云南省昆明市富民县第一中学2020年高二数学理联考试题含解析

云南省昆明市富民县第一中学2020年高二数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知数列{a n}，如果a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1，…，是首项为1，公比为的等比数列，则
a n=( )
A．（1﹣）B．（1﹣）C．（1﹣）D．（1﹣）
参考答案：
A
【考点】等比数列的性质．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】因为数列a1，（a2﹣a1），（a3﹣a2），…，（a n﹣a n﹣1），…，此数列是首项为1，公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式可得数列{a n}的通项．
【解答】解：由题意a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=
故选：A．
【点评】考查学生对等比数列性质的掌握能力，属于基础题．
2. 在如图所示的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中
点，
则异面直线AC和MN所成的角为
（）
A．30°B．45°
C．90° D．60° 参考答案：
D
略
3. 把复数的共轭复数记作，i为虚数单位，若，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
4. 已知命题使；给出下列结论：
①命题“”是真命题②命题“”是假命题
③命题“”是真命题；④命题“”是假命题
其中正确的是（）
A．②③B．②④C．③④D．①②③
参考答案：
A
5. 当时，下列不等式正确的是
A． B．
C． D．
参考答案：
C
略
6. 圆ρ=（cosθ+sinθ）的圆心的极坐标是（）
A．（1，）B．（，）C．（，）D．（2，）
参考答案：
C
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】先在极坐标方程ρ=（cosθ+sinθ）的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换化成直角坐标方程求解即得．
【解答】解：将方程ρ=（cosθ+sinθ）两边都乘以ρ得：ρ2=pcosθ+ρsinθ，
化成直角坐标方程为x2+y2﹣x﹣y=0．圆心的坐标为（，）．
化成极坐标为（1，）．
故选C．
7. 下列推理正确的是()
A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a y
B．把a(b＋c)与sin (x＋y)类比，则有sin (x＋y)＝sin x＋sin y
C．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a y
D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c
参考答案：
D
略
8. 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝，则在区间(－2，6)上关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0的解的个数为（）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
参考答案：B
【分析】
把原方程转化为与的图象的交点个数问题，由，可知的图象关于对称，再在同一坐标系下，画出两函数的图象，结合图象，即可求解．
【详解】由题意，原方程等价于与的图象的交点个数问题，
由，可知的图象关于对称，
作出在上的图象，再根据是偶函数，图象关于轴对称，结合对称性，
可得作出在上的图象，如图所示．
再在同一坐标系下，画出的图象，同时注意其图象过点，
由图可知，两图象在区间内有三个交点，从而原方程有三个根，
故选B．
【点睛】本题主要考查了对数函数的图象，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记对数函数的性质，合理应用函数的奇偶性，在同一坐标系内作出两函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用，属于中档试题．
9. 下列各组向量中不平行的是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
D
【考点】用向量证明平行．
【分析】判断两向量共线，利用共线向量定理，只需找到一个实数λ，使得=λ，另外零向量与任意向量平行，于是可得本题答案．
【解答】解：选项A 中，；
选项B 中有：
，
选项C 中零向量与任意向量平行，
选项D ，事实上不存在任何一个实数λ，使得，即：（16，24，40）=λ（16，24，40）．
故应选：D 10.
与
，两数的等比中项是( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知幂函数的图象过点，则__________。

参考答案：
12. 已知抛物线
的焦点为
，经过
的直线与抛物线相交于
两点，则以AB 为直径的圆
在
轴上所截得的弦长的最小值是。

参考答案：
13. 命题“
，
”的否定是 ．
参考答案：
14. 若tan
=3，则
的值等
于 ；
参考答案：
6
试题分析：
考点：三角函数的倍角公式与同角三角函数的商数关系
15. 已知两点A (1，－1)，B (3,3)，点C (5，a )在直线AB 上，则a ＝________. 参考答案： a ＝7
16. 我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：
，
，
，
，…．
按照以上规律，若
具有“穿墙术”，则n =_______．
参考答案：
120
，
，
，
，…．则按照以上规律
可得n=
17. 如图，扇形
的弧的中点为
，动点
分别在线段
上，且
若
，
，则
的取值范围是__ ▲ _．
参考答案：
【知识点】向量的减法运算，向量的数量积 【答案解析】
解析：解：设OC=x ，则BD=2x ，显然0≤x≤1，
=
.
【思路点拨】在向量的运算中通常把所求的向量利用向量的加法与减法转化为用已知向量表示，再进行解答.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，为上的点，且平面．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
参考答案：
证：（1）由题意可得是的中点，连接
平面，则，而，
∴是中点，在中，，∴平面. ………………………4分
（2）平面，∴，由题可得平面，∴平面是中点，是中点，∴且，
平面，∴，∴中，，
∴∴．. …………12分19. 已知，（），直线与函数、的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．
（Ⅰ）求直线的方程及的值；
（Ⅱ）若（其中是的导函数），求函数的最大值；
（Ⅲ）当时，求证：．
参考答案：
解：（Ⅰ）依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率
，所以直线的方程为．
又因为直线与的图像相切，所以由
，
得（不合题意，舍去）；
（Ⅱ）因为（），所以
．
当时，；当时，．
因此，在上单调递增，在上单调递减．
因此，当时，取得最大值；
（Ⅲ）当时，．由（Ⅱ）知：当时，，即．因此，有
略
20. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点F（﹣2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．参考答案：
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【分析】（1）由题意，得由此能够得到椭圆C的方程．
（2）设点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由
消y得，3x2+4mx+2m2﹣8=0，再由根的判断式结合题设条件能够得到m的值．
【解答】解：（1）由题意，得
解得∴椭圆C的方程为．
（2）设点A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），
由消y得，3x2+4mx+2m2﹣8=0，
△=96﹣8m2＞0，∴﹣2＜m＜2．
∴=﹣，
．
∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=1上，∴，∴．
21. （本小题满分12分）已知数列中，
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围。

参考答案：
22. （本小题满分12分）已知等差数列满足；（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
参考答案：。