华农概率论与数理统计考试卷

华农概率论与数理统计考试卷
.
4．设总体2(0,)X N σ，1X ，2X ，3X ，4
X 为该总体的一个样本，则统计量
212234()()X X Y X X +=-服从
分布. 5．某单因素方差分析表的结果如下表：
则F 值为 .
三．（10分）设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区的总人数比为2：5：3，而三个地区感染此病的比例分别为6%，4%，3%.现从这三个地区任意抽取一个人，问（1）此人感染此病的概率是多少？（2）如果此人感染此病，此人选自乙地区的概率是多少？
四．（12分）设随机变量的分布密度为：
1
()
0,1
x
f x
x
<
=
≥
⎩
当
当
求：（1）11
-
22
p X
⎛⎫
<<
⎪
⎝⎭
；（2）分布函数()
F x
五．（8分）设随机变量X的分布函数为
(),,
1
x
x
Be
F x A x
e
=+-∞<<+∞
+
求：（1）常数A与B的值；（2）
X的概率密度函数().
f x
六.（12分）设随机变量(,)
X Y的联合分布密度函数是
34,0,0
(,)
0,
x y
ke x y
f x y
--
⎧≥≥
=⎨
⎩其他
，
求：（1）k的值；（2）判断X和Y是否独立；（3）()1
P X Y
+≥.
七．（8分）设有十只同种电器元件，其中有两只废品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品，则重新任取一只；若仍是废品，则仍再任取一只. 求在取到正品之前，已取出的废品数的期望和方差.
八．(10分)设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取26位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分.问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程.
九．（10分）设12,,,n X X X 为总体X 的一个样本，X
的密度函数为 (1),01()0,
x x f x ββ⎧+<<=⎨⎩其他， 其中0β>，求参数β的矩估计量和极大似然估计量.
华南农业大学2007第一期概率统计试卷标准
答案
一. 选择题（'
53⨯=15分） 1. D 2.B 3. B 4. C 5.A
二. 填空题（'
53⨯=15分） 1．2
4
3e -或0.1804； 2．2(1)1Φ-或0.7； 3/2(1)n α-；
4．2(10)n χ； 5．3.0202；
三. (10分)
解 设B ＝{此人感染此病}，
A 1，A 2，A 3分别表示此人选自甲、乙、丙
三个地区…………………1分
由已知，有1()0.2P A =，2()0.5P A =，3
()0.3P A =， 1()0.06
P B A =，2()0.04P B A =，3()0.03P B A =…………………2分
（1）由全概率公式有 112233()()()()()()()
0.20.060.50.040.30.030.041
P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯+⨯+⨯=…………………3分
（2）由贝叶斯公式有
112()()0.20.0612()0.2927.()0.04141P A P B A P A B P B ⨯===≈………………
…3分
答：从三个地区任意抽取一人，感染此流行病的概率为0.041；若已知此人染病，此人来自乙地区的概率约为0.2927. ……………………………………1分
四.(12分)
解
(1) 11-22p X ⎛⎫<< ⎪⎝⎭
=1201
212121arcsin 3x ππ-==⎰ …………………4分
（2
）当x <-1时 ()00x F X dx -∞==⎰………………………………………1分 当11x -≤<时
11
11
()0arcsin arcsin 12x x
F x dx x x ππ--∞-=+==+-⎰⎰………
……3分
当x 1≥时
11111111()00arcsin 122x F x dx dxdx x
π--∞--=+==+=⎰⎰⎰…………
…3分
故X 分布函数为
0,111()arcsin ,11
21,1x F x x x x π
<-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≤⎪⎩……………………………1分
五（16分）
解
（1）()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰ ……………………………………………2分 当0x <时，
(,)0f x y =，从而()X f x ＝
0. ………………………………………1分
当0x ≥时
03434300()(,)0123()3x y x y x
X f x f x y dy dy e dy e e e +∞
+∞----+∞--∞-∞==+=-=⎰⎰⎰
…3分
33,0()0,0x X e x f x x -⎧≥=⎨<⎩ ……………
………………………1分
同理
44,0()0,0y Y e y f y y -⎧≥=⎨<⎩ ……………
………………………2分
（2）由（1）求出的两个边缘密度函数表达式可知，对于一切x ，y ，有
(,)()()X Y f x y f x f y =
则可证明X 与
Y 相互独立. ……………………………………………………3分
（
3）2
100(01,02)(,)P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰ …………………
…………2分 2100()()Y X f y dy f x dx =⋅⎰⎰
21
430021
438300432.x x x x e dy e dx e e e e ------=⋅=--=--⎰⎰ …………………
…2分
六.（10分）
解 令X 表示取到正品之前已经取出的废品的数，则X 的可能取值为0，1，2，
……
………………………………1分
X 的分布律为
8
{0}10P X ==，
288{1}10945P X ==⋅=，
2181{2}109845
P X ==⋅⋅=， ………………………………………………3分
所以88120121045459EX =⨯+⨯+⨯=， ………………………
…………2分
2222881401210454515EX =⨯+⨯+⨯= ……………………
……………2分
224488().1581405DX EX EX =-=-= ……………………
…………2分
七．（10分）
解 设该次考试的考生成绩为X ，则2(,)X N μσ，把从X 中抽取的容量为n =26的样本均值记为X ，样本标准差为S .本题是在显著水平0.05α=下
检验假设
01:70,:70.H H μμ=≠ 由于2σ未知，用
t 检验法. ……………………………………………3分
当
H 0为真时，统计量
/2(1)T t n α=≥-，……………………………3分 由0.02526,66.5,15,(25) 2.060n X S t ====算得 1.19 2.060T =<，所
以统计量T 未落入拒绝域中，从而接受H 0，即在显著水平0.05下，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分. ……………………………………………4分
八．（12分）
解
()101(1)2
E X x x dx ββββ+=+=+⎰ (3)
分 由
()12X E X ββ+==+知矩估计量为1ˆ21X β=-- ………………………2分
()1(1),010,n n i i i x x L βββ=⎧+<<⎪=⎨⎪⎩
∏其它 ………………………………………2分
()1ln ln(1)ln n i
i L n x βββ==++∑ ………………………
…………………1分
令
()1ln ln 01n i i L n x βββ=∂=+=∂+∑ ………………………………………
…2分
故
极大似然估计量为
11ln n i i n x
β=-=-∑ …………………………………2分。