初一数学培优专题五：最短距离问题

专题五：最短距离问题
类型一：作图问题
1、如图，在直线l 的同侧有两点A 、B 。

（1）在图（1）的直线上找一点P ，使PA=PB
（2）在图（2）的直线上找一点P ，使PA+PB 最短
（3）在图（3）的直线上找一点P ，使PA-PB 最大
2、如图，村庄A,B 位于一条小河的两侧，若河岸a,b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直桥CD 。

问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路径最近？
3、如图，在三角形ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠CAB ，N 点是AB 上的一定点，M 是AD 上一动点，要使MB+MN 最小，请找点M 的位置
４、（1）如图（1），在AB 直线一侧有C 、D 两点，在AB 上找一点P ，使C 、D 、P 三点组成的三角形周长最短，找出此点并说明理由。

（2）如图（2），在∠ＡＯＢ内部有一点P ，是否在OA ，OB 上分别存在点E 、F ，使得E 、F 、P 三点组成的三角形的周长最短，找出E 、F 两点，并说明理由。

（3）如图（3），在∠AOB 内部有两点M 、N 是否在OA ，OB 上分别存在点E 、F ，使得E 、F 、M 、N 四点组成的四边形的周长最短，找出E 、F 两点，并说明理由。

A B l A B l
A
B
l
图1图2图3
A
B
N A B C D
D C B y A n A n A n
B y B
y P M o
N e O O
类型二、计算问题
５、如图，已知正六边形ABCDEF 的边长为2，G 、H 分别是AF 和CD 的中点，P 是GH 上的动点，连接AP ，BP ，则AP+BP 的值最小时，BP 与HG 的夹角度数是多少？
类型三、作图、计算综合型问题
６、如图，在△ABC 的一边AB 上有一点P 。

（１）能否在另外两边AC 和BC 上各找一点M ，N ，使得△PMN 的周长最短？若能，请画出点M ，N 的位置，若不能，请说明理由。

（２）若∠ACB=52度，在（1）的条件下，求出∠ＭＰＮ的度数。

７、如图，已知∠ＡＯＢ，点P 是∠ＡＯＢ内部的一个定点，点E 、F 分别是OA ，OB 上的动点。

（１）要使得△ＰＥＦ的周长最小，试在图上确定E 、F 的位置。

（２）若OP=4，要使得△PEF 的周长的最小值为4，求∠ＡＯＢG a B y A n
C a
D e
E n
F P h H a A
B y
C a
P h
A
Ｐ
ＯＢ
８、如图，在∠P ＯＱ内部有两点M 、N ，∠MOP=∠ＮＯＱ．
（１）画图并简要说明画法：在射线OP 上取一点A，使点A 到点M 和点N 的距离和最小。

在射线ＯＱ上取一点B，使点B 到点M 和点N 的距离和最小。

（２）直接写出AM＋AN 与BM＋BN 的大小关系
９、如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠BAD＝１２０度，∠B＝∠D＝９０度，在BC、CD 上分别找一点M，N，使△AMN 周长最小。

求：∠AMN＋∠ＡＮＭ的度数
１０、如图，点P 是内任意一点，
，点M 和点N 分别是射线OA 和射线
OB
上的动点，周长的最小值是3cm ．（1）求∠AOB 的度数，并说明理由．
（2）若∠AOB=35度，∠MPN _________（直接写答案）
（3）当△MPN 周长最小值时，∠AOB 与∠MPN 的数量关系如何？
并说明理由．ＯＰＱＭ
Ｎ
ＡＣ
Ｂ
Ｄ。