双减背景下初高中数学衔接讲座

高考
你看看：（2010高考）
21.（本小题满分 14 分） 设 A（ x1, y1 ），B（ x2 , y2 ）是平面直角坐标系 xOy 上的
两点，现定义由点 A 到点 B 的一种折线距离
P（A,B）为 (A, B)
x 2
x1
y2
y1
对于平面
xOy
上给定的不同的两点
A（
x1,
y1 ）B（
x 2
【高中练习示例】
已知动点 P（x,y）满足： (x 2)2 y2 (x 2)2 y2 6
求点 P 的轨迹方程。 本题的实质：化简该方程。
结果是： x2 y2 1 ，化简后马上就可以知道，点 P 的轨迹是椭圆。 95
【高一前应掌握练习】
【例 1】化简：（1） 1 ；（2） 3 2 ；（3） n 2 n2 4 n 2 n2 4 (n 2) ．
总结：学习内容
文/理必修： 数学1、数学2、数学3、数学4、数学5
文必选： 选修1-1、选修1-2
理必选： 选修2-1、选修2-2、选修2-3
文/理选选：——高考附加题(3选1) 选修4-1、选修4-4、选修4-5
二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？
（一）知识方面的衔接(预习之前应该做的事情)
a2
a2 3
a2 2 2 a2 3
又b2 a2 2a 2 1
1 1 2 5 a2 3 5 a 6
2 2a 2 1 3 4
22
2
【高一前应掌握练习】
【例 1】已知函数 y 2x 3 ．（1）将它化为 y a b （a,b 为常数）的形式；
x 1
x 1
（2）画出函数的图象，并说明当 x≥－2 时，y 的取值范围．
总体要求
工作目标
学校教育教学质量和服务水平进一步提升，作业布置更加科学 合理，学校课后服务基本满足学生需要，学生学习更好回归校 园，校外培训机构培训行为全面规范。学生过重作业负担和校 外培训负担、家庭教育支出和家长相应精力负担1年内有效减轻、 3年内成效显著，人民群众教育满意度明显提升。
本质
双减”指要有效减轻义务教育阶段学生 过重作业负担和校外培训负担。“双减” 工作的总体目标分为两个方面。在校内 方面，使学校教育教学质量和服务水平 进一步提升，作业布置更加科学合理， 学校课后服务基本满足学生需要，学生 学习更好回归校园。
一、高中，我们将要学习哪些内容？
（高中数学课程框架）
● 必修模块： ● 选修系列：
● 必修课程 (包括5个模块)
• 数学1： 集合、函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数）。
• 数学2： 立体几何初步、 平面解析几何初步 。
• 数学3： 算法初步、统计、概率。
• 数学4： 基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换。
（一）知识方面的衔接
4．二次根式 高中阶段，我们在学习函数、解析几何、数列等内容时，涉及 到大量的与二次根式有关的计算． 【初中】了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则， 会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化)． 【高中】会学习有理指数幂及运算。 【建议】根据需要，我们应掌握最简二次根式、同类根式的概 念与运用，分子(母)有理化，简单的无理方程（不等式）．
a
的取值范围；
| x 2 | 2 0
（2）不等式组 1
x2
0
的所有解都满足不等式| x 1|| x a | （a＜1），求 a
的取值范围．
二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？
（一）知识方面的衔接
2．整式 整式的变形是重要的代数式的恒等变形，也是高中 数学中极其常见的运算． 【初中】要求了解整式的概念，会进行简单的整式加、 减运算，乘法运算（ 其中的多项式相乘仅指一次式相乘）； 会利用平方差、完全平方公式进行简单计算；会用提公因式 法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数 是正整数）． 【高中】不再学习整式．
【高中练习示例】
【例
1】判断：函数
f
(x)
2x 2x
1 是奇函数还是偶函数。 1
本题的实质是：比较 2 x 1 与 2x 1 是相等，还是互为相反数。 2x 1 2x 1
【高中练习示例】
【例
2】(理科)椭圆 x 2 a2
y2 b2
1 a ＞ b ＞ 0与直线 x
y
1交于 P 、 Q 两点，
练习：将 y x 2 3x 5 化为 y mx n p 的形式．
x 1
cx d
【例 2】解方程
x
1
2
4x x2
4
x
2
2
1．
【例 3】（1）已知 a b 0 ，求证： 1 1 ．（2）已知 x 0，求证： x 1 2 ．
ab
x
【例 4】解下列不等式：
3x 1 1 ； 3 x
x2 2
x12
x1 x2
( x2 2
)2
3x2 2 4
= (x1
x2 )2 2
3x22 4
0 ，（由于 x1
x2 ，所以不能取等号）
∴ y1 y2 0 ，即 y1 y2 ．
【高一前应掌握练习】
【例 1】分解因式：
（1） 3x2 8x 3 ；（2） x2 5xy 6 y 2 ； （3） 2x2 7xy 6 y 2 2x y 12 ． 【例 2】比较 a2 b2 c2 与 ab bc ca 的大小． 【例 3】把多项式 x3 x2 2x 2 表示成 a(x 1)3 b(x 1)2 c(x 1) d 的形式． 问题 2：对于任意实数 x，下列不等式都成立吗？为什么？
2
3 2
n 2 n2 4 n 2 n2 4
【例 2】化简：（1）
11 2 18 ．（2）
x2
1 x2
2(0
x
1)
．
【例 3】解方程：
（1） x2 5x 1 2x 1 0 ；
（2） 2x 4 x 5 1；
（3） 2x2 3x 5 2x2 3x 9 3 0 ．
【例 4】不等式 2 x x 的解集是（ ）．
【建议】 1、乘法公式
（1）立方和公式： (a b)(a 2 ab b2 ) a3 b3 ；
（2）立方差公式： (a b)(a 2 ab b2 ) a3 b3 ；
（3）三数和平方公式：
(a b c)2 a 2 b2 c2 2ab 2bc 2ac ；
（4）两数和立方公式： (a b)3 a3 b3 3a 2b 3ab2 ；
解：∵函数 y=x3 的图象经过点 (x1, y1 ) 与 (x2 , y2 ) ，∴ y1 x13 ， y2 = x23 ． ∴ y1 y2 x13 x23 = (x1 x2 )( x12 x1x2 x2 2 ) ，
∵ x1 x2 ， ∴ x1 x2 0 ．
又 x12
x1 x2
选修1-2：
统计案例、 推理与证明、 数系的扩充与复数的引入、框图。
▲系列2：由3个模块组成(理科)
选修2-1：
常用逻辑用语、 圆锥曲线与方程、 空间中的向量与立体几何。
选修2-2：
导数及其应用、 推理与证明、 数系的扩充与复数的引入。
• 选修2-3：
计数原理、统计案例、概率。
▲系列3：由6个专题组成(高考不考)
x2 3x 2 0 ． x2 2x 3
问题 3：下列是一个同学觉得比较简单的题，请大家试试，你能全对吗：
①当 x 1时， 1 的范围是
；②当 x 1时， 1 的范围是
；
x
x
③当 x 1时， 1 的范围是
；④当 x 1时， 1 的范围是
．
x
x
二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？
总体要求
工作原则
坚持学生为本、回应关切，遵循教育规律，着眼学生身心健康成长，保障学生 休息权利，整体提升学校教育教学质量，积极回应社会关切与期盼，减轻家长 负担；坚持依法治理、标本兼治，严格执行义务教育法、未成年人保护法等法 律规定，加强源头治理、系统治理、综合治理；坚持政府主导、多方联动，强 化政府统筹，落实部门职责，发挥学校主体作用，健全保障政策，明确家校社 协同责任；坚持统筹推进、稳步实施，全面落实国家关于减轻学生过重学业负 担有关规定，对重点难点问题先行试点，积极推广典型经验，确保“双减”工 作平稳有序。
• 数学5： 解三角形、数列、不等式。
● 选修课程
• 系列1,由2个模块组成(文科)， • 系列2,由3个模块组成(理科), • 系列3,由6个专题组成(高考不考), • 系列4,由10个专题组成(部分内容高考)。
▲系列1：由2个模块组成(文科) 选修1-1：
常用逻辑用语、 圆锥曲线与方程、 导数及其应用。
x2 80x 2010 0
二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？
（一）知识方面的衔接
3．分式 【初中】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行 约分和通分，会进行简单的分式加、减、 乘、除运算；会解 可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）； 能确定分式函数的自变量取值范围，并会求出函数值． 【高中】不再学习。高二选修中，有少量分式不等式的学习。 【建议】接触更复杂的分式运算（如分式拆分，分式乘 方）；解可化为一元二次方程的分式方程．
【高中练习示例】
问题1： 解不等式|x-1|<|x&#解关于 x 的不等式：|x－2|＜1.
【例 2】解下列方程或不等式：
（1） | x 1| | x 2 | 5 ．（2）| x 1| | x 2 | 5 ．
【例
3】（1）不等式组
| x | 2 x a
恰好有三个正整数解，求
且 OP
OQ ，其中 O 为坐标原点．（1）求
1 a2
1 b2
的值；（2）若椭圆的离
心率 e 满足 3 ≤ e ≤ 2 ，求椭圆长轴的取值范围．
3
2
本题第（2）问的实质是：已知
1 1 =2， a2 b2 c2 a2 b2
3c 2 3a2
求 a 的取值范围。
解 c2 1 b2 1 1 b2 1 1 b2 2 ,
,
y2
）
（1） 若点 C（x,y）是平面 xOy 上的点，试证明 p（A,C）+p（C,B）≥p（A,B）
（2） 若平面 xOy 上是否存在点 X（x,y），同时满足
① p（A,C）+p（C,B）=pA,B）；②p（A,C）= p（C,B）
若存在，请求出。
本题考了： （1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣； （2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣.
双减背景下 初高中数学衔接讲座
前 言
2021年7月，中共中央办公厅、国务院 办公厅印发了《关于进一步减轻义务教 育阶段学生作业负担和校外培训负担的 意见》
总体要求
指导思想
全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，着眼建设高质 量教育体系，强化学校教育主阵地作用，深化校外培训机构治理， 坚决防止侵害群众利益行为，构建教育良好生态，有效缓解家长 焦虑情绪，促进学生全面发展、健康成长。
（5）两数差立方公式： (a b)3 a3 b3 3a 2b 3ab2 ．
2、因式分解的新方法：
思考：分解因式：x3-3x+2
（1）分组分解法；（2）十字相乘法；（3）求根法；（4）待定系数法．
【高中练习示例】 求证：函数 y=x3 是增函数。 本题实质是：
已知函数 y=x3 的图象经过点 (x1, y1 ) 与 (x2 , y2 ) ，且 x1 x2 ，求证： y1 y2 ．
• 选修3-1：数学史选讲。 • 选修3-2：信息安全与密码。 • 选修3-3：球面上的几何。 • 选修3-4：对称与群。 • 选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类。 • 选修3-6：三等分角与数域扩充。
▲系列4：由10个专题组成。 • 选修4-1：几何证明选讲。 • 选修4-2：矩阵与差分。 • 选修4-3：数列与差分。 • 选修4-4：坐标系与参数方程。 • 选修4-5：不等式选讲。 • 选修4-6：初等数论初步。 • 选修4-7：优选法与试验设计初步。 • 选修4-8：统筹法与图论初步。 • 选修4-9：风险与决策。 • 选修4-10：开关电路与布尔代数。
1．绝对值 绝对值的概念始出现于初一数学课本，它是数学重要 概念之一，贯穿于整个初等数学的始终，并随着知识的发展， 不断深化．2010年广东省的最后一题便是一道绝对值不等式 的问题。 【初中】借助数轴理解绝对值的意义，并会求有理数 的绝对值（绝对值符号内不含字母）． 【高中】含绝对值不等式在选修系列4—5不等式选 讲． 【建议】含字母的绝对值，简单的含绝对值的方程 （不等式）的解法．