2015-2016年陕西省汉中市汉台中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2015-2016学年陕西省汉中市汉台中学高二（下）期中数学试卷
（理科）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）三段论是演绎推理的一般模式，推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是（）
A．①B．②C．③D．以上均错3．（5分）否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为（）A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c中至少有两个偶数
C．a，b，c都是偶数
D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
4．（5分）下列推理是归纳推理的是（）
A．A，B为定点，动点P满足|P A|+|PB|＝2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式
C．由圆x2+y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆+＝1的面积S＝πab
D．以上均不正确
5．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象最有可能的是（）
A．B．
C．D．
6．（5分）已知＝2，＝3，＝4，＝5，…
＝10，则推测a+b＝（）
A．1033B．109C．199D．29
7．（5分）已知二次函数y＝f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（）
A．B．C．D．
8．（5分）已知y＝x3+bx2+（b+2）x+3是R上的单调增函数，则b的取值范围是（）
A．b＜﹣1或b＞2B．b≤﹣2或b≥2C．﹣1＜b＜2D．﹣1≤b≤2 9．（5分）设函数f（x）＝xe x，则（）
A．x＝1为f（x）的极大值点B．x＝1为f（x）的极小值点
C．x＝﹣1为f（x）的极大值点D．x＝﹣1为f（x）的极小值点10．（5分）设函数y＝f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＞0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，已知f（x）＝x5﹣mx4﹣2x2在区间（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围为（）
A．（﹣∞，）B．[，5]C．（﹣∞，﹣3]D．（﹣∞，5]
11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）＝0，当x＞0时，有成立，则不等式x•f（x）＞0的解集是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
12．（5分）设函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）
A．[）B．[）C．[）D．[）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在答题卡相应题目的横线上．
13．（5分）已知复数z＝（3+i）2（i为虚数单位），则|z|＝．
14．（5分）（文）如图，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝﹣x+8，则f（5）+f′（5）＝．
15．（5分）已知函数f（x）＝﹣x3+3x2+9x+m在区间[﹣2，2]上的最大值是20，则实数m的值等于．
16．（5分）直线y＝a与函数f（x）＝x3﹣3x的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是．
三．解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）（1）求函数y＝（3x+2）3的导函数；
（2）求函数y＝x2lnx在x＝1处的切线方程．
18．（12分）设f（x）＝alnx++x+1，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f （1））处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
19．（12分）某地区预计从2015年初开始的第x月，商品A的价格f（x）＝（x2
﹣12x+69）（x∈N，x≤12，价格单位：元），且第x月该商品的销售量g（x）＝x+12（单位：万件）．
（1）商品A在2015年的最低价格是多少？
（2）2015年的哪一个月的销售收入最少，最少是多少？
20．（12分）已知函数f n（x）＝x3﹣（n+1）x2+x（n∈N*）数列{a n}满足a n+1＝f n′（a n），a1＝3．
（1）求a2，a3，a4；
（2）根据（1）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（3）求证：对一切正整数n，．21．（12分）已知a∈R，函数，g（x）＝（lnx﹣1）e x+x（其中e
为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x0∈（0，e]，使曲线y＝g（x）在点x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．
22．（10分）已知复数z＝（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i（m∈R），试求m为何值时，
（1）z为实数？
（2）z所对应的点落在第三象限？
23．选择适当的方法证明
（1）+＜3+；
（2）已知a，b，c＞0，求证：a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）≥6abc．
2015-2016学年陕西省汉中市汉台中学高二（下）期中数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：＝i（1+i）＝﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，
故选：B．
2．（5分）三段论是演绎推理的一般模式，推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是（）
A．①B．②C．③D．以上均错
【解答】解：将推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”改为三段论的形式，
大前提：②矩形是平行四边形；
小前提：②正方形是矩形；
结论：③正方形是平行四边形．
故选：B．
3．（5分）否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为（）A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c中至少有两个偶数
C．a，b，c都是偶数
D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
【解答】解：∵命题“自然数a、b、c中恰有一个偶数”
可得反设的内容是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
故选：D．
4．（5分）下列推理是归纳推理的是（）
A．A，B为定点，动点P满足|P A|+|PB|＝2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式
C．由圆x2+y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆+＝1的面积S＝πab
D．以上均不正确
【解答】解：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．
B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出S n的表达式，属于归纳推理，符合要求．
C选项由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆+＝1的面积S＝πab，用
的是类比推理，不符合要求．
故选：B．
5．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象最有可能的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：由y＝f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，
故函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；
当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y＝f（x）在区间（0，2）上单调递减；
故选：C．
6．（5分）已知＝2，＝3，＝4，＝5，…
＝10，则推测a+b＝（）
A．1033B．109C．199D．29
【解答】解：由给出的几个等式可以推测：，（n≥2且n是
正整数），
在，b＝102﹣1＝99，于是a+b＝109．
故选：B．
7．（5分）已知二次函数y＝f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（）
A．B．C．D．
【解答】解：根据函数的图象可知二次函数y＝f（x）图象过点（﹣1，0），（1，0），（0，1）
从而可知二次函数y＝f（x）＝﹣x2+1
∴它与X轴所围图形的面积为＝（）＝（﹣+1）﹣（﹣1）＝
故选：B．
8．（5分）已知y＝x3+bx2+（b+2）x+3是R上的单调增函数，则b的取值范围是（）
A．b＜﹣1或b＞2B．b≤﹣2或b≥2C．﹣1＜b＜2D．﹣1≤b≤2【解答】解：∵已知y＝x3+bx2+（b+2）x+3
∴y′＝x2+2bx+b+2，
∵y＝x3+bx2+（b+2）x+3是R上的单调增函数，
∴x2+2bx+b+2≥0恒成立，
∴△≤0，即b2﹣b﹣2≤0，
则b的取值是﹣1≤b≤2．
故选：D．
9．（5分）设函数f（x）＝xe x，则（）
A．x＝1为f（x）的极大值点B．x＝1为f（x）的极小值点
C．x＝﹣1为f（x）的极大值点D．x＝﹣1为f（x）的极小值点
【解答】解：由于f（x）＝xe x，可得f′（x）＝（x+1）e x，
令f′（x）＝（x+1）e x＝0可得x＝﹣1
令f′（x）＝（x+1）e x＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数
令f′（x）＝（x+1）e x＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数所以x＝﹣1为f（x）的极小值点
故选：D．
10．（5分）设函数y＝f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＞0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，已知f（x）＝x5﹣mx4﹣2x2在区间（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围为（）
A．（﹣∞，）B．[，5]C．（﹣∞，﹣3]D．（﹣∞，5]【解答】解：∵f（x）＝x5﹣mx4﹣2x2，
∴f′（x）＝x4﹣mx3﹣4x，
∴f″（x）＝x3﹣mx2﹣4．
∵f（x）＝x5﹣mx4﹣2x2在区间（1，3）上为“凹函数”，
∴f″（x）＞0．
∴x3﹣mx2﹣4＞0，x∈（1，3）．
∴，
∵在（1，3）上单调递增，
∴在（1，3）上满足：＞1﹣4＝﹣3．
∴m≤﹣3．
故选：C．
11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）＝0，当x＞0时，有成立，则不等式x•f（x）＞0的解集是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
【解答】解：设g（x）＝，
则g′（x）＝[]′＝＞0，即x＞0时是增函数，
当x＞1时，g（x）＞g（1）＝0，此时f（x）＞0；
0＜x＜1时，g（x）＜g（1）＝0，此时f（x）＜0．
又f（x）是奇函数，所以﹣1＜x＜0时，f（x）＝﹣f（﹣x）＞0；
x＜﹣1时f（x）＝﹣f（﹣x）＜0．
则不等式x•f（x）＞0等价为或，
即或，
即x＞1或x＜﹣1，
则不等式xf（x）＞0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
故选：A．
12．（5分）设函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）
A．[）B．[）C．[）D．[）【解答】解：设g（x）＝e x（2x﹣1），y＝ax﹣a，
由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y＝ax﹣a的下方，
∵g′（x）＝e x（2x﹣1）+2e x＝e x（2x+1），
∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，
∴当x＝﹣时，g（x）取最小值﹣2，
当x＝0时，g（0）＝﹣1，当x＝1时，g（1）＝e＞0，
直线y＝ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，
故﹣a＞g（0）＝﹣1且g（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1
故选：D．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在答题卡相应题目的横线上．
13．（5分）已知复数z＝（3+i）2（i为虚数单位），则|z|＝10．
【解答】解：复数z＝（3+i）2（i为虚数单位），则|z|＝|3+i||3+i|＝＝10．
故答案为：10．
14．（5分）（文）如图，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝﹣x+8，则f（5）+f′（5）＝2．
【解答】解：由题意，f（5）＝﹣5+8＝3，f′（5）＝﹣1
∴f（5）+f′（5）＝2
故答案为：2
15．（5分）已知函数f（x）＝﹣x3+3x2+9x+m在区间[﹣2，2]上的最大值是20，则实数m的值等于﹣2．
【解答】解：∵f（x）＝﹣x3+3x2+9x+m（m为常数）
∴f′（x）＝﹣3x2+6x+9
令f′（x）＝﹣3x2+6x+9＝0，解得x＝﹣1或3（舍去）
当﹣2＜x＜﹣1时，f'（x）＜0，
当﹣1＜x＜2时，f'（x）＞0
∴当x＝﹣1时取最小值，而f（2）＝22+m＞f（﹣2）＝2+m，
即最大值为22+m＝20，∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
16．（5分）直线y＝a与函数f（x）＝x3﹣3x的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是（﹣2，2）．
【解答】解：令f′（x）＝3x2﹣3＝0，
得x＝±1，
可求得f（x）的极大值为f（﹣1）＝2，
极小值为f（1）＝﹣2，
如图所示，当满足﹣2＜a＜2时，恰有三个不同公共点．
故答案为：（﹣2，2）
三．解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）（1）求函数y＝（3x+2）3的导函数；
（2）求函数y＝x2lnx在x＝1处的切线方程．
【解答】解：（1）y＝（3x+2）3的导函数y′＝3（3x+2）2•3＝81x2+108x+36；
（2）函数y＝x2lnx的导函数为y′＝2xlnx+x，
令y′＝2xlnx+x中x＝1，得切线的斜率k＝2ln1+1＝1，
令y＝x2lnx中x＝1，得y＝0，
可得切点为（1，0），
所以切线方程为y﹣0＝1（x﹣1）
即y＝x﹣1．
18．（12分）设f（x）＝alnx++x+1，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f （1））处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
【解答】解：（Ⅰ）求导函数可得
∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．
∴f′（1）＝0，∴，
∴a＝﹣1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（x＞0）
＝
令f′（x）＝0，可得x＝1或x＝（舍去）
∵0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数递减；x＞1时，f′（x）＞0，函数递增
∴x＝1时，函数f（x）取得极小值为3．
19．（12分）某地区预计从2015年初开始的第x月，商品A的价格f（x）＝（x2﹣12x+69）（x∈N，x≤12，价格单位：元），且第x月该商品的销售量g（x）＝x+12（单位：万件）．
（1）商品A在2015年的最低价格是多少？
（2）2015年的哪一个月的销售收入最少，最少是多少？
【解答】解：（1）∵f（x）＝（x2﹣12x+69）＝[（x﹣6）2+33]
∴当x＝6时，f（x）取得最小值，
即第6月的价格最低，最低价格为16.5元；…（4分）
（2）设第x月的销售收入为y（万元），依题意有y＝（x2﹣12x+69）（x+12）＝（x3﹣75x+828），…（6分）
∴y′＝（x+5）（x﹣5），…（8分）
∴当1≤x≤5时y′≤0，y递减；…（9分）
当5≤x≤12时y′≥0，y递增，…（10分）
∴当x＝5时，y最小，即第5个月销售收入最少．最低销售收入为289万元…
（12分）
答：2013年在第5月的销售收入最低．最低销售收入为289万元…（13分）20．（12分）已知函数f n（x）＝x3﹣（n+1）x2+x（n∈N*）数列{a n}满足a n+1＝f n′（a n），a1＝3．
（1）求a2，a3，a4；
（2）根据（1）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（3）求证：对一切正整数n，．
【解答】解：（1）由题意得，f n′（x）＝x2﹣（n+1）x+1 （1分）
∵a n+1＝f n′（a n），a1＝3，
∴a2＝f1′（a1）＝a12﹣2a1+1＝4，（2分）
a3＝f2′（a2）＝a22﹣3a2+1＝5，（3分）
a4＝f3′（a3）＝a32﹣4a3+1＝6；（4分）
（2）猜想a n＝n+2，用数学归纳法证明：
①当n＝1时，a1＝1+2＝3显然成立．（5分）
②假设当n＝k（k∈N+）时猜想成立，
则n＝k（k∈N+）时，a k＝k+2，（6分）
则当n＝k+（k∈N+）时，
a k+1＝f k′（a k）＝a k2﹣（k+1）a k+1＝（k+2）2﹣（k+1）（k+2）+1
＝k+3＝（k+1）+2
∴当n＝k+1时，猜想成立（8分）
由①②可知对一切n∈N+，a n＝n+2成立（9分）
（3）由（2）得，a n﹣2＝（n+2）﹣2＝n，
当n＝1时，；（10分）
当n＝2时，＝1+＝；（11分）
当n≥3时，
＝＜
＝
＝1++﹣＝﹣＜，
综上，对一切正整数n有结论成立．（14分）
21．（12分）已知a∈R，函数，g（x）＝（lnx﹣1）e x+x（其中e 为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x0∈（0，e]，使曲线y＝g（x）在点x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵，
∴
令f'（x）＝0，得x＝a．
①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在区间（0，e]上单调递增，此时函数f（x）无
最小值．
②若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单
调递减，
当x∈（a，e]时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e]上单调递增，
所以当x＝a时，函数f（x）取得最小值lna
③若a≥e，则f'（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，
所以当x＝e时，函数f（x）取得最小值．
．综上可知，当a≤0时，函数f（x）在区间（0，e]上无最小值；
当0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为lna；
当a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为．
（2）∵g（x）＝（lnx﹣1）e x+x，x∈（0，e]，
∴g'（x）＝（lnx﹣1）′e x+（lnx﹣1）（e x）′+1＝．由（1）可知，当a＝1时，．
此时f（x）在区间（0，e]上的最小值为ln1＝0，即．（10分）
当x0∈（0，e]，，，
∴．
曲线y＝g（x）在点x＝x0处的切线与y轴垂直等价于方程g'（x0）＝0有实数解．
（13分）
而g'（x0）＞0，即方程g'（x0）＝0无实数解．、故不存在x0∈（0，e]，使曲线y ＝g（x）在点x＝x0处的切线与y轴垂直．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．
22．（10分）已知复数z＝（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i（m∈R），试求m为何值时，
（1）z为实数？
（2）z所对应的点落在第三象限？
【解答】解：（1）z为实数，则虚部为0，即m2﹣2m﹣15＝0，解得m＝﹣3或m ＝5．
（2）∵z所对应的点落在第三象限，
∴，
解得：，
故m∈（﹣3，﹣2）．
23．选择适当的方法证明
（1）+＜3+；
（2）已知a，b，c＞0，求证：a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）≥6abc．
【解答】证明：（1）欲证+＜3+，
只需证（+）2＜（3+）2，即20+2＜20+6．
只需证＜3，即证．
只需证91＜99．
显然91＜99恒成立，
∴+＜3+．
（2）∵b2+c2≥2bc，a＞0，∴a（b2+c2）≥2abc．
同理可得：b（c2+a2）≥2abc，c（a2+b2）≥2abc，
∴a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）≥6abc．。