2020-2021学年山西省运城市第三中学高一数学理上学期期末试题含解析

2020-2021学年山西省运城市第三中学高一数学理上学
期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在自然数集N中，被3除所得余数为r的自然数组成一个“堆”，记为[r]，即
，其中，给出如下四个结论：
④若属于同一“堆”，则不属于这一“堆”其中正确结论的个
数（）
A．1 B．2 C．3
D．4
参考答案：
C
解：①∵2011÷5=402…1，∴2011∈[1]，故①对；
②∵-3=5×（-1）+2，∴对-3?[3]；故②错；
③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故
Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③对；
④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a-b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-
b∈[0]”．故④对．
∴正确结论的个数是3．
故选C
2. 下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为
（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。

A（1）（2）（4） B、（4）（2）（3） C、（4）（1）（3） D、（4）（1）（2）
参考答案：
D
略
3. 为测量某塔的高度，在一幢与塔相距的楼顶处测得塔顶的仰角为
，测得塔基的俯角为，那么塔的高度是 ( )
A．B．C．
D．
参考答案：
A
略
4. 将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为( )
A．y=sin（x﹣） B．y=sin（2x﹣） C．y=sin x D．y=sin（x﹣）
参考答案：
D
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解，注意三角函数的平移原则为左加右减上加下减．
【解答】解：将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到的图象对应的解析式为y=sin（x﹣），
再将所得图象向左平移个单位，
则所得函数图象对应的解析式为y=sin[（x+）﹣]=sin（x﹣），
故选：D．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，属于基础题．
5. 下列等式中正确的是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
分析】
利用反三角函数对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】选项A,中x,而是错误的，所以该选项错误；
选项B, ,所以该选项是错误的；
选项C,，所以该选项是正确的；
选项D, ,反正切函数是定义域上的单调函数，所以该选项是错误的.
故选：C
【点睛】本题主要考查反三角函数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
6. 已知,，则等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
7. 设是等差数列的前n项和，,则的值为（）.
A． B． C． D．
参考答案：
A
8. 已知角α的终边上一点P的坐标为（sin，cos），若则α的值为
（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
根据特殊三角函数可以算出，根据任意三角函数值即可得出
【详解】由题意可得，因此在第四象限，所以排除ACD,选择B
【点睛】本题考查特殊三角函数值，任意三角函数值的计算，属于基础题。

9. 已知直线的斜率是，在轴上的截距是，则此直线方程是（）．A．B．C．
D．
参考答案：
A
解：∵直线的斜率为，在轴上的截距是，
∴由直线方程的斜截式得直线方程为，
即．
故选：．
10. 等比数列{a n}中，a1+a4+a7=3，a3+a6+a9=27，则数列{a n}前9项的和S9等于（）A．39 B．21 C．39或21 D．21或36
参考答案：
C
【考点】89：等比数列的前n项和．
【分析】根据等比数列的性质即可求出
【解答】解：等比数列{a n}中，a1+a4+a7=3，a3+a6+a9=27，
∴a2+a5+a8=9或a2+a5+a8=﹣9，
∴S9=3+9+27=39或S9=3﹣9+27=21，
故选：C．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若log a＜1（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是．
（0，）∪（1，+∞）
【考点】其他不等式的解法．
【专题】计算题；不等式的解法及应用．
【分析】把1变成底数的对数，讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果．
【解答】解：∵log a＜1=log a a，
当a＞1时，函数是一个增函数，不等式成立，
当0＜a＜1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a＜，
综上可知a的取值是（0，）∪（1，+∞），
故答案为：（0，）∪（1，+∞）．
【点评】本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是对于底数与1的关系，这里应用分类讨论思想来解题．
12. M={x|y=}，N={y|y=x2,x M},则M∩N=___________________
参考答案：
13. 如右图，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转．已知点P在1秒钟内转过的角度为θ(0＜θ＜π)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又恰好回到出发点A，则θ= ．
14. 已知点在角的终边上，则
．
参考答案：
∵，∴，
∴，，
∴．
15. （5分）幂函数y=f（x）过点（2，），则f（4）= ．参考答案：
2
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用待定系数法求出幂函数的表达式，即可得到结论．
解答：设幂函数y=f（x）=xα，
∵幂函数y=f（x）过点（2，），
∴f（2）=，
∴，即f（x）=，
则f（4）=，
故答案为：2
点评：本题主要考查幂函数的求值，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．
16. 若，，则___．
参考答案：
17. 函数的定义域是_____________．
参考答案：
(0,2)
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (14分)已知函数，
（1）证明函数的单调性；（2）求函数的最小值和最大值。

参考答案：
（1）设，则……2分
∴
……8分
∴∴上是增函
数……10分
（2）由（1）可知上是增函数，
∴当当……14分19. （12分）已知函数f（x）=log2（4x+1）+mx．
（Ⅰ）若f（x）是偶函数，求实数m的值；
（Ⅱ）当m＞0时，关于x的方程f（8（log4x）2+2log2+﹣4）=1在区间上恰有两个不同的实数解，求m的范围．
参考答案：
考点：对数函数的图像与性质；指数函数综合题．
专题：函数的性质及应用．
分析：（Ⅰ）根据f（x）是偶函数，建立方程关系即可求实数m的值；
（Ⅱ）利用对数函数的性质，利用换元法，转化为两个函数的交点问题即可得到结论．
解答：（Ⅰ）若f（x）是偶函数，则有f（﹣x）=f（x）恒成立，即：log2（4﹣x+1）﹣mx=log2（4x+1）+mx．
于是2mx=log2（4﹣x+1）﹣log2（4x+1）=log2（）﹣log2（4x+1）=﹣2x，
即是2mx=﹣2x对x∈R恒成立，
故m=﹣1．
（Ⅱ）当m＞0时，y=log2（4x+1），在R上单增，y=mx在R上也单增
所以f（x）=log2（4x+1）+mx在R上单增，且f（0）=1，
则f（8（log4x）2+2log2+﹣4）=1可化为f（8（log4x）2+2log2+﹣4）=f（0），又f（x）单增，得8（log4x）2+2log2+﹣4=0，
换底得8（）2﹣2log2x+﹣4=0，
即2（log2x）2﹣2log2x+﹣4=0，
令t=log2x，则t∈，问题转换化为
2t2﹣2t+﹣4=0在t∈，有两解，
即=﹣2t2+2t+4，
令y=﹣2t2+2t+4，
则y=﹣2t2+2t+4=﹣2（t﹣）2+，
∴当t=时，函数取得最大值，
当t=0时，函数y=4，
当t=时，函数取得最小值，
若方程f（8（log4x）2+2log2+﹣4）=1在区间上恰有两个不同的实数解，
则等价为4≤＜，
解得＜m≤1，
故求m的范围为＜m≤1．
点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数函数的应用，利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键．
20. （12=2+4+6）定义：对函数，对给定的正整数,若在其定义域内存在实数
,使得,则称函数为“k性质函数”。

（1）若函数为“1性质函数”，求
（2）判断函数是否为“k性质函数”？说明理由；
（3）若函数为“2性质函数”，求实数a的取值范围。

参考答案：
（1）+2
(2) 若存在满足条件，则
<0=不能为“k性质函数”。

（3）由条件得：,
化简得
当a=5时，
当a时，由
综上,a
21. （10分）已知集合A={x|x2﹣4mx+2m+6=0}，B={x|x＜0}，若A?B，求实数m的取值集合．
参考答案：
考点：集合的包含关系判断及应用．
专题：计算题；集合．
分析：由A?B讨论A是否是空集，从而求实数m的取值集合．
解答：∵A?B，
∴①当A=?时，方程x2﹣4mx+2m+6=0无解，
故△=16m2﹣8（m+3）＜0；
故﹣1＜m＜；
②当A≠?时，方程x2﹣4mx+2m+6=0为负根，
故，
解得，﹣3＜m≤﹣1；
综上所述，m∈（﹣3，）．
点评：本题考查了集合包含关系的应用，属于基础题．
22. （本小题满分12分）求和：S n＝(x＋)2＋(x2＋)2＋…＋(x n＋)2.
参考答案：
解析：当x＝±1时，∵(x n＋)2＝4，∴S n＝4n，
当x≠±1时，∵a n＝x2n＋2＋，
∴S n＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋(＋＋…＋)＝＋＋2n ＝＋2n，
所以当x＝±1时，S n＝4n；
当x≠±1时，S n＝＋2n.
略。