n =(2n−3)2n (2n+1)(2n−1)=2n+12n+1−2n 2n−1
， 所以S n =(43−2)+(85−43)+(167−85)+⋯+(2n 2n−1−2n−12n−3)+(2n+12n+1−2n 2n−1)=2n+12n+1−2． 18．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AA 1C 1C 边长为4的正方形，AB ＝3，BC ＝5．
（1）求证：AA 1⊥平面ABC ；
（2）求二面角A 1﹣BC 1﹣B 1的余弦值；
解：（1）证明：因为四边形AA 1C 1C 是正方形，则AA 1⊥AC ，
又平面ABC ⊥平面 AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，
所以AA 1⊥平面ABC ．
（2）因为AC ＝4，AB ＝3，则AC 2+AB 2＝BC 2，所以AB ⊥AC ，
以点A 为原点，AC →，AB →，AA 1→
的正方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图：
则A 1（0，0，4），B （0，3，0），B 1（0，3，4），C 1（4，0，4），
所以BC 1→=(4，−3，4)，BA 1→=(0，−3，4)，BB 1→
=(0，0，4)，
设平面A 1C 1B 的法向量为n →=(x ，y ，z)，
则{BC 1
→⋅n →=4x −3y +4z =0BA 1→⋅n →=−3y +4z =0
，令y ＝4，则x ＝0，z ＝3，
故平面A 1C 1B 的一个法向量n →=(0，4，3)，
设平面B 1C 1B 的法向量为m →=(a ，b ，c)，
则{BC 1
→⋅m →=4a −3b +4c =0BB 1→⋅m →=4c =0
，令a ＝3，则b ＝4，c ＝0，
故平面B 1C 1B 的一个法向量m →=(3，4，0)，
所以|cos(m →，n →)|=|m →⋅n →
||m →||n →|=165×5=1625， 由图可知二面角A 1﹣BC 1﹣B 1的平面角为锐角，
所以二面角A 1﹣BC 1﹣B 1的余弦值为1625
． 19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2
b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点为A 1，A 2，点G 是椭圆C 的上顶点，直线A 2G 与圆x 2+y 2=85相切，且椭圆C 的离心率为√32
． （1）求椭圆E 的方程；
（2）过点P （0，1）的直线l 交E 于M ，N 两点，若NP →=5PM →，求直线l 的方程．
解：（1）由c a =√32=√1−b 2
a 2，可得a ＝2
b ，①
由题意A 2（a ，0），G （0，b ），则l AG ：x a +y b
=1，即直线A 2G 的方程为：bx +ay ﹣ab ＝0， 又因直线A 2G 与圆x 2+y 2=85相切，则√a 2+b 2=√85
， 化简得：8a 2+8b 2＝5a 2b 2，②
联立①②，可解得a ＝2√2，b =√2，
所以椭圆E 的方程为：x 2
8+y 2
2=1；
（2）设过点P （0，1）的直线l 交E 于M （x ，y ），N （x 2，y 2） 两点，
①当直线l ⊥x 轴，则直线l 的方程为x ＝0，代入椭圆的方程，可得y ＝±√2，
设N （0，−√2），M （0，√2）， 则NP =1+√2，PM =√2−1，所以不满足题意，
②当直线l 斜率存在，设直线方程为y ＝kx +1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），
联立方程{y =kx +1
x 28+y 22
=1，整理可得：（1+4k 2）x 2+8kx ﹣4＝0； 因为Δ＝128k 2+16＞0，且x 1+x 2=−
8k 1+4k 2，③ x 1x 2=−
41+4k 2，④ 因为NP →=5PM →，则﹣x 2＝5x 1，⑤
③④⑤联立可得k ＝±1，
所以直线l 的方程为x ﹣y +1＝0或x +y ﹣1＝0．
20．（12分）在三棱锥A ﹣BCD 中，已知CB ＝CD =√5，BD ＝2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，
AO ＝2，E 为AC 的中点．点F 在BC 上，满足BF =14
BC ． （1）求点A 到平面DEF 的距离；
（2）求直线BD 与平面DEC 所成角的余弦值．
解：（1）连接 CO ，∵BC ＝CD ，BO ＝OD ，∴CO ⊥BD ，又AO ⊥平面BCD ，
以O 为原点，OB ，OC ，OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
则A （0，0，2），B （1，0，0），C （0，2，0），D （﹣1，0，0），
由E 为AC 的中点，知E （0，1，1），∴AE →
=(0，1，−1)，
设F ＝（x ，y ，z ），又BF =14BC ，知{x −1=−14y =2z =0，∴F(34，12
，0)， 则设平面DEF
一个法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，DE →=(1，1，1)，DF →=(74，12，0)， ∴{n 1⇀⋅DF ⇀=74x 1+12y 1=0n 1⇀⋅DE ⇀=x 1+y 1+z 1=0
，令y 1＝﹣7，∴n 1→=(2，−7，5)， ∴d A−DEF =|AE →|⋅|n 1→⋅AE →|
|n 1→|⋅|AE →|=|n 1→⋅AE →||n 1→|=4+49+25=2√7813， 所以点A 到平面DEF 的距离为2√7813
．
（2）设平面DEC 一个法向量为n 2→=(x 2，y 2，z 2)，DC →=(1，2，0)，DE →=(1，1，1)，
∴{n 2⇀⋅DC ⇀=x 2+2y 2=0n 2⇀⋅DE ⇀=x 2+y 2+z 2=0
，令y 2＝1，∴n 2→=(−2，1，1)，
又BD →=(−2，0，0)，设直线BD 与平面DEC 所成角为θ，
∴sinθ=cos〈BD →，n 2→〉=|n 2→⋅BD →|
|n 2→|⋅|BD →|=2×√4+1+1=√6
，∴cosθ=√1−sin 2θ=√33． 所以直线BD 与平面DEC 所成角的余弦值为√33
． 21．（12分）记数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，S n +S n +1＝3a n +1﹣4．
（1）求{a n }的通项公式；
（2）设b n ＝a n log 2a n ，记{b n }的前n 项和为T n ．若t （n ﹣1）2+2≤T n 对于n ≥2且n ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围．
解：（1）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，S n +S n +1＝3a n +1﹣4，①
则S n ﹣1+S n ＝3a n ﹣4，②
由①﹣②可得a n +a n +1＝3a n +1﹣3a n ，
即a n +1＝2a n ，（n ≥2），
又a 1+a 1+a 2＝3a 2﹣4，
即a 2＝4，
即a 2＝2a 1，
即a n +1＝2a n ，
即数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，
即a n =2n ；
（2）已知b n ＝a n log 2a n ，
则b n =n ⋅2n ，
又{b n }的前n 项和为T n ，
则T n =1×21+2×22+3×23+...+n ×2n ，③
则2T n =1×22+2×23+3×24+...+n ×2n +1，④
由③﹣④可得：
−T n =21+22+23+...+2n −n ×2n+1，
即T n =n ×2n+1−2(1−2n
)1−2=（n ﹣1）×2n +1+2， 又t （n ﹣1）2+2≤T n 对于n ≥2且n ∈N *恒成立，
则t （n ﹣1）≤2n +1对于n ≥2恒成立，
即t ≤2n+1n−1
对于n ≥2恒成立， 设c n =2n+1n−1
，n ≥2， 则c n+1c n =2n−2n =1+n−2n ≥1，当且仅当n ＝2时取等号，即c 2＝c 3＜c 4＜c 5＜...＜c n ， 又c 2＝8，
即数列{c n }的最小值为8，即t ≤8，
即实数t 的取值范围为（﹣∞，8]．
22．（12分）已知双曲线C ：x 2
a 2−y 2
b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点为A ，左焦点为F ，过点F 且斜率为1
的直线与C 的一条渐近线垂直，垂足为N ，且|FN |＝1．
（1）求C 的方程．
（2）过点M （﹣2，0）的直线交C 于P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）两点，直线AP ，AQ 分别交y 轴于点G ，H ，试问在x 轴上是否存在定点T ，使得TG ⊥TH ？若存在，求点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）因为FN 的斜率为1，且FN ⊥ON ，
所以−b a =−1，即a ＝b ，因为|FN |＝1，则∠NFO =π4
， 所以c =1cos π4
=√2，由c 2＝a 2+b 2，则a ＝b ＝1， 所以双曲线C 的方程为x 2﹣y 2＝1；
（2）设直线AP 的方程为y ＝k 1（x ﹣1），AQ 的方程为y ＝k 2（x ﹣1），
则G （0，﹣k 1），H （0，﹣k 2），设存在定点T （t ，0），使得TG ⊥TH ，
则TG →⋅TH →
=t 2+k 1k 2=0，所以t =±√−k 1k 2．
当PQ不垂直于x轴时，设直线PQ的方程为y＝k（x+2），
联立方程组{y=k(x+2)
x2−y2=1
，消去y得（1﹣k2）x2﹣4k2x﹣4k2﹣1＝0（k≠±1），
Δ＝16k4+4（1﹣k2）（4k2+1）＝12k2+4＞0，
所以x1+x2=
4k2
1−k2
，x1x2=
−4k2−1
1−k2
．
因为k1k2=
y1
x1−1
⋅
y2
x2−1
=
k2[x1x2+2(x1+x2)+4]
x1x2−(x1+x2)+1
，
所以k1k2=k2(−4k
2−1
1−k2
+8k
2
1−k2
+4)
−4k2−1
1−k2
−4k
2
1−k2
+1
=
3k2
−9k2
=−
1
3
，
所以t=±√−k1k2=±√3
3，即存在定点T(±√
3
3
，0)，使得TG⊥TH；
当PQ垂直于x轴时，直线PQ的方程为x＝﹣2，联立方程组{x=−2
x2−y2=1，
解得{x=−2
y=±√3
，设P(−2，√3)，由
|OG|
|PM|
=
1
3
，得|OG|=√
3
3
，
所以存在定点T(±√3
3
，0)，使得TG⊥TH；
综上，在x轴上存在定点T(±√3
3
，0)，使得TG⊥TH．。