四川省攀枝花市第十二中学2015-2016学年高二3月调研检测数学(理)试题 含答案

市十二中2015-2016学年（下）3月调研检测
高二数学试题(理科)
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.在下列命题中，不是公理的是( )
A．平行于同一个平面的两个平面平行
B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
2．如图几何体中不是柱体的有( ）
A．1个B．2个C．3个
D．4个
3。

如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm,则原图形是（）A。

正方形 B. 矩形 C. 菱形D. 一般的平行四边形
4。

若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则( )
A. 过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
B. 过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
C. 过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D。

过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
5. 已知一个平面α,l为空间中的任意一条直线，那么在平面α内一定存在直线b使得（）
A。

l∥b B. l与b相交 C. l与b是异面直线
D. l⊥b
6。

如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、
D、C1的两个截面截去两
个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（)
7．某个几何体的三视图如图所示（其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆），则该几何体的表面积为（）
A．92＋24πB．82＋24π
C．92＋14πD．82＋14π
8. 已知两条直线m,n，两个平面α，β.给出下面四个命题：
①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；
②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n;
③m∥n,m∥α⇒n∥α；
④α∥β,m∥n，m⊥α⇒n⊥β.
其中正确命题的序号是（）
A. ①③B。

②④ C. ①④ D. ②③
9．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2AD,G为CC1中点，则直线A1C1与BG所成角的大小是( ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
10．已知正三棱柱ABC.A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等
于（)
A。

错误! B。

错误!C。

错误!D。

错误!
11.如图，在斜三棱柱ABC。

A1B1C1中,∠BAC＝90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在（）A．直线AB上B．直线BC上
C．直线AC上D．△ABC内部
12. 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中,BC＝AC,AC1⊥A1B,M,N 分别为A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1；②A1B⊥AM;③平面AMC1∥平面CNB1.其中正确结论的个数为（)
A。

0 B. 1
C. 2
D. 3
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．) 13．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为2,则输出的P值是________．
14．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中,若取出这个铁球，测
得容器的水面下降了错误!cm，则这个铁球的表面积为______ cm2。

15．将锐角A为60°，边长为a的菱形ABCD沿BD折成60°的二面角，则A与C之间的距离为________．
16．P为正方体ABCD－A1B1C1D1对角线BD1上的一点,且BP＝λBD1（λ∈(0,1））．下面结论：
①A1D⊥C1P；②若BD1⊥平面PAC，则λ＝错误!;
③若△PAC为钝角三角形，则λ∈错误!；④若λ∈错误!，则△PAC为锐角三角形．
其中正确的结论为________（写出所有正确结论的序号)．
三、解答题(本大题共6个小题,共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)
17．(本小题满分10分)
（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆锥的体积和圆柱的表面积．
18．(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1。

设AB1的中点为D,B1C∩BC1＝E.
求证：（1）DE∥平面AA1C1C；
（2)BC1⊥AB1。

19。

（本小题满分12分)
一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M、N分别是AF、BC的中点）．
（1）求证:MN∥平面CDEF；
（2）求多面体A－CDEF的体积．
20．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥S。

ABCD中，SA＝SB＝SC＝SD,底面ABCD是菱形,AC与BD交于O点。

（1）求证：AC⊥平面SBD；
（2）若E为BC中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的轨迹，并证明你的结论
21．(本小题满分12分）
由于当前学生课业负担较重,造成青少年视力普遍下降，现从某中学随机抽取16名学生，经校医
用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数
字为叶）如下：
（1)指出这组数据的众数和中位数；
(2）若视力测试结果不低于5。

0则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率;
(3）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ
的分布列及数学期望．
22．(本小题满分12分)
已知椭圆C：错误!＋错误!＝1(a>b〉0)的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为3∶1。

（1)求椭圆C的标准方程；
（2)设F为椭圆C的右焦点,T为直线x＝t(t∈R,t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q。

若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点），求t的值．
参考答案：
1．A 解析：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理．
2．C
O′D′＝2 3。

解析:将直观图还原得▱OABC,则
O′C′＝22（cm）,OD＝2O′D′＝4错误!（cm），C′D′＝O′C′＝2(cm），∴CD＝2（cm）, OC＝错误!＝错误!＝6（cm），
OA＝O′A′＝6(cm）＝OC，
故原图形为菱形．
答案：C
4。

解析:对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m,这与l，m异面矛盾;对于选项B，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线;对于选项C，过点P 与l、m都相交的直线有一条或零条；对于选项D，过点P与l、m 都异面的直线可能有无数条．答案:B
5。

解析：当l与平面α相交时，平面α内不存在
直线l满足l∥b,故A项错;当l∥α时，l与b平行或异面，故B项错；当l⊂α时,l与b平行或相交,故C项错；无论l与α的位置关系如何，在平面α内总存在直线b⊥l，故选D项．答案：D
6.解析：还原正方体,如图所示，由题意可知，该几何体的正视图是选项B。

7．C
8。

解析:对于①,由于两条平行线中的一条直线与一个平面垂直,则另一条直线也与该平面垂直，因此①是正确的；对于②，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但它们不一定平行，因此②是错误的；对于③,直线n可能位于平面α内，此时结论显然不成立，因此③是错误的；对于④，由m⊥α且α∥β得m⊥β,又m∥n，则n⊥β，因此④是正确的．故选C.
9．C
10．解析取A1C1的中点E,连接AE、B1E。

由题易知B1E⊥平面ACC1A1,
则∠B1AE为AB1与侧面ACC1A1所成的角．令正三棱柱侧棱长与底面边长为1,则sin∠B1AE＝错误!＝错误!＝错误!,故选A。

11。

解析由BC1⊥AC，BA⊥AC,得AC⊥平面ABC1，所以平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H必在直线AB上．答案
A
12。

解析：由于ABC－A1B1C1为直三棱柱,所以A1A⊥C1M。

由B1C1＝A1C1,M为A1B1的中点，得C1M⊥A1B1。

又AA1∩A1B1＝A1，所以C1M⊥平面A1ABB1,所以①正确．因为C1M⊥平面A1ABB1,所以C1M ⊥A1B。

又AC1⊥A1B，C1M∩AC1＝C1，所以A1B⊥平面AMC1，所以AM⊥A1B,所以②正确．由AM∥B1N，C1M∥CN,可得平面AMC1∥平面CNB1，所以③正确．故正确结论共有3个．答案：D 13．解析第一次循环，P＝1＋1＝2，S＝1＋错误!＝错误!；第二次循环,P＝2＋1＝3，S＝错误!＋错误!＝错误!；第三次循环,P＝3＋1＝4,S＝错误!＋错误!＝错误!>2，因此输出的P值为4。

答案4
14．解析设实心铁球的半径为R，则错误!R3＝π×102×错误!，得R＝5 cm,故这个铁球的表面积为S＝4πR2＝100π
（cm2）．答案100π
15．解析设折叠后点A到达A1点的位置，取BD的中点E,连接A1E、CE。

∴BD⊥CE，BD⊥A1E。

∴∠A1EC为二面角A1。

BD.C的平面角．∴∠A1EC＝60°，又A1E＝CE，∴△A1EC是等边三角形．
∴A1E＝CE＝A1C＝错误!a。

即折叠后点A与C之间的距离为错误!a。

答案错误!a
16．①②④
17．【解答】解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r,表面积为S,
底面半径为2母线长为4的圆锥的高为=2，体积为83
3
则圆柱的上底面为中截面,可得r=1
∴2,
∴圆柱的表面积为．
18证明（1）由题意知，E为B1C的中点,
又D为AB1的中点,因此DE∥AC。

又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C,
所以DE∥平面AA1C1C。

(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1。

又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1＝C，
所以AC⊥平面BCC1B1。

又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.
因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1⊥B1C。

因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1。

19.解：由三视图可知，AB＝BC＝BF＝2,DE＝CF＝2错误!，∠CBF＝错误!.（1）证明：取BF的中点G,连接MG、NG,由M、N分别为AF、BC的中点可得，NG∥CF，MG ∥EF，
∴平面MNG∥平面CDEF，又MN⊂平面MNG，
∴MN∥平面CDEF.
（2）取DE的中点H。

∵AD＝AE,∴AH⊥DE，
在直三棱柱ADE－BCF中,平面ADE⊥平面CDEF,平面ADE∩平面CDEF＝DE。

∴AH⊥平面CDEF。

∴多面体A－CDEF是以AH为高,以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中,AH＝错误!.S矩形CDEF＝DE·EF＝4错误!，∴棱锥A－CDEF 的体积为V＝错误!·S矩形CDEF·AH＝错误!×4错误!×错误!＝错误!. 20．（1）证明连接SO，∵底面ABCD是菱形,O为中心，
∴AC⊥BD.又SA＝SC,∴AC⊥SO。

而SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD。

（2)解如图,取棱SC中点M，CD中点N，连接MN，
则动点P的轨迹即是线段MN。

连接EM、EN，
∵E是BC的中点,M是SC的中点，
∴EM∥SB。

同理，EN∥BD,又EM∩EN＝E,∴平面EMN∥平面SBD，
∵AC⊥平面SBD，∴AC⊥平面EMN.
因此，当点P在线段MN上运动时，总有AC⊥EP;
P点不在线段MN上时，不可能有AC⊥EP.故点P的轨迹为△SDC 的中位线．
21．解（1）众数:4。

6和4.7；中位数:4。

75.
（2)设A i表示所取3人中有i个人是“好视力",至多有1人是“好视力”记为事件A，则
P(A)＝P（A0)＋P（A1)＝错误!＋错误!＝错误!.
（3)一个人是“好视力”的概率为错误!，ξ的可能取值为0、1、2、3。

P（ξ＝0)＝错误!错误!＝错误!,P（ξ＝1）＝C错误!错误!×错误!错误!＝错误!,P(ξ＝2)＝C错误!错误!错误!×错误!＝错误!,P(ξ＝3)＝错误!错误!＝错误!。

ξ的分布列为
ξ0123
E(ξ）＝0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＝0。

75。

22．解（1)由已知可得错误!解得a2＝6，b2＝2。

∴椭圆C的标准方程是错误!＋错误!＝1。

(2）由（1）可得，F点的坐标是（2，0）．
设直线PQ的方程为x＝my＋2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，
得错误!消去x,得(m2＋3)y2＋4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8（m2＋3）>0.
设P（x1，y1),Q（x2,y2),则y1＋y2＝错误!,y1y2＝错误!。

于是x1＋x2＝m（y1＋y2)＋4＝错误!。

设M为PQ的中点，则M点的坐标为错误!.
∵TF⊥PQ，所以直线FT的斜率为－m，其方程为y＝－m(x－2)．当x＝t时，y＝－m（t－2），所以点T的坐标为（t,－m（t－2)），此时直线OT的斜率为错误!,其方程为y＝错误!x，
将M点的坐标错误!代入上式，得错误!＝错误!·错误!.解得t＝3。