高三数学易错平面向量多选题 易错题难题测试提优卷

高三数学易错平面向量多选题 易错题难题测试提优卷
一、平面向量多选题
1．已知a ，b 是平面上夹角为
23
π
的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（ ）
A ．||1a
b += B ．||3a b -=
C ．||3<c
D ．a b +，c 的夹角是钝角
【答案】ABC 【分析】
在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23
AOB π
∠=
，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ． 由向量加法和减法法则判断选项A 、B ． 【详解】 对于A ：(
)
2
222+2||+cos
13
a b a b
a b a b π
+=
+=⨯⨯=，故A 正确； 对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23
AOB π
∠=
，则2
222+c 3
2os
3AB O OA O A O B B π
-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ，
c OC =的最大值为13
+
32
2
2+A b B O MC a M +=
=
+<，故C 正确； a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误． 故选：ABC ．
【点睛】
思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出
OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．
2．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线x y e =和ln y x =上的动点，记12,I AQ AB I BP BA =⋅=⋅，则下列命题不正确的是（ ） A ．若12I I =，则()PQ AB R λλ=∈ B ．若12I I =，则AP BQ = C ．若()PQ AB R λλ=∈，则12I I = D ．若AP BQ =，则12I I =
【答案】ABD 【分析】
作出两个函数的图象，利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义分析可得答案. 【详解】
根据题意，在直线AB 上取点,P Q '
'
，且满足||||AP BQ ''=，过,P Q '
'
分别作直线AB 的
垂线，交曲线x
y e =于1P ，2P ，交曲线
ln y x =于12,Q Q ，在曲线x
y e =上取点3P ，使13||||AP AP =，如图所示：
1||||cos I AQ AB AQ AB QAB =⋅=⋅∠，令||cos ||AQ QAB AQ '∠=，则1||||I AQ AB '=⋅，
2||||cos I BP BA BP BA PBA =⋅=⋅∠，令||cos ||BP PBA BP '∠=，则2||||I BP BA '=⋅，
若||||AP BQ ''=，则||||AQ BP ''=，
若12I I =，则||||AQ BP ''=即可，此时P 可以与1P 重合，Q 与2Q 重合，满足题意，
但是()PQ AB R λλ=∈不成立，且||||AP BQ ≠，所以A 、B 不正确；
对于选项C ，若PQ AB =λ，此时P 与1P 重合，且Q 与1Q 重合，或P 与2P 重合，且
Q 与2Q 重合，所以满足12I I =，所以C 正确；
对于D ，当P 与3P 重合时，满足13||||AP AP =，但此时3P 在直线AB 上的投影不在P '
处，因而不满足||||AQ BP ''=，即12I I ≠，所以D 不正确. 故选：ABD 【点睛】
关键点点睛：利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义求解是解题关键.
3．设向量(1,1)a =-，(0,2)b =，则（ ） A ．||||a b = B ．()a b a -∥
C ．()a b a -⊥
D ．a 与b 的夹角为
4
π 【答案】CD 【分析】
根据平面向量的模､垂直､夹角的坐标运算公式和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果. 【详解】 对于A ，(1,1)a =-，(0,2)b =，2,2a b ∴==，a b ∴≠，故A 错误； 对于B ，
(1,1)a =-，(0,2)b =，()=1,1a b ∴---，又(0,2)b =，则
()12100-⨯--⨯≠，()a b ∴-与b 不平行，故B 错误；
对于C ，又()
()()11110a b a -⋅=-⨯-+-⨯=，()a b a ∴-⊥，故C 正确；
对于D ，又cos ,22
a b a b a b
⋅<>=
=
=
⋅，又a 与b 的夹角范围是[]0,π，a ∴与b 的夹角为
π
4，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】
关键点点睛：本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.
4．已知向量(2,1),(3,1)a b ==-，则（ ） A ．()a b a +⊥
B ．|2|5a b +=
C ．向量a 在向量b
D ．向量a 的单位向量是55⎛ ⎝⎭
【答案】ABD 【分析】
多项选择题需要要对选项一一验证: 对于A:利用向量垂直的条件判断；
对于B:利用模的计算公式； 对于C:利用投影的计算公式； 对于D:直接求单位向量即可． 【详解】
(2,1),(3,1)a b ==-
对于A: (1,2),()(1)2210,a b a b a +=-+⋅=-⨯+⨯=∴()a b a +⊥，故A 正确；
对于B:
222(2,1)2(3,1)(4,3),|2|(4)35a b a b +=+-=-∴+=-+=，故B 正确；
对于C: 向量a 在向量b 上的投影是2210
||(3)1a b b ⋅==--+，故C 错误；
对于D: 向量a 的单位向量是255,⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，故D 正确．
故选：ABD ． 【点睛】
多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
5．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O ､G ､H 分别是ABC 的外心､重心､垂心，且M 为BC 的中点，则（ ）
A ．0GA G
B G
C ++= B ．24AB AC HM MO +=- C ．3AH OM =
D ．OA OB OC ==
【答案】ABD 【分析】
向量的线性运算结果仍为向量可判断选项A ；由12GO HG =
可得2
3
HG HO =，利用向量的线性运算()
266AB AC AM GM HM HG +===-，再结合HO HM MO =+集合判断选项B ；利用222AH AG HG GM GO OM =-=-=故选项C 不正确，利用外心的性质可判断选项D ，即可得正确选项. 【详解】
因为G 是ABC 的重心，O 是ABC 的外心，H 是ABC 的垂心， 且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以1
2
GO HG =
， 对于选项A ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =， 又因为2GB GC GM +=，所以GB GC AG +=，即0GA GB GC ++=，故选项A 正确；
对于选项B ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =，
3AM GM =，因为12GO HG =
，所以2
3
HG HO =， ()
226663AB AC AM GM HM HG HM HO ⎛⎫
+===-=- ⎪⎝⎭
()
646424HM HO HM HM MO HM MO =-=-+=-，即24AB AC HM MO +=-，
故选项B 正确；
对于选项C ：222AH AG HG GM GO OM =-=-=，故选项C 不正确； 对于选项D ：设点O 是ABC 的外心，所以点O 到三个顶点距离相等，即
OA OB OC ==，故选项D 正确；
故选：ABD. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件12GO HG =得2
3
HG HO =，利用向量的线性运算结合2AG GM =可得出向量间的关系.
6．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =
B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22
()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足2
2
2
a b
a b +=+，则a 与b 垂直
D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2
π
【答案】CD 【分析】
对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出
()
()()
2
2
2
a b a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题
是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2
π
，所以该命题是真命题. 【详解】
对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()(
)
2
2
2
2
2cos cos a b
a b a b α
α⋅==，而()()
2
2
2
2
a b
a b ⋅=，
由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2
cos 1α≠，所以()()()2
2
2
a b a b ⋅≠⋅，
所以该命题是假命题；
对于C ，若非零向量a 、b 满足2
2
2
a b
a b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以
0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；
对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2
π
，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.
7．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是
PAB △的重心，E ，F 分别为,BC PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==，则下列说法正确的是（ ） A ．EG PG ⊥ B ．EG BC ⊥ C ．//FG BC D ．FG EF ⊥ 【答案】ABD 【分析】
取,,PA a PB b PC c ===，以{},,a b c 为基底表示EG ，FG ，EF ，结合向量数量积运算性质、向量共线定理即可选出正确答案. 【详解】
如图，设,,PA a PB b PC c ===，则{},,a b c 是空间的一个正交基底， 则0a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，取AB 的中点H ，则22111()33233
PG PH a b a b =
=⨯+=+， 1121111
,3333333EG PG PE a b b c a b c BC c b =-=+--=--=-，
1111
3333
FG PG PF a b b a =-=+-=，
11
21133
333EF PF PE b c b c b ⎛⎫=-=-+=-- ⎪⎝⎭，
∴0EG PG ⋅=，A 正确；0EG BC ⋅=，B 正确；()FG BC R λλ≠∈，C 不正确；
0FG EF ⋅=，D 正确.
故选:ABD.
【点睛】
本题考查了平面向量共线定理，考查了由数量积求两向量的位置关系，考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题.
8．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BC
C ．a b ⊥
D ．()
6a b BC +⊥
【答案】ABD 【分析】
求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()
6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=
，则1
13
a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC a
b AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正
确；
对于C 选项，21123cos 0333
a b AB BC π
⋅=
⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()
22
60a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，
()6a b BC +⊥，D 选项正确.
故选：ABD. 【点睛】
本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.
二、立体几何多选题
9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且
2
2
EF =
.则下列结论正确的是（ ）
A ．三棱锥A BEF -的体积为定值
B ．当E 向1D 运动时，二面角A EF B --逐渐变小
C ．EF 在平面11ABB A 内的射影长为
12
D ．当
E 与1D 重合时，异面直线AE 与B
F 所成的角为π4
【答案】AC 【分析】
对选项分别作图，研究计算可得. 【详解】
选项A:连接BD ,由正方体性质知11BDD B 是矩形，
11122
12224
BEF S EF BB ∆∴=
⋅=⨯=
连接AO 交BD 于点O
由正方体性质知AO ⊥平面11BDD B ,
所以，AO 是点A 到平面11BDD B 的距离，即2
AO =
11221
3312
A BEF BEF V S AO -∆∴=⨯==
A BEF V -∴是定值.
选项B:
连接11A C 与11B D 交于点M ，连接11,AD AB ， 由正方体性质知11AD AB =,M 是11B D 中点，
AM EF ∴⊥ ,又1BB EF ⊥,11//BB AA
A EF
B ∴--的大小即为AM 与1AA 所成的角，
在直角三角形1AA M 中，12
tan 2
MAA ∠=为定值. 选项C:
如图，作1111,,,FH A B EG A B ET EG ⊥⊥⊥ 在直角三角形EFT 中，221
cos 452
FT EF =⨯=⨯=
12HG FT ∴== 选项D:
当E 与1D 重合时，F 与M 重合，连接AC 与BD 交于点R ，连接1D R ,1//D R BM 异面直线AE 与BF 所成的角,即为异面直线1AD 与1D R 所成的角, 在三角形1AD R 中，22111132,2AD D R MB BB M B =
==+=
2
AR =
由余弦定理得1cos AD R ∠= 故选：AC 【点睛】
本题考查空间几何体性质问题.
求解思路：关键是弄清(1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．
求空间几何体体积的思路：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法；若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.
10．在边长为2的等边三角形ABC 中，点,D E 分别是边,AC AB 上的点，满足//DE BC 且
AD AC
λ=，（()01λ∈，），将ADE 沿直线DE 折到A DE '△的位置.在翻折过程中，
下列结论不成立的是（ ）
A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '
B ．存在102λ∈⎛⎫
⎪⎝⎭
,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDE
C ．若1
2
λ=
，当二面角A DE B '--为直二面角时，||A B '=
D ．在翻折过程中，四棱锥A BCD
E '-体积的最大值记为()f λ，()f λ【答案】ABC 【分析】
对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得
//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，即可判断出结论.
对于B ，102λ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭
,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，即
可判断出结论. 对于C ，1
2
λ=
，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，可得AM ⊥平面
BCDE .可得A B '=.
对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积
()
31
3
BCDE f S λλλ=⋅=-，()01λ∈，，利用导数研究函数的单调性即可得出.
【详解】
对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得
//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，如图所示，
则可得FN 平行且等于BG ，即四边形BGNF 为平行四边形，
∴//NG BE ，而GN 始终与平面ACD 相交，
因此在边A E '上不存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '，A 不正确.
对于B ，102λ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭
,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此B 不正确.
对于C.12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示：
可得AM ⊥平面BCDE ，
则22223111010()1()21cos120222A B AM BM '=
+=++-⨯⨯⨯︒=≠，因此C 不正确；
对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅=-，()01λ∈，，()213f λλ'=-，可得3λ=()f λ取得最大值()31231339
f λ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因此D 正确. 综上所述，不成立的为ABC.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，
属于难题.。