2020-2021学年中考数学陪优专题专题26 分而治之

专题26 分而治之
——分类讨论
阅读与思考
在解决某些数学问题的时候，需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准，分成若干类，然后逐类讨论，才能得出正确的解答，这种解题方法称为分类讨论法．
运用分类讨论法解题的关键是如何正确进行分类．正确分类的标准是：对所讨论的全体分类要“既不重复，又不遗漏”；在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；对于多级讨论，应逐级进行．初中数学分类讨论问题的常见形式有：
1．一些定义、定理、公式和法则有范围或条件的限制，在使用过程中必须讨论；
2．题设条件中含有变量或参数时，必须根据变量或参数的不同取值进行讨论；
3．一些问题的图形位置或形状不确定时，只有通过讨论，才能保证结论的完整性；
4．一些问题的条件没有明确给出或结论不唯一时，只有通过讨论，才能保证解答的严密性；
5．对于自然数问题，有时须按剩余类分类讨论．
例题与求解
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是．（北京市宣武区中考试题）
解题思路：圆与斜边只有一个公共点，则圆与斜边相切或圆与斜边相交．
【例2】解方程：｜x－2｜+｜x+3｜=x+10．
解题思路：解绝对值方程的关键是去方程左边的绝对值符号，这就要对x的取值范围进行分类讨论．需分下列三种情况：①x≤－3；②－3＜x≤2；③x＞2．
【例3】若关于x的方程(6－k)(9－k)x2－(117－15k)x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有___________．（全国初中数学竞赛试题）
解题思路：用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k的值才能全面而准确．
【例4】如图，已知△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上（与点A ，C 不重合），Q 在BC 上．
(1)当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长； (2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长；
(3)试问：在AB 上是否存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ 的长． （福州市中考试题）
解题思路：对于(3)，使△PQM 为等腰直角三角形有两种情况：一是以PQ 为直角边，二是以PQ 为斜边．
【例5】证明：每个大于6的自然数n 都可表示为两个大于1且互质的自然数之和．（全国初中数学联赛试题）
解题思路：由于自然数可分为奇数、偶数两大类，因此，很容易考虑到按奇数、偶数分类讨论．
【例6】设a 和b 是相异实数，证明：存在整数m 和n ，使得0>+bn am ，0<+an bm ． （加拿大中学生竞赛试题）
解题思路：a ，b 为相异实数，则必有a －b>0或a －b<0两种情况．
能力训练
1．已知a+b=－8，ab=8，化简
b a b
a a
b ． （内江市中考试题）
2．已知实数a ，b 满足以a2－7a+2=0，a2－7b+2=0，则
b a
a b +的值为 ． （淮阴市中考试题）
3．在△ABC 中过A 作△ABC 的高，垂足为D ．若∠BAD=55°，∠CAD=25°，则∠BAC= ． 4．在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B （2，－3），点P 在y 轴上，且△APB 为直角三角形，则点P 的个数为 ．（河南省竞赛诚题）
5．平面上A，B两点到直线l的距离分别是2－3与2+3，则线段中点C到直线l的距离是．
6．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆圆周上的一点，且OC2=AC·BC，则∠CAB= ．（全国初中数学联赛试题）
7．如图，在两直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=6，AD=2．当AB= 时，这两个直角三角形相似．
A
B E
第7题图第10题图第11题图
8．已知方程m2x2－(2m－3)x+1=0的两个实数根的倒数和是S，则S的取值范围是．（天津市中考试题）
9．关于x的方程x2+4mx+ 4m2+2m+3=0，x2+(2m+1)x+m2=0中，至少有一个方程有实数根，则m 的取值范围是( )
A．－3
2＜m＜－
1
4B．m≤－
3
2或m≥－
1
4
C．－1
4＜m＜2
1
D．m≤－
3
2或m≥2
1
（四川省选拔赛试题）
10．如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横纵方向相邻的两个点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中4个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形，图中以A，B为顶点，面积为2的阵点平行四边形的个数为( )
A．3个B．6个C．7个D．9个
（武汉市四月调考试题）11．如图，矩形ABCD中，AB=7，AD=3，BE=2EC，若F是AB上的点，使以F，A，D为顶点的三角形和以F，B，E为顶点的三角形相似，则这样的点F有( ) （绍兴市竞赛试题）A．1个B．2个C．3个D．4个
12．下面是某同学在一次测验中解答的填空题：
①若x2=a2，则x=a．
②方程2x(x－1)=x－1的解为x=0．
③若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边长为 5 ．
其中答题完全正确的题目个数为( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
（重庆市中考试题）
13．在半径为5cm 的圆内有长为53 cm 的弦，则此弦所对的圆周角为( )
A ．60°或120°
B ．30°或120°
C ．60°
D ．120°
14．如图，在直角梯形ABCD 中，AB=7，AD=2，BC=3．如果边AB 上的点P 使得以P ，A ，D 为顶点的三角形和以P ，B ，C 为顶点的三角形相似，那么这样的点P 有 ( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
B A
B
C
A
D
第14题图 第15题图
15．如图，菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程x2+(2m －1)x +m2+3=0的根，则m 的值为 ( ) A ．－3 B ．5或－3 C ．5 D ．－5或3
（吉林省中考试题）
16．已知：关于x 的函数()
()41
12322+
++++=x a x a a y 的图象与x 轴总有交点，求a 的取值范
围．
（十堰市中考试题）
17．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y
轴上，点B 的坐标为(2，2)，反比例函数
x k
y =
（x>0，k ≠0）的图象经过线段BC 的中点D ．
(1) 求k 的值；
(2) 若点P(x ，y)在该反比例函数的图象上运动（不与点D 重合），过点P 作PR ⊥y 轴于点R ，作PQ ⊥BC 所在直线于点Q ，记四边形COPR 的面积为S ，求S 关于x 的解析式并写出x 的取值范围．
y
x
D
O
B
C
A
18．已知△ABC中，BC=6 cm，CA=8 cm，∠C=90°，动点P从点C出发，以每秒1 cm的速度沿CA，AB运动到B点．
(1)设P从C开始运动的距离为x cm，△BCP的面积为y cm2，把y表示成x的函数；
(2)从C出发几秒时，S△BCP=
1
4S△ABC? （荆州市中考试题）
19．如图，已知⊙O1与⊙O2外切于点O，以直线O1O2为x轴，点O为坐标原点建立直角坐标系，直线AB切⊙O1于点B，切⊙O2于点A，交y轴于点C(0，2)，交x轴于点M；BO的延长线交⊙O2于点D，且OB：OD=1：3．
(1) 求⊙O2的半径长；
(2) 求直线AB的解析式；
(3) 在直线AB上是否存在点P，使△MO2P与△MOB相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
（吉林省中考试题）
y
x
C
M
A
O
O1O2
B
D
20．已知抛物线l1：y=ax2－2amx+am2+2m+1(a>0，m>0)的顶点为A，抛物线l2的顶点B在y轴上，且抛物线l1和抛物线l2关于点P(1，3)成中心对称．
(1) 当a=1时，求l2的解析式和m的值；
(2) 设l2与x轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值．
（浙江省竞赛试题）21．已知定理：“若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是整数n的倍数，”
试问：上述定理中的整数n的最大可能值是多少？并证明你的结论．
（全国初中数学联赛试题）
22．如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c都是平方数（即整数的平方），证明：
(1) 2a，2b都是整数；
(2) a，b，c都是整数，并且c是平方数．
反过来，如果(2)成立，是否对一切x的整数值，ax2+bx+c的值都是平方数？
（全国初中数学竞赛试题）
23．2 007个质点均匀分布在半径为R的圆周上，依次记为P1，P2，P3，…，P2007．小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第i个质点，则下次就涂第i个质点后面的第i个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂色方案；若不能，请说明理由，、
（浙江省竞赛试题）
24．甲、乙、丙三支乒乓球队，人数都不相同，每队不少于2人，甲队最少，丙队最多．同一球队的队员互相不比赛，不同球队的队员之间都要比赛一场．统计员作了记录：参加比赛的共有13人，进行的比赛共有54场．求甲、乙、丙三支球队的队员数，并说明理由．（江苏省竞赛试题）。