2022-2023学年河南省驻马店市高二上学期第三次联考数学试卷含答案

2022~2023年度高二年级第三次联考
数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．椭圆2
239x y +=的短轴长为（
）．
A ．3
B ．6
C D ．2．圆22:9M x y +=与圆22:430N x y y +-+=的位置关系为（
）．
A ．相离
B ．外切
C ．内切
D ．相交
3．已知数列{}n a 的前n 项和1
n S n
=，则3a =（）．
A ．
1
3B ．112
-
C ．16
-
D ．1
2
-
4．在正四面体ABCD 中，F 是AC 的中点，E 是DF 的中点，若DA a = ，DB b = ，DC c =
，则BE = （
）．
A ．1144
a b c
-+
B ．
1122
a b c -+
C ．1144
a b c
++
D ．1122
a b c
++
5．已知两条平行直线1:210l x y -+=，2:0l ax y b -+=，则a b -=（
）．
A ．
3
2
B ．
52
C ．3
D ．4
6．已知数列{}n a 满足11n n a a l +=+，且11a =，22a =，则{}n a 的通项公式n a =（）．
A ．n
B ．1
2
n -C ．
32
n n
-D ．
23n
-
7．已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>上的点到焦点的最小距离为1，且C 与直线y =无交点，则
a 的取值范围是（
）．A ．)+∞
B ．[)1,+∞
C ．[]
1,2D ．2⎤
⎦
8．如图，圆锥的轴截面SAB 是正三角形，O 为底面圆的圆心，D 为SO 的中点，点C 在底面圆的圆周上，且
ABC △是等腰直角三角形，则直线CD 与AS 所成角的余弦值为（
）．
A ．
4
B ．
23
C ．
14
D ．
14
9．已知直线10y x -+=与圆2
2
1x y +=相交于点A ，B ，点P 为圆上一动点，则ABP △面积的最大值是（）．
A ．
1
2
+B ．
12
+C D ．
12
10．已知1F ，2F 分别是双曲线22
:144
x y C -=的左、
右焦点，P 是C 上位于第一象限的一点，且120PF PF ⋅= ，则12PF F △的面积为（）．
A ．2
B ．4
C ．
D ．11．已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，N 为C 上一点，且N 在第一象限，直线FN 与C 的准线交于点M ，
过点M 且与x 轴平行的直线与C 交于点P ，若2MN NF =
，则直线PF 的斜率为（
）．
A ．1
B ．2
C ．
4
3
D 12．《瀑布》（图1）是埃舍尔为人所知的作品．画面两座高塔各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）．埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，定义这三个正方形()1,2,3n n n n A B C D n =的顶点为“框架点”
，定义两正方形的交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为n P ，n Q ，将极点1P ，1Q 分别与正方形2222A B C D 的顶点连线，取其中点记为m E ，()1,2,3,4m F m =，如图3．埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成的，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，在图4中构造了其中两个四棱锥11122A PE P E -与22131A P E P F -，则直线12Q B 与平面122A E P 所成角的正弦值为（
）．
A ．
63B ．223
C ．
6
2
D ．
23
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．过点()3,5P --，且斜率为2的直线的一般式方程为______．
14．在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE CF ⋅=
______．
15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1
0a >且
549
11
a a =，当n S 取最大值时，n 的值为______．16．历史上第一位研究圆锥曲线的数学家是梅纳库莫斯（公元前375年~公元前325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质．如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l '表示与椭圆C 的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C 的中心在坐标原点，1F ，2F 分别为其左、右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P （点P 在第一象限），过点P 且与切线l 垂直的法线l '与x 轴交于点Q ，若直线2PF 的斜率为2，2PQ QF =，则椭圆C 的离心率为______
．
三、解答题：本题共6小题，共70
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）
已知抛物线C 的顶点在原点，焦点坐标为()2,0F ．
（1）求C 的标准方程；（2）若直线24y x =-与C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
18．（12分）
已知等差数列{}n a 满足361a a +=，697a a +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}
n a 的前n 项和n T ．19．（12分）
如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，E ，F ，N 分别为AB ，BD ，BC 的中点，点G 在EN 上，
BC CD ==
4AB BD AD ===．
（1）证明：FG ∥平面ACD ．
（2）求平面EFN 与平面ABC 的夹角的余弦值．20．（12分）
已知直线:20l kx y k -+=与圆()()2
2
:124C x y -+-=交于A ，B 两点．
（1）若圆心C 到直线l 的距离为
2
，求k 的值．（2）是否存在过点19,44D ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线l '垂直平分弦AB ？若存在，求出直线l '与直线l 的交点坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）
在几何体ABCDEFGH 中，底面ABCD 是边长为6的正方形，EAB △，FBC △，GCD △，HDA △均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD 垂直．P 是线段GF 上的动点，
FP FG l =
．
（1）若1
3
l =
，求三棱锥B EFP -的体积；（2）若平面AEH ⊥平面BEP ，求l 的值．
22．（12分）
已知椭圆()22
22:10x y M a b a b
+=>>上任意一点P 到椭圆M 两个焦点1F ，2F 的距离之和为4，且12F PF ∠的
最大值为120°．
（1）求椭圆M 的标准方程；
（2）设A ，B 分别为M 的左、右顶点，过A 点作两条互相垂直的直线AC ，AD 分别与M 交于C ，D 两点，若
BCD △
的面积为
25
，求直线CD 的方程．2022～2023年度高二年级第三次联考
数学参考答案
1．D 2
2
39x y +=，即22
193
x y +=，故椭圆2239x y +=
的短轴长为2．C
圆M 的圆心为()0,0，半径13r =，圆N 的圆心为()0,2，半径21r =，圆M 与圆N 的连心线长为122r r =-，
故圆M 与圆N 内切．
3．C
332111
326
a S S =-=-=-．
4．A ()
1111122244
BE BD DE DB DF DB DA DC a b c =+=-+=-+⨯+=-+ ．
5．B
因为12l l ∥，所以12a =
．因为直线1l 与2l
=，解得3b =或－2，所以52a b -=．6．A 由题意可得211a a l =+，解得1l =，则11n n a a +=+，所以{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，
()11n a a n d n =+-=．
7．B
双曲线C 的渐近线方程为b y x a =±
，因为C
与直线y =
b
a
≥，因为C 上的点到焦点的最小距离为1，所以1c a -=，结合222c a b =+，解得1a ≥．
8．C
建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设2OA OC ==
，则1
2
OD SO =
=．因为ABC △是等腰直角三角形，所以OC AB ⊥．()2,0,0C ，()0,2,0A
，(D
，(0,0,S
，(CD =-
，
(0,2,AS =-
．
故cos ,14CD AS ==
．9．A 如图，圆心到直线10y x -+=
的距离2
d =
，
则AB ==，点P 到直线10y x -+=的距离的最大值
为
12
+，所以ABP △面积的最大
值11
1222S ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
=+=．10．B 因为120PF PF ⋅= ，所以22122
1232PF PF F F +==．由双曲线的定义
可得124PF PF -=，所以()
2
2
2
121212||
2PF PF PF PF PF PF ⋅=+--，解得128PF PF ⋅=，故
12PF F △的面积为
121
42
PF PF ⋅=．11．D 如图，过N 作准线的垂线，垂足为Q ，则NF NQ =．又因
为
PM PF =，所以PFM PMF MFO MNQ =∠=∠=∠∠．因为2MN NF =，所
以
tan MQ MQ
MNQ QN QF
∠=
==，
60MNQ ∠=︒
．直线PF 的斜率为
(
)tan πtan 60PFM MFO -∠-∠=︒=
．
12．A 以O 为坐标原点，分别以3OP ，2OP ，1OP 为x 轴，y 轴，z 轴建立
如图所示的空间直角坐标系．设11OP =，
则()10,0,1Q -，()21,1,0B -，()10,1,1A ，2111,,222E ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，()20,1,0P ，()121,1,1Q B =- ，12111.,222A E ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭
，()120,0,1A P =- ．设平面122A E P 的法向量为(),,n x y z =
，则12120,0,A E n A P n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即1110,
2220,
x y z z ⎧---=⎪⎨⎪=⎩令1x =，可得()1,1,0n =-
．121212cos ,3
Q B n Q B n Q B n
⋅==
-
，故直线12Q B 与平面122A E P
所成角的正弦值为
3
．
13．210
x y -+=由直线的点斜式方程可得()235y x =+-，即210x y -+=．
14．12-()()
()
2
111224AE CF AB AC CA CD AB AC AB CD AC CA CD
⋅=+⋅+=-⋅+⋅--⋅ ()1111cos 600111cos 6042
=-⨯⨯︒+--⨯⨯︒=-．15．9因为
54911a a =，所以54119a a =，即()()1111493a d a d +=+，化简后可得1217
a
d =-．()()()()2
2111111112811892217171717
n n n d n n a a a a S na na n n n ⎛⎫ ⎪
⎝--=+=+---=-+⎭=-，由二次函数性质可知，当9n =时，n S 取得最大值．16
．
2
设2PF Q ∠=a ，则21QPF QPF a ∠=∠=，12PQF a ∠=，1
π3PFQ a ∠=-
，其中tan a =所以椭圆C 的离心率为
()()()1212sin 2sin 2sin 213
sin sin π3sin sin 3sin 2sin 22cos 2
F F PF PF a a a a a a a a a a a a =====
++-+-++．17．解：（1）设C 的标准方程为2
2y
px =．
因为C 的顶点在原点，焦点坐标为()2,0，所以22
p
=，4p =，故C 的标准方程为28y x =．（2）C 的准线方程为2x =-．
设()11,A x y ，()22,B x y ，因为直线24y x =-过点F ，所以A ，B 到准线的距离分别为12A p d AF x ==+
，22
B p d BF x ==+．12124AB x x p x x =++=++．
联立28,
24,
y x y x ⎧=⎨=-⎩得2640x x -+=，则126x x +=，故6410AB =+=．
18．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得361691271,
2137,
a a a d a a a d +=+=⎧⎨
+=+=⎩解得13,1.a d =-⎧⎨
=⎩故()114n a a n d n =+-=-．（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()21172
22
n n n d
n n
S a n -=+
=-
．当3n ≤时，0n a <，2722
n n n n
T S =-=-+
；
当4n ≥时，0n a ≥，23371222n n n n
T S S T =-+=-+．
综上，22
7,3,22712, 4.22
n n n
n T n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩注：答案写成22
7,4,22712,5,22
n n n
n T n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩不扣分．19．（1）证明：因为E ，F ，N 分别为AB ，BD ，BC 的中点，所以EF AD ∥，EN AC ∥，所以EF ∥平面ACD ，EN ∥平面ACD ．因为EF EN E ⋂=，EF
⊂平面EFN ，EN ⊂平面EFN ，所以平面EFN ∥平面ACD ．
因为FG ⊂平面EFN ，所以FG ∥平面ACD ．
（2）解：因为平面EFN ∥平面ACD ，所以平面EFN 与平面ABC 的夹角即
平面ACD 与平面ABC 的夹角．
以F 为坐标原点，FC
的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
()0,0,0F
，(0,0,A ，()0,2,0B -，()2,0,0C ，()0,2,0D
，(2,0,AC =- ，()2,2,0BC =
，
()2,2,0CD =-
．
设平面ABC 的法向量为()111,,n x y z = ．0,0,AC n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
得111120,220,x x y ⎧
-=⎪⎨+=⎪
⎩
可取(3,n =- ．设平面ACD 的法向量为()222,,m x y z =
．
0,0,AC m CD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
得222220,220,x x y ⎧
-=⎪⎨-+=⎪
⎩
可取(m = ．
所以1cos ,7m n
m n m n
⋅==
=
．故平面EFN 与平面ABC 的夹角的余弦值为
17
．20．解：（1）圆心()1,2C ，圆心C 到直线l
的距离22
d ==，化简得2
172470k k -+=，解得1k =或7
17
k =
．（2）解法一：直线20kx y k -+=过定点()2,0-．
因为直线l 与圆C 交于A ，B
2<，解得1205
k <<
．若存在直线l '垂直平分弦AB ，则直线l '必过圆心C ．因为直线CD 的斜率92
1
41314
CD
k -==--，所以直线AB 的斜率3k =．因为12
05
k <<
，所以不存在过点D 的直线垂直平分弦AB ．解法二：直线20kx y k -+=过定点()2,0-．若存在直线l '垂直平分弦AB ，则直线l '必过圆心C ．因为直线CD 的斜率92
141314
CD
k -==--，所以直线CD 的方程为()1
123y x =--+，即370x y +-=．因为直线l '垂直于直线l ，所以直线l 的斜率为3，直线l 的方程为360x y -+=．
联立370,360,x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得11,10
27,
10x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以直线l '与直线l 的交点为1127,1010⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为点1127,1010⎛⎫-
⎪⎝⎭不在圆C 内，所以不存在过点D 的直线l '垂直平分弦AB ．
21．解：（1）将几何体ABCDEFGH 补成如图所示的长方体．
由题意可得EH =
，AA '=EFGH
是边长为
的正方形．
1
32
EFP S =⨯=△．
三棱锥B EFP -
的体积11
333
EFP V S AA '=⋅=⨯⨯=△
（2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD ' 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标
系．()6,0,0A ，()6,6,0B
，(
E
，(F
，(G
，(H ，
则
(0,3,EA =-- ，()3,3,0EH =--
，(0,3,EB =- ，()3,3,0FG =-- ．
由()3,3,0FP FG l l l ==-- ，[]0,1l ∈
，知(33,63P l l --，()33,33,0EP l l =--- ．设平面AEH 的法向量为()111,,m x y z = ，
则0,0,m EA m EH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即111130,330,y x y ⎧--=⎪⎨--=⎪
⎩
取1y =
，则()
1m =- ．
设平面BEP 的法向量为()222,,n x y z = ，则0,0,n EB n EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即()()222230,33330,y x y l l ⎧-=⎪⎨--+-=⎪
⎩取23y =
，则331n l l -⎛= +⎝ ．因为平面AEH ⊥平面BEP ，所以0m n ⋅=
，则3301l l -+=+，解得15
l =
．22．解：（1）由题意可得24a =，解得2a =．
设M 的上顶点为E ，因为12F PF ∠的最大值为120°，所以12120F EF ∠=︒，12cos 2F EF b a
∠=，解得1b =．故椭圆M 的标准方程为2
214
x y +=．（2）设直线CD 的方程为x ty m =+，()11,C x y ，()22,D x y ．
联立22,440,
x ty m x y =+⎧⎨+-=⎩整理得()2224240t y mty m +++-=．由韦达定理得12224
mt y y t -+=+，212244m y y t -=+．
因为()2,0A -，π2CAD ∠=，所以()()1212220x x y y +++=，即()()1212220ty m ty m y y +++++=，则()
()()()2212121220t y y mt t y y m ++++++=，()()()222
2242122044m mt t mt t m t t --
+⋅++⋅++=++．去分母整理得2516120m m ++=，解得65m =-或2m =-（舍去）．直线CD 的方程为65x ty =-，直线CD 过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭
．()()12212212,5464,254t y y t y y t ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩
1221632256484122525425BCD S y y t ⎛⎫=⨯+⨯-==⨯= ⎪+⎝⎭△，解得24t =或29241t =-（舍去）．故满足条件的直线CD 的方程为625x y =±-，即51060x y ±+=．。